BÀI 2: TẬP HỢP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Tập hợp: (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa.
Thường kí hiệu: , , …
Để chỉ là một phần tử của tập hợp ta viết (đọc là thuộc ).
Để chỉ không phải là một phần tử của tập hợp ta viết (đọc là không thuộc ).
Hai cách thường dùng để xác định một tập hợp:
-Liệt kê các phần tử của tập hợp.
-Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Chú ý: Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu:
3. Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập đều là phần tử của tập thì ta nói là một tập hợp con của B, viết là ( đọc là chứa trong ).
Tính chất:
với mọi tập
và thì
với mọi tập
4. Tập hợp bằng nhau: và thì ta nói tập hợp bằng tập hợp , viết là: .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Chủ đề 1. PHẦN TỬ - TẬP HỢP-XÁC ĐỊNH TẬP HỢP
a) Phương pháp: Để xác định một tập hợp, ta có 2 cách sau:
w Liệt kê các phần tử của tập hợp.
w Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp.
b) Câu minh họa:
I-TỰ LUẬN
Ví dụ 1: Điền kí hiệu thích hợp vào ô trống:
a) b) c) d) e)
Lời giải
b) d) e)
Ví dụ 2: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể): - 3 10
Lời giải
- 3 hoặc - 3
10 hoặc 10 hoặc 10
Ví dụ 3: Gọi là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp và biểu diễn tâp bằng biểu đồ Ven.
Lời giải
{Trung Quốc, Lào, Campuchia}
Ví dụ 4: Ký hiệu là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.
a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp .
b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp .
c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp . Tập hợp có bao nhiêu phần tử?
Lời giải
a) Hai quốc gia thuộc khu vực Đông Nam Á : Lào, Thái Lan.
b) Hai quốc gia không thuộc khu vực Đông Nam Á : Trung Quốc, Ấn Độ.
c) E={Việt Nam, Lào, Campuchia, Thái lan, Indonesia, Singapore, Đông Timor, Philipin, Myanma, Brunei và Myanma}
Số phần tử tập hợp E là : .
Ví dụ 5: Cho tập hợp là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn
và
a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp và
b) Tìm
c) Biểu diễn hai tập hợp và bằng biểu đồ Ven.
Lời giải
a)
b)
c)
Ví dụ 6: Cho hai tập hợp và
a)Liệt kê các phần tử của các tập hợp và
b) Tìm
Lời giải
a)
Vì và nên
Vậy
b)
Ví dụ 7: Liệt kê các phần tử của các tập hợp:
a/. Tập các số nguyên dương chia hết cho 3 và nhỏ hơn 25:
b/.
c/.
d/.
e) E =
f) F =
g) G =

Lời giải
a/. = { 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}.
b/. = {0; 1; 2; 3}
c/. = { – 1; 3}: Giải phương trình tích.
d/. = {–3; –1; 1; 3; 5}:
Cách giải: Bấm máy tính biểu thức 2k+1. Nhập các giá trị của k
e) Ta có
Vậy
f)Ta có

Vì nên
Vậy
Ví dụ 8: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng



Lời giải
Ta có các tập hợp được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là

và
và
Ví dụ 9: Tìm một tính chất đặc trưng cho các phần tử của mỗi tập hợp sau:
a/. b/.
c) C = d) D=
e)
Lời giải
a/. b/.
c) d)
e)
Ví dụ 10: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập hợp rỗng?
,
Lời giải
Ta có : , hai giá trị này không thuộc tập .
Vậy .
Ví dụ 11: Tính tổng các phần tử của tập hợp .
Lời giải
Ta có
Suy ra .
Vậy tổng các phần tử của tập hợp là .
Ví dụ 12: Cho tập hợp
a) Hãy xác định tập bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3.
Lời giải
a) Ta có với khi và chỉ khi là ước của hay
Vậy
b) Tất cả các tập con của tập hợp mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là
Tập không có phần tử nào:
Tập có một phần tử:
Tập có hai phần thử: .
Ví dụ 13: Số phần tử của tập hợp
Lời giải
Ta có và nên
.
Vậy tập có đúng 1 phần tử.
Ví dụ 14: Cho tập hợp . Hãy viết tập hợp dưới dạng liệt kê các phần tử.
Lời giải
Giải phương trình: (1)
Điều kiện: (*)
pt(1)

Ta có
Đặt . Phương trình trở thành
Với ta có .
Vậy .
Ví dụ 15: Liệt kê các phần tử của
Lời giải
Điều kiện: .
Ta có
.
Vì nên
Vậy .
Ví dụ 16: Liệt kê các phần tử của tập hợp .
Lời giải
Đặt . Phương trình trở thành
.
+ .
Vậy .
Ví dụ 17: Liệt kê các phần tử của tập hợp .
Lời giải
Ta có
Ví dụ 18: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng
a) .
b)
c)
Lời giải
a) Ta có
b) Ta có . Vậy
c) Ta có vô nghiệm nên
Ví dụ 19: Cho tập hợp Tìm để
Lời giải
Để thì phương trình có nghiệm.
Ta có
Phương trình có nghiệm thì
II-TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI
Câu 1: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ là số tự nhiên”?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B:
Câu 2: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “ không phải là số hữu tỉ ”
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C:
Câu 3: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề là số tự nhiên?
A. B. C. D.
Lời giải. Chọn B.
Câu 4: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề không phải là số hữu tỉ?
A. B. C. D.
Lời giải. Chọn C.
Câu 5: Cho là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. B. C. D.
Lời giải. Chọn A.
Câu 6: Cho là một phần tử của tập hợp Xét các mệnh đề sau:
(I) (II) (III) (IV)
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A. I và II. B. I và III. C. I và IV. D. II và IV.
Lời giải. Chọn C.
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề
A. B. C. D.
Lời giải. Chọn B.
Câu 8: Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D:
Cách giải: Giải pt bậc hai 2x2 – 5x + 3 = 0 ó x = 1; x = 3/2.
Câu 9: Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B. C. D.
Lời giải. Ta có nên Chọn D.
Câu 10: 4Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B. C. D.
Lời giải. Ta có nên Chọn B.
Câu 11: Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B.
C. D.
Lời giải. Ta có nên . Chọn A.
Câu 12: . Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B.
C. D.
Lời giải. Ta có .
Do đó . Chọn C.
Câu 13: : . Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B. C. D.
Lời giải. Vì phương trình vô nghiệm nên Chọn C.
Câu 14: Cho tập hợp là ước chung của . Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp .
A. B.
C. D. Một đáp số khác.
Lời giải. Ta có . Do đó . Chọn A.
Câu 15: Số phần tử của tập hợp là:
A. B. C. D.
Lời giải. Vì và nên do đó
Vậy có phần tử. Chọn C.
Câu 16: . Tập hợp nào sau đây rỗng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải. Xét các đáp án:
Ÿ Đáp án A. . Khi đó, không phải là tập hợp rỗng mà là tập hợp có 1 phần tử . Vậy A sai.
Ÿ Đáp án B, C, D. Ta có .
Do đó, . Chọn B.
Câu 17: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?
A. B.
C. D.
Lời giải. Xét các đáp án:
Ÿ Đáp án A. Ta có .
Ÿ Đáp án B. Ta có (phương trình vô nghiệm) .
Ÿ Đáp án C. Ta có .
Ÿ Đáp án D. Ta có .
Chọn B.
Câu 18: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng?
A. B.
C. D.
Lời giải. Xét các đáp án:
Ÿ Đáp án A. Ta có .
Ÿ Đáp án B. Ta có .
Ÿ Đáp án C. Ta có .
Ÿ Đáp án D. Ta có .
Chọn C.
Câu 19: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Giải phương trình . Hai nghiệm này đều thuộc .
Cách 2: Nhập vào máy tính sau đó ấn Calc lần lượt các đáp án, đáp án câu nào làm phương trình bằng 0 thì chọn đáp án đó.
Câu 20: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Giải bất phương trình Mà là các số tự nhiên nên chọn câu C.
Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.
Câu 21: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Giải bất phương trình
Mà là các số tự nhiên nên chọn câu B.
Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.
Câu 22: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. . B. .
C. D. .
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Giải phương trình
Mà là các số nguyên nên chọn câu D.
Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.
Câu 23: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta liệt kê các phần tử từng đáp án, đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán ta sẽ chọn.
Câu 24: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta liệt kê các phần tử từng đáp án, đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán ta sẽ chọn.
Câu 25: : Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta liệt kê các phần tử từng đáp án, đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán ta sẽ chọn.
Câu 26: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B.
Câu 21: Cho tập hợp Tìm
B. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Giải bất phương trình Mà là các số tự nhiên nên chọn câu C.
Cách 2: Nhận xét các phần tử ở các đáp án A, B, C lần lượt thay các phần tử ở các đáp án thế vào bất phương trình, tất cả các phần tử của đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán thì ta sẽ chọn.
Ta liệt kê các phần tử từng đáp án, đáp án nào thỏa yêu cầu bài toán ta sẽ chọn.
C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1:
Câu 1. Cho là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng
A. B. C. D.
Câu 2. Cho là một phần tử của tập hợp Xét các mệnh đề sau:
(I) (II) (III) (IV)
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A. I và II. B. I và III. C. I và IV. D. II và IV.
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề
A. B. C. D.
Đáp án: 1C, 2C, 3B.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2:
Câu 1. Cho tập Tính tổng các phần tử của tập
A. B. C. D.
Câu 2. Cho tập Hỏi tập có bao nhiêu phần tử?
A. B. C. D.
Câu 3. Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B.
C. D.
Câu 4. Hãy liệt kê các phần tử của tập
A. B. C. D.
Câu 5. Cho tập hợp là ước chung của . Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp .
A. B.
C. D.
Câu 6. Hỏi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
A. B. C. D.
Câu 7. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng?
A. B.
C. D.
Câu 8. Cho tập và Hỏi tập có bao nhiêu phần tử ?
A. B. C. D.
Đáp án: 1D, 2C, 3C, 4C, 5A, 6C, 7B, 8C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3:
Câu 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. B. C. D.
Câu 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. B. C. D.
Câu 3: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. B. C. D.
Câu 4: Liệt kê các phần tử của tập hợp
A. B. C. D.
Câu 5: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
Câu 6: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
Câu 7: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
Câu 8: Tính chất đặc trưng của tập hợp
A. B.
C. D.
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. A
Câu 2. B
Câu 3. B
Câu 4. C
Câu 5. A
Câu 6. A
Câu 7. D
Câu 8. C
Chủ đề 2. TẬP HỢP CON-TẬP HỢP BẰNG NHAU
a) Phương pháp:
Tập hợp con:
Tập hợp bằng nhau:

Chú ý: Nếu một tập hợp có phần tử thì số tập con của là
b) Câu minh họa
I-TỰ LUẬN
Câu 1: Cho . Liệt kê các tập con của tập
Lời giải
Các tập con của bao gồm: {1}, {3}, {5}, {1; 3}, {1; 5}, {3; 5}, {1; 3; 5},
Câu 2: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?
a) là tập các ước số tự nhiên của 6 ; là tập các ước số tự nhiên của 12.
b) là tập các hình bình hành; là tập các hình chữ nhật;
là tập các hình thoi; là tập các hình vuông.
c) là tập các tam giác cân; là tập các tam giác đều;
là tập các tam giác vuông; là tập các tam giác vuông cân.
Lời giải
a) . Vậy
b)
c)
Câu 3: Cho tập , . Tìm tất cả các tập thỏa mãn ?
Lời giải
Các tập cần tìm là , , , .
Câu 4:Cho tập hợp . Tìm tất cả các tập hợp con của tâp có không quá một phần tử.
Lời giải
Các tập con của tập hợp có không quá một phẩn tử là , {0}, {1}, {2}, {3}, {6}, {7}, {8}
Câu 5:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?Giải thích kết luận đưa ra
a) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp
b) Nếu thì .
c) Nếu thì .
Lời giải
a)Mệnh đề đúng
b) Mệnh đề sai vì
c) Mệnh đề đúng
Câu 6: Cho tập hợp . Tìm tất cả các tập con có phần tử của tập sao cho tổng các phần tử này là số lẻ.
Lời giải
Để tổng của ba số nguyên là một số lẻ thì cả số đều là số lẻ hoặc trong ba số đó có một số lẻ và hai số chẵn.
Vậy các tập hợp cần tìm là
Câu 7: Cho tập hợp , . Hỏi có bao nhiêu tập hợp thỏa ?
Lời giải
.
II-TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hình nào sau đây minh họa tập là con của tập?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C.
Câu 2: Cho tập Hỏi tập có bao nhiêu tập hợp con?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A. Số tập con: 24 = 16. (Số tập con của tập có n phần tử là 2n )
Câu 3:. Cho Tập có bao nhiêu tập hợp con?
A. B. C. D.
Lời giải. Các tập hợp con của là: .
Chọn C.
Câu 4: Cho tập Câu nào sau đây đúng?
A. Số tập con của là
B. Số tập con của có hai phần tử là
C. Số tập con của chứa số 1 là
D. Số tập con của chứa 4 phần tử là
Lời giải. Số tập con của là Chọn A.
Câu 5: Tập có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử?
A. B. C. D.
Lời giải. Các tập con có hai phần tử của tập là: Chọn B.
Câu 6: Tập có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử?
A. B. C. D.
Lời giải. Các tập con có hai phần tử của tập là:
Chọn B.
Câu 7::. Cho tập . Số các tập con có ba phần tử trong đó có chứa của là:
A. B. C. D.
Lời giải. Tập có 10 phần từ. Gọi là tập con của trong đó .
Có cách chọn từ các phần tử còn lại trong .
Do đó, có 8 tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Câu 8. Cho hai tập hợp là bội của , là bội của . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. B.
C. và D.
Lời giải. Chọn C.
Câu 9. Khẳng định nào sau đây sai? Các tập hợp với là các tập hợp sau:
A.
B.
C.
D.
Lời giải. Xét các đáp án:

onthicaptoc.com Cac dang bai tap ve tap hop co loi giai