CÁC DẠNG TOÁN BÀI ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm , ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Tính .
 Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số với .
 Bước 3: Tìm giới hạn .
Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số tại .
Lời giải
Ta có:
Khi đó:
Ta có . Vậy
Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số tại
Lời giải
Với bất kì
Vậy .
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm sốtại .
Lời giải
Ta có : , do đó: .
Vậy
Ví dụ 4: Tìm để hàm số có đạo hàm tại .
Lời giải
Điều kiện cần: và ;
Để hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại
Điều kiện đủ:
Để hàm số có đạo hàm tại thì .
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số số tại điểm .
Lời giải
Ta có
.
Ví dụ 6: Cho hàm số xác định bởi . Giá trị bằng
Lời giải
Tập xác định: .
Ta có :
Vậy .
Dạng 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa
Vận tốc tức thời tại thời điểm của chất điểm chuyển động với phương trình là
.
Cường độ tức thời tại thời điểm của một dòng điện với điện lượng là
.
Ví dụ 7: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm .
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm .
Lời giải
a) Ta có: .
Vậy .
b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là (m/s).
Ví dụ 8: Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm .
Lời giải
Vì Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm là
Ví dụ 9: Cho chuyển động được xác định bởi phương trình , trong đó được tính bằng giây và được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là:
Lời giải
Ta có .
Vận tốc tức thời của chuyển động khi là: .
Ví dụ 10: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình, trong đó với tính bằng giây (s) và tính bằng mét (m). Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?
Lời giải
Vận tốc của chuyển động là : . Dễ thấy: với mọi .
Dấu “=” xảy ra khi . Khi đó, vận tốc của chuyển động là .
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là:
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì ta giải phương trình tìm hoành độ tiếp điểm.
Ví dụ 11: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
Lời giải
Ta có: .
Đồ thị hàm số cắt tại điểm .
Gọi tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị hàm số tại điểm
Hệ số góc
Phương trình tiếp tuyến .
Ví dụ 12: Cho hàm số có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại là
Lời giải
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại là .
Ví dụ 13: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của với trục có phương trình là:
Lời giải
Ta có .
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục là .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại là: .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .
Ví dụ 14: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ .
Lời giải
Ta có .
Ta có .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là
.
Ví dụ 15: Cho hàm số có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ có phương trình là.
Lời giải
Ta có: ; ;
Tiếp tuyến có dạng: .
Ví dụ 16: Cho hàm số có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Lời giải
Xét hàm số .
Ta có: .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên
.
Với . Phương trình tiếp tuyến là (Loại)
Với . Phương trình tiếp tuyến là (thỏa mãn).
Ví dụ 17: Cho hàm số có đồ thị là . Số tiếp tuyến song song với đường thẳng của đồ thị hàm số là
Lời giải
Gọi là tọa độ tiếp điểm.
Ta có suy ra hệ số góc của tiếp tuyến .
Theo đề bài, ta có .
Với , phương tình tiếp tuyến là (nhận).
Với , phương trình tiếp tuyến là (loại).
Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng .
Ví dụ 18: Cho hàm số có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm với trục tung.
Lời giải
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm .
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại là .
Vậy phương trình tiếp tuyến của tại là: .
Ví dụ 19: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là
Lời giải
Ta có nên phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng
.
Ví dụ 20: Cho hàm số có đồ thị . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm và hoành độ tiếp điểm là số thực âm.
Lời giải
Gọi là tiếp điểm (điều kiện : )
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có dạng:
Vì tiếp tuyến đi qua nên ta có:
Với .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1: Cho hàm số xác định trên khoảng và điểm . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 2: Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu
A. có đạo hàm tại điểm .
B. có đạo hàm tại mọi điểm .
C. có đạo hàm tại và .
D. có đạo hàm tại hoặc .
Lời giải
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm .
Câu 3: Nếu hàm số biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian thì biểu thị điều gì?
A. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm .
B. Vị trí của chuyển động tại thời điểm .
C. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm .
D. Quãng đường đã di chuyển của vật tại thời điểm .
Lời giải
Theo định nghĩa chọn C
Câu 4: Cho hàm số xác định trên và có . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. (với là hằng số). B. .
C. . D. (với ).
Lời giải
Ta có: (với ).
Câu 6: Cho hàm số . Khi hàm số có đạo hàm tại . Hãy tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
.
.
Để hàm số có đạo hàm tại thì hàm số phải liên tục tại nên
. Suy ra .
Khi đó .
.
.
Hàm số có đạo hàm tại thì .
Vậy với , thì hàm số có đạo hàm tại khi đó .
Câu 7: Nếu thì ta kết luận
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì nên
Câu 8: Hàm số có đạo hàm tại là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Với ,
Tính giới hạn:
Vậy
Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Vậy .
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Vậy .
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số tại
A. Không tồn tại. B. C. . D. .
Lời giải
Ta có . Vậy
Câu 12: Cho hàm số . Khi đó là kết quả nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Với xét:
Vậy
Câu 13: Đạo hàm của hàm số là
A. . B. . C. . D. Không xác định.
Lời giải
Ta có: . Lấy bất kì thuộc .
Ta có:
Vậy .
Câu 14: Đạo hàm của hàm số trên là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Xét là số gia của đối số tại điểm
Khi đó hàm số có số gia tương ứng:
Ta có:
Vậy .
Câu 15: Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
. TXĐ: .
Xét là số gia của đối số tại điểm
Khi đó hàm số có số gia tương ứng:
.
Suy ra
Câu 16: Đạo hàm của hàm số trên tập là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
, ta có: .
Vậy .
Câu 17: Đạo hàm của hàm số trên các khoảng và là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
, ta có:
.
Vậy .
Câu 18: Cho hàm số có đồ thị. Hê số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Câu 19: Một chất điểm chuyển động có phương trình , với tính bằng giây
và là được tính bằng mét . Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm là
Câu 20: Cho hàm số . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hệ số góc:
Câu 21: Một vật chuyển động xác định bởi phương trình , trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm bằng:
Câu 22: Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ là
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là ;.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ là:
.
Câu 23: Cho hàm số . Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét .
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là .
Câu 24: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình, trong đó với tính bằng giây (s) và tính bằng mét (m). Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vận tốc của chuyển động là: .
Gia tốc của chuyển động là .
Dễ thấy: với mọi . Dấu “=” xảy ra khi .
Khi đó, vận tốc của chuyển động là .
Câu 25: Chuyển động của một vật có phương trình , trong đó tính bằng centimet và thời gian tính bằng giây. Tính giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật tại các thời điểm vận tốc bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có và .
Thời điểm vận tốc bằng tương đương với .
Khi đó, .
Câu 26: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm :
Với . Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Với . suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Câu 27: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
A. B.
C. D.
Lời giải
Gọi là tọa độ tiếp điểm.
Ta tính được Do tiếp tuyến song song với đường thẳng nên có
Với . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: (vì trùng với đường thẳng đã cho).
Với . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Câu 28: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
A. B.
C. D.
Lời giải
Gọi là tọa độ tiếp điểm.
Ta tính được Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên có
Với . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Với . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Câu 29: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
A. B.
C. D. .
Lời giải
Gọi là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được
Theo giả thiết ta có
Với . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Với . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Câu 30: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng
Suy ra tiếp tuyến có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là
Theo đề bài ta có:
Với vô nghiệm.
Với
Với Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Với Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại điểm . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Vậy .
a) Đúng:
b) Đúng:
c) Sai:
d) Sai:
Câu 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại điểm ta được . Khi đó:
a)
b)
c) Phương trình có nghiệm bằng
d)
Lời giải
Ta có:
Vậy .
a) Đúng:
b) Sai:
c) Đúng: Phương trình có nghiệm bằng
d) Sai:
Câu 3: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số . Khi đó:
a) Với bất kì :
b)
c)
d)
Lời giải
Với bất kì ta có:
Vậy trên .
a) Đúng: Với bất kì :
b) Sai:
c) Đúng:
d) Đúng:
Câu 4: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số với . Khi đó:
a) Với bất kì , ta có:
b)
c)
d)
Lời giải
Với bất kì , ta có:
Vậy trên các khoảng
a) Đúng: Với bất kì , ta có:
b) Đúng:
c) Sai:
d) Đúng:
Câu 5: Cho hàm số có đồ thị và điểm thuộc có hoành độ . Khi đó:
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm bằng
b) Phương trình tiếp tuyến của tại đi qua điểm
c) Phương trình tiếp tuyến của tại cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng 4
d) Phương trình tiếp tuyến của tại vuông góc với đường thẳng
Lời giải
Ta có: nên tiếp tuyến của tại có hệ số góc là:
Phương trình tiếp tuyến của tại là:
a) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm bằng
b) Đúng: Phương trình tiếp tuyến của tại đi qua điểm
c) Sai: Phương trình tiếp tuyến của tại cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng
d) Đúng: Phương trình tiếp tuyến của tại vuông góc với đường thẳng
Câu 6: Cho hàm số có đồ thị và điểm . Khi đó:
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm bằng
b) Phương trình tiếp tuyến của tại song song với đường thẳng
c) Phương trình tiếp tuyến của tại vuông với đường thẳng
d) Phương trình tiếp tuyến của tại đi qua điểm
Lời giải
Ta có: nên tiếp tuyến của tại có hệ số góc là: .
Phương trình tiếp tuyến của tại là: .
a) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm bằng
b) Sai:
c) Đúng: Phương trình tiếp tuyến của tại vuông với đường thẳng
d) Đúng: Phương trình tiếp tuyến của tại đi qua điểm
Câu 7: Tính được đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra. Khi đó:
a) tại có
b) tại có
c) tại có
d) tại có
Lời giải
a) Đúng: .
b) Sai: .
c) Đúng: .
d) Đúng: .
Câu 8: Cho hàm số có đồ thị . Viết được phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung. Khi đó:
a) Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng
b) Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
c) Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng
d) Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Lời giải
Với
Ta có
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
a) Đúng: Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng
b) Sai: Phương trình tiếp tuyến không đi qua điểm
c) Đúng: Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng
d)Đúng: Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Câu 9: Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ . Khi đó:
a) Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng
b) Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
c) Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng
d) Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Lời giải
Ta có: .
Vì nên Tiếp điểm .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là .
a) Sai: Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng
b)Sai: Phương trình tiếp tuyến không đi qua điểm
c) Đúng: Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng
d) Đúng: Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Câu 10: Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Khi đó:
a) Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
c) Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
d) Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
Lời giải
Đường thẳng nên đường thẳng có hệ số góc là .
Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc vuông góc với đường thẳng
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình .
Với , phương trình tiếp tuyến là .
Với , phương trình tiếp tuyến là .
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là .
a) Đúng: Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.
b) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
c) Đúng: Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
d) Đúng: Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Cho hàm số Tính
Lời giải
Xét
Câu 2: Cho hàm số Tính
Lời giải
Xét
Câu 3: Tìm tham số thực để hàm số có đạo hàm tại
Lời giải
Để hàm số có đạo hàm tại trước tiên hàm số phải liên tục tại , tức là
Thử lại với , ta có

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Dao ham va y nghia cua dao ham lop 11