CÁC DẠNG TOÁN BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Bài toán tìm max, min của hàm số y=f(x) trên miền D
■ Phương pháp giải:
Bước 1: Tính . Giải phương trình tìm các nghiệm và tìm các điểm mà tại đó không xác định.
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số trên
Bước 3: Từ bảng biên thiên đưa ra kết luận:
Điểm ở vị trí cao nhất Kết luận max
Điểm ở vị trí thấp nhất Kết luận min
■ Lưu ý: Nếu là đoạn và hàm số liên tục trên đoạn thì ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình rồi tìm các nghiệm
Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm không xác định (nếu có)
Bước 3: Tính toán
Bước 4: Gọi lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất của các kết quả tính toán ở bước thì ta có thể kết luận:
■ Lưu ý quan trọng:
■ Nếu hàm số đồng biến trên thì và
■ Nếu hàm số nghịch biến trên thì và
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng
Câu 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Quan sát hình vẽ ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng .
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên đoạn có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trên đoạn ta có và
Vậy .
Câu 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Khi đó, tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo đồ thị, ta có : và .
Câu 5: Cho hàm số liên tục trên đoạn và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có: .
Câu 6: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Biết . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào bảng dấu của đạo hàm ta có bảng biến thiên như sau:
.
Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn ta có .
Câu 7: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta xác định được và .
Từ đó suy ra .
Câu 8: Cho hàm số có bảng biến thiên sau.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là tại . Khi đó tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, hàm số đạt giá trị lớn nhất là tại nên .
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là
A. . B. . C. 5. D. 40.
Lời giải
Ta có .
Khi đó , , .
Vậy tại .
Câu 10: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dễ thấy hàm số liên tục trên .
Ta có:.
Ta có: ; ; ; .
Vậy .
Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. 12. B. 18. C. -40. D. 14.
Lời giải
Trên đoạn ta có hàm số đã cho liên tục và có
; .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn bằng 14.
Câu 12: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Giải .
Ta có .
Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Lại có suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là 7.
Câu 14: Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Giải phương trình .
Ta có và hàm số liên tục trên đoạn .
Vậy .
Câu 15: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Cho . Do .
và hàm số liên tục trên đoạn
Suy ra .
Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên hàm số nghịch biến trên
Do đó .
Câu 17: Giá trị lớn nhất của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có , dấu “=” khi . Vậy .
Câu 18: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện xác định . Đạo hàm .
Ta có
Xét ; ; do đó . Vậy .
Câu 19: Trên đoạn , hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định:.
Ta có .
Ta thấy ; ; . Vậy .
Câu 20: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Ta có:
Câu 21: Trên đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định:
Ta có: ,
Ta có: , , .
Câu 22: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại . B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng .
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại . D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng .
Lời giải
Tập xác định .
Ta có ; .
và
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng là mệnh đề đúng.
Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số trên .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt . Đặt , suy ra .
Do đó .
Ta có , , , .
Vậy .
Câu 24: Giá trị lớn nhất của hàm số là
A. . B. . C. . D. 2.
Lời giải
Tập xác định:
Ta có .
Ta có:  ; . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
Câu 25: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định:
Ta có
Đạo hàm .
Khi đó . Suy ra .
Câu 26: Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Do
Vậy .
Câu 27: Giá trị lớn nhất của hàm số trên là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: trên .
; .
do .
Khi đó ; ; . Vậy .
Câu 28: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn ; ; ;
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
Câu 29: Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có đồng biến trên
Khi đó .
Câu 30: Cho hàm số . Giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Đạo hàm .
Xét trên khoảng ta có nghiệm là ; .
Vậy .
Câu 31: Gọi thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Tính  ?
A. B. C. D.
Lời giải
Tập xác định . Xét trên hàm số xác định và liên tục.
Đạo hàm
Khi đó
Vậy .
Câu 32: Giá trị lớn nhất của hàm số là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định : . Ta có .
Khi đó . Vậy .
Câu 33: Cho hàm số . Gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng . Tìm giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định .
Ta có ; cho .
Bảng biến thiên
Vậy .
Câu 34: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Do hàm số tuần hoàn với chu kì nên chỉ xét trên đoạn ta có:
.Tính được:
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
a) và .
b) và .
c) và
d) Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên .
Lời giải
Theo định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, ta thấy hàm số không có GTLN, NN trên .
a) Sai: và .
b) Sai: và .
c) Sai: và
d) Đúng: Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên .
Câu 2: Cho hàm số .
a) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và không có giá trị lớn nhất trên .
b) Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên .
c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại và không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng
d) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên .
Lời giải
Ta có .
Bảng biến thiên của hàm số
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và không có giá trị lớn nhất trên .
a) Đúng: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và không có giá trị lớn nhất trên .
b) Sai: Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên .
c) Sai: Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại và không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng
d) Sai: Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên .
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên trong hình vẽ dưới đây:
a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; và nghịch biến trên khoảng
b) Hàm số đạt cực tiểu tại và có giá trị cực tiểu là
c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại
d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng .
Lời giải
a) Sai: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; và nghịch biến trên khoảng
b) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại và có giá trị cực tiểu là
c) Đúng: Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại
d) Đúng: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng .
Câu 4: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên trong hình vẽ dưới đây:
a) Cực đại của hàm số là b) Cực tiểu của hàm số là
c) d)
Lời giải
a) Đúng: Cực đại của hàm số là
b) Đúng: Cực tiểu của hàm số là
c) Đúng:
d) Sai: Từ bảng biến thiên ta thấy nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên .
Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ bên.
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Hàm số đồng biến trên và do nên và
Hàm số nghịch biến trên do suy ra
Từ đó có thể suy ra được
a) Sai:
b) Sai:
c) Sai:
d) Đúng:
Câu 6: Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây. Biết rằng
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng b) Hàm số nghịch biến trên khoảng
c) và d) và
Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
Từ bảng biến thiên suy ra và
Theo bảng biến thiên thì nên
Theo giả thiết ta có
Suy ra . Vậy và
a) Sai: Hàm số nghịch biến trên khoảng
b) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng
c) Sai: và
d) Đúng: và
Câu 7: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
a) Hàm số có hai điểm cực trị
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
c)
d) Trên đoạn thì giá trị lớn nhất của hàm số là
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
Khi đó và
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
a) Sai: Hàm số có ba điểm cực trị
b) Sai: Hàm số đồng biến trên khoảng và
c) Đúng:
d) Đúng: Trên đoạn thì giá trị lớn nhất của hàm số là
Câu 8: Hình bên cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày
a) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là
b) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là
c) Thời điểm nhiệt độ cao nhất trong ngày là lúc giờ
d) Thời điểm nhiệt độ thấp nhất trong ngày là lúc giờ
Lời giải
a) Sai: Nhiệt độ cao nhất trong ngày là
b) Đúng: Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là
c) Đúng: Thời điểm nhiệt độ cao nhất trong ngày là lúc giờ
d) Đúng: Thời điểm nhiệt độ thấp nhất trong ngày là lúc giờ
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hàm số . Với các số nguyên mà thì giá trị nhỏ nhất của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có . Bảng biến thiên
Với các số nguyên mà , để đạt giá trị nhỏ nhất thì
. Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng .
Câu 2: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên lần lượt là Tính tổng
Lời giải
Ta có .
Đặt Do nên . Khi đó bài toán đã cho trở thành tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Ta có
Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn
Khi đó: . Vậy
Câu 3: Cho hàm số , gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Tính giá trị của biểu thức ?
Lời giải
Ta có:
Ta có . Khi đó .
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Lời giải
Ta có:
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
Câu 5: Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Lời giải
Tập xác định:
Ta có: .
Khi đó: và .
Do đó: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là và giá trị lớn nhất của hàm số trên là .
Câu 6: Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức . Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?
Lời giải
Xét hàm số .
Ta có:
Với giây thì số vi khuẩn lớn nhất.
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra
a) trên đoạn b) trên đoạn
c) trên đoạn d) trên đoạn
e) trên đoạn f) trên đoạn
g) trên miền xác định h) trên đoạn
i) trên k) trên khoảng .
l) trên khoảng m) trên khoảng
Lời giải
a) trên đoạn
Ta có và
Xét trên ta có ta có .
Vậy ; .
b) trên đoạn
Ta có là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn .
Trên đoạn ta có .
Khi đó ; ; . Vậy ;
c) trên đoạn
Hàm số đã cho xác định với mọi và có đạo hàm.
Trên đoạn ta có .
Khi đó: , , . Vậy ; .
d) trên đoạn
Xét hàm số .
Tập xác định: ; Hàm số liên tục trên đoạn và ;
Khi đó: . Vậy ;
e) trên đoạn
Ta có nên hàm số nghịch biến trên .
Do đó: , .
f) trên đoạn
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn và có đạo hàm
Giải .Ta có .
Vậy ; .
g) trên miền xác định
Tập xác định: và có đạo hàm
Bảng biến thiên:
Vậy ; .
h) trên đoạn
Tập xác định . Ta có .
Khi đó .
Ta có ; ; . Vậy và
i) trên
Ta có . Suy ra khi . Ta có
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là và .
k) trên khoảng .
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng .
Ta có .
Lập bảng biến thiên của hàm số trên như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy .
l) trên khoảng
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
.
Dấu bằng xảy ra khi .
m) trên khoảng
Ta có: .
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra
a) trên đoạn b) trên đoạn
c) trên đoạn d) trên đoạn
Lời giải
a) trên đoạn .
Tập xác định . Ta có . Xét
Xét . Do đó và .
b) trên đoạn .
Hàm số liên tục trên đoạn có
. Do
Mặt khác . Vậy .
c) trên đoạn .
Ta có
. Ta có
Vậy .
d) trên đoạn
Xét hàm số trên .
Ta có .
Giải .
Xét trên đoạn , có các nghiệm .
Ta có . Suy ra , .
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số sau trên miền đã chỉ ra
a) trên đoạn
b) trên miền xác định
Lời giải
a) trên đoạn
Đặt với thì nên khi đó ta được hàm số
Đạo hàm
Do nên nên .
b) trên miền xác định
Ta có
Đặt với ta được
Ta có mà
Vậy
Bài tập 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh trong đó là số miligam thuốc được tiêm cho bệnh nhân . Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là bao nhiêu ?
Lời giải
Ta có: . Bảng biến thiên:
Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là .
Dạng 2: Bài toán tìm max, min của hàm số có chứa tham số
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hàm số (với là tham số). Giá trị của để là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Nếu (loại).
Nếu khi đó hoặc nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất tại .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT