onthicaptoc.com
CÁC DẠNG TOÁN BÀI HAI MẶT PHÅNG VUÔNG GÓC
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Câu 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng .
Câu 2. Cho hình chóp , đáy là một hình vuông tâm . Chứng minh rằng hai mặt phẳng và .
Câu 3. Cho tứ diên có . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng và .
Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh bằng , góc bằng . Kẻ vuông góc với tại . Biết và . Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) .
Câu 5. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Các tam giác và cân tại . Chứng minh rằng:
a) ;
b) .
Câu 6. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Gọi và lần lượt là hình chiếu của trên và . Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GÓC NHỊ DIỆN
Câu 7. Cho hình chóp có , . Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện .
b) Tính số đo của góc nhị diện .
Câu 8. Cho hình chóp tam giác đều , cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính số đo của góc nhị diện .
Câu 9. Cho hình chóp có . Gọi là hình chiếu của trên .
a) Chứng minh rằng và .
b) Giả sử tam giác vuông tại . Tính số đo của góc nhị diện .
Câu 10. Cho hình lập phương có cạnh bằng .
a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
b) Chứng minh rằng .
c) Gọi là tâm của hình vuông . Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện . Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện .
Câu 11. Cho hình chóp đều , đáy có cạnh bằng , cạnh bên bằng .
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Câu 12. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và , biết . Tính góc giữa mặt phằng và mặt phẳng .
Câu 13. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính tang của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Câu 14. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và . Tính số đo của góc nhị diện .
Câu 15. Cho tứ diện đều có độ dài các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của , kẻ vuông góc với tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Câu 16. Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:
a) Mặt phẳng và mặt phẳng ;
b) Mặt phẳng và mặt phẳng .
Câu 17. Cho hình lập phương có cạnh bằng .
a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .
b) Tính côsin của số đo góc nhị diện .
Câu 18. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, biết , và . Tính côsin của số đo góc nhị diện và góc nhị diện .
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và .
a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng và mặt đáy .
b) Chứng minh rằng .
Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Câu 21. Cho hình chóp đều có tất cả các canh bằng . Gọi là trung điểm . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Câu 22. Cho tứ diện có tam giác vuông cân tại và . Cho biết . Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Câu 23. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh . Cho biết và . Trên lấy điểm sao cho tam giác vuông tại . Biết góc giữa hai mặt phẳng và là . Tính độ dài .
Câu 24. Cho hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , tính .
Câu 25. Cho hình chóp có . Tính số đo của góc phẳng nhị diện
Câu 26. Cho hình chóp có , đáy là hình thoi cạnh .
Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình thoi và là hình chiếu của trên . Tính số đo các góc phẳng nhị diện:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Câu 27. Cho hình chóp tam giác đều , cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính số đo góc phẳng nhị diện .
Câu 28. Cho hình chóp có . Tam giác vuông tại , . Tính số đo góc phẳng nhị diện .
Câu 29. Cho hình chóp có , đáy là hình thoi cạnh và . Tính số đo của mỗi góc nhị diện sau:
a) ;
b) .
Câu 30. Cho hình chóp có . Gọi lần lượt là số đo của các góc nhị diện . Tính:
a) ;
.
Câu 31. Cho hình chóp có là hình vuông, cắt tại
. Tất cả các cạnh của hình chóp bằng .
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
b) Gọi là số đo của góc nhị diện . Tính .
c) Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và là số đo của góc nhị diện . Tính .
Gọi là số đo góc nhị diện . Tính .
Câu 32. Cho hình chóp có ( ), là hình thoi cạnh . Tính số đo của góc nhị diện .
Câu 33. Cho hình chóp có cắt tại . Gọi lần lượt là số đo của các nhị diện và . Tính .
Câu 34. Cho hình chóp . Gọi lần lượt là góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng . Chứng minh rằng:
.
Câu 35. Cho khối tứ diện đều cạnh . Tính:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và ;
b) Chiều cao và thể tích của khối tứ diện đều ;
c) Côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ;
d) Côsin của số đo góc nhị diện .
DẠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT
Câu 36. Cho hình hộp chữ nhật .
a) Chứng minh rằng .
b) Xác định hình chiếu của trên mặt phẳng .
c) Cho . Tính .
Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng lục giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên .
a) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.
b) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ.
Câu 38. Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng và có . Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.
Câu 39. Cho hình chóp cụt tứ giác đều có đáy lớn có cạnh bằng , đáy nhỏ có cạnh bằng và cạnh bên . Tính đường cao của hình chóp cụt và đường cao của mặt bên.
Câu 40. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng .
a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.
b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.
Câu 41. Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng , đáy nhỏ có cạnh bằng và cạnh bên bằng (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.
.Câu 42. Một hộp đèn treo trên trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (hình 15 ), cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn
Câu 43. Cho hình lăng trụ tứ giác đều . Chứng minh rằng .
Câu 44. Cho khối chóp tứ giác đều có .
a) Tính chiều cao của khối chóp .
b) Tính thể tích của khối chóp .
c) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
d) Tính côsin của số đo góc nhị diện .
e) Tính côsin của số đo góc nhị diện .
Câu 45. Cho hình lập phương cạnh . Tính:
a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và ;
b) Số đo của góc nhị diện ;
c) Tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ;
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và ;
Góc giữa hai đường thẳng và .
DẠNG 4. ỨNG DỤNG
Câu 46. Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính , bản lề được đính ở điểm chính giữa của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng ; khi
cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi .
Câu 47. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.
Câu 48. Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử ; .
a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.
c) Điểm ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm là . Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa ) so với mặt đất.
Câu 49. Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà, mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá . Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 50. Một ngôi nhà có hai mái trước, sau có dạng là các hình chữ nhật , . Tính góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mái nhà đó (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 51. Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang).
Coi viên bi chịu tác dụng của hai lực chính là lực hút của Trái Đất (theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới) và phản lực, vuông góc với mặt phẳng nằm nghiêng, hướng lên trên. Giải thích vì sao viên bi di chuyển trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng nằm nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.
Câu 52. Hình 19 minh hoạ một cánh cửa và khung cửa. Cánh cửa có dạng hình chữ nhật và khung cửa có dạng hình chữ nhật , ở đó . Góc mở cửa là góc nhị diện .
Biết chiều rộng của cửa là . Khi góc mở cửa có số đo bằng thì khoảng cách giữa và bằng bao nhiêu?
Câu 53. Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cựt tứ giác đều (Hình 46). Cạnh đáy dưới dài , cạnh đáy trên dài , cạnh bên dài . Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng . Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
Câu 54. Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều (Hình 48) với chiều cao là và cạnh lục giác dài . Tính thể tích bê tông theo đơn vị centimét khối để làm một viên gạch như thế (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
$ABCD$
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Cac dang toan bai Hai mat phang vuong goc hay