onthicaptoc.com
ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Một quả bóng được ném lên từ độ cao với vận tốc được tính bởi công thức sau đây . Công thức nào sau đây tính độ cao của quả bóng theo thời gian ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là độ cao của quả bóng tại thời điểm .
Suy ra: do đó là một nguyên hàm của
Ta có: .
Do quả bóng được ném lên từ độ cao nên tại thời điểm thì .
Hay nên .
Câu 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với tốc độ . Tính quãng đường ô tô đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là quãng đường xe ô tô đi được trong giây kể từ khi hãm phanh.
Ta có: . Do .
Khi đó: .
Câu 3: Sự sản sinh vi rút Zika ngày thứ có số lượng là con, biết và lúc đầu đám vi rút có số lượng 250.000 con. Tính số lượng vi rút sau 10 ngày.
A. con B. con C. con D. con.
Lời giải
Ta có:
Chọn
Vậy số lượng vi rút sau 10 ngày là: .
Câu 4: Bạn Minh Hiền ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là . Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
A. 36m. B. 252m. C. 1134m. D. 966m.
Lời giải
Ta có:
Chọn
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 là:
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 10 là:
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
Câu 5: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm giây là . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Chọn
Thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:
Câu 6: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tích nước bơm được sau giây. Cho và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Chọn
Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là :
Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :
Ta có hệ:
thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là
Câu 7: Gọi là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Chọn
Vậy mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây:
Câu 8: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 / (m s) thì người người đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Gọi là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 5( cm). B. 7,5(m). C. (m ). D. 5( m).
Lời giải
Ta có:
Chọn
Khi xe dừng hẳn thì .
Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được:
Câu 9: Một vật chuyển động với vận tốc có gia tốc . Vận tốc ban đầu của vật là . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn đến kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 5 (m/s). B. (m/s). C. 8 (m/s). D. 7 (m/s).
Lời giải
Giả sử tại thời điểm ban đầu
Ta có:
Câu 10: Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số trong đó tính bằng tính bằng giây. Biết rằng . Mực nước ở bồn sau khi bơm được 10 giây là bao nhiêu cm? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Lúc đầu , bể không có nước
.
Câu 11: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tích nước bơm được sau giây. Cho và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là . Tính thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Do ban đầu hồ không có nước nên .
Lúc 5 giây .
Lúc 10 giây .
Suy ra .
Câu 12: Mực nước trong hồ chứa của nhà máy điện thủy triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra khi thủy triều xuống và nước chảy vào khi thủy triều lên (như hình vẽ). Tốc độ thay đổi của mực nước được xác định bởi hàm số , trong đó tính bằng giờ , tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm , mực nước trong hồ chứa cao . Mực nước trong hồ cao nhất và thấp nhất bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Khi đó
Tại thời điểm , mực nước trong hồ chứa cao nên
Ta có:
Lập bảng biến thiên:
Mực nước trong hồ cao nhất: và thấp nhất .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Vào năm , dân số nước ta khoảng triệu người. Giả sử dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số (đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi với là số năm kể từ năm , tính bằng triệu người/ năm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là một nguyên hàm của
b)
c) Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/ năm) khoảng triệu người/ năm
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) là khoảng triệu người/ năm
Lời giải
a) Đúng: Ta có là một nguyên hàm của .
b) Sai: Ta có
Vì nên . Suy ra
c) Đúng: Tốc độ tăng dân số nước ta năm là (tr người/ năm).
d) Đúng: Dân số nước ta năm là (triệu người).
Câu 2: Một vật chuyển động với gia tốc . Tại thời điểm bắt đầu chuyển động vật có vận tốc bằng 0. Xét tính đúng sai của các khẳng đính sau:
a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số
b) Vận tốc của vật tại thời điểm là
c) Tại thời điểm sau khi xuất phát thì vận tốc của vật là
d) Gia tốc của vật tại thời điểm là
Lời giải
a) Sai: Ta có Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có hay
Vậy
b) Đúng: Vận tốc của vật tại thời điểm là
c) Sai: Vận tốc của vật tại thời điểm là
d) Đúng: Gia tốc của vật tại thời điểm là:
Câu 3: Một chiếc xe đang chuyển động đều với tốc độ thì gặp chướng ngại vật rồi phanh gấp với gia tốc không đổi là . Kí hiệu là tốc độ của xe, là gia tốc xe, là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm giây kể từ lúc phanh xe. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
a) .
b) .
c) Tính từ lúc phanh xe, sau 4 giây thì xe dừng hẳn.
d) Quãng đường xe đi được tính từ lúc phanh xe đến khi dừng hẳn nằm trong khoảng từ 35 mét đến 40 mét.
Lời giải
a) Sai:
b) Đúng: .
c) Sai: .
. Suy ra .
Xe dừng hẳn khi giây.
d) Đúng: .
mét.
Câu 4: Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu là tổng số lượng vi sinh vật sau giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ (con/giờ). Xét tính đúng sai của các khẳng đính sau:
a) Họ nguyên hàm của là .
b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.
c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.
d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.
Lời giải
a) Sai: Ta có: .
b) Sai: Ta có: khi và khi .
Nên số lượng vi sinh vật giảm trong khoảng từ 3 giờ đến 8 giờ, sau đó tăng dần trong khoảng 8 giờ đến 10 giờ.
c) Đúng: Bảng biến thiên của :
d) Đúng: . Do .
Suy ra .
Câu 5: Một quả cầu lông được đánh lên từ độ cao với vận tốc được tính bởi công thức sau đây . Xét tính đúng sai của các khẳng đính sau:
a) Công thức tính độ cao của quả cầu theo là .
b) Quả cầu đạt độ cao cao nhất tại thời điểm .
c) Độ cao cao nhất của quả cầu bằng .
d) Thời điểm quả cầu chạm đất là .
Lời giải
a) Đúng: .
Mà nên nên .
b) Đúng: Quả cầu đạt độ cao cao nhất tại thời điểm .
c) Đúng: Độ cao cao nhất của quả cầu bằng .
d) Sai: Quả cầu chạm đất khi .
Vì nên chọn .
Câu 6: Cây KEO LAI là một trong các loài cây không chỉ là nguyên liệu giấy quan trọng mà còn là loài cây cung cấp gỗ nguyên liệu cho các ngành khác như chế biến ván nhân tạo, chế biến đồ mộc xuất khẩu, gỗ bao bì, gỗ xây dựng. Cây phát triển với tốc độ nhanh. Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao .Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ (m/năm). Xét tính đúng sai của các khẳng đính sau:
a) Biểu thức của là: .
b) Sau 3 năm cây cao .
c) Tốc độ phát triển của cây trong 10 năm đầu sẽ giảm dần.
d). Người ta thường thu hoạch cây KEO LAI khi nó có độ cao trong khoảng từ đến mét. Vậy đó là 8 hoặc 9 năm sau khi trồng.
Lời giải
a) Đúng: (vì )
b) Sai: Vì sau năm đầu tiên cây cao nên
. Vậy sau 3 năm cây cao khoảng .
c) Đúng: Ta có tốc độ phát triển của cây là hàm số nên là hàm nghịch biến. Do đó tốc độ phát triển của cây sẽ giảm dần trong 10 năm đầu.
d) Đúng: Ta có
Vậy sau 8 hoặc 9 năm sau khi trồng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Gọi là chiều cao của cây keo (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng năm đầu tiên cây cao 1,5m, trong những năm tiếp theo. Cây phát triển với tốc độ (mét /năm). Sau bao nhiêu năm cây cao được 3m.
Lời giải
Ta có
Măm đầu tiên cây cao 1m nên
Vậy cây cao được 3m nên
Câu 2: Số dân của một thị trấn sau năm kể từ năm 1990 được ước tính theo một hàm số theo thời gian ( được tính bằng nghìn người). Biết rằng (nghìn người/năm) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn. Số dân của thị trấn đó vào năm 2035 là bao nhiêu? (kết quả lấy chính xác đến hàng phần trăm) biết dân số của thị trấn đó năm 1990 là nghìn người.
Lời giải
Ta có:
Chọn mốc thời gian là năm 1990. Dân số của thị trấn đó năm 1990 là nghìn người nên ta có
Khi đó nên
Từ năm 1990 đến năm 2035 là 45 năm nên dân số của thị trấn năm 2035 là
(nghìn người).
Câu 3: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm , trong đó tính theo ngày (). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số , trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and BEdwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày.
Lời giải
Ta có: .
Từ giả thiết suy ra:
.
Do đó, số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày là: .
Câu 4: Một đàn con trùng, ở ngày thứ có số lượng là . Biết và ban đầu đàn côn trùng có con. Hỏi sau ngày thì đàn có khoảng bao nhiêu con? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Số lượng côn trùng ngày thứ là .
Vì ban đầu đàn côn trùng có con nên
Số lượng côn trùng ngày thứ là con.
Câu 5: Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là và có gia tốc được xác định bởi công thức . Tính vận tốc của vật tại giây thứ (là tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
Ta có vận tốc của vật tại thời điểm là .
Vì vận tốc ban đầu là nên .
Nên . Vậy vận tốc của vật tại giây thứ là .
Câu 6: Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó (giây). Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?
Lời giải
Ta có quãng đường xe đi được là .
Do nên . Khi xe dừng hẳn thì .
Suy ra quãng đường đi được là .
Câu 7: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi .
Tính quãng đường (mét) viên đạn đi sau 2 giây đầu.
Lời giải
Quãng đường viên đạn đi được là: . Chọn
Vậy sau 2 giây đầu quãng đường viên đạn đi là
Câu 8: Cường độ dòng điện trong một dây dẫn tại thời điểm giây là:
Với là điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm . Biết khi giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi .
Lời giải
Ta có: .
Do nên
Như vậy nên .
Câu 9: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc . Tính vận tốc chất điểm đó tại giây thứ kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
Lời giải
Ta có .
Theo giả thiết nên .
Câu 10: Một vật chuyển động với hàm số gia tốc là . Biết rằng đồ thị hàm số trên đoạn được cho như hình dưới đây và vận tốc tại thời điểm là .
Tại thời điểm giây, vận tốc của vật là bao nhiêu?( làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
Lời giải
Từ đồ thị ta có .
Mà nên .
Vì vận tốc là hàm số liên tục nên.
Do đó .
Câu 11: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động với vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Biết rằng sau phút thì xe đạt đến vận tốc cao nhất m/phút và bắt đầu giảm vận tốc, đi được phút thì xe chuyển động đều.
Hỏi quãng đường xe đã đi được trong khoảng 10 phút đầu tiên là bao nhiêu?
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có phương trình vận tốc của ô tô là với và với . Trong khoảng 6 phút đầu phương trình quãng đường là .
Tại thời điểm xe ô tô xuất phát ta có và suy ra nên phương trình quãng đường là .
Trong khoảng 6 phút đầu ô tô đi được quãng đường là và 4 phút tiếp theo ô tô đi được quãng đường là
Vậy quãng đường ô tô đi được trong 10 phút đầu là m.
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Ký hiệu là chiều cao của một cây ( tính theo m) sau khi trồng năm. Biết rằng sau một năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ (m/năm).
Lời giải
a) Xác định chiều cao của cây sau năm ( ).
Ta có .
Vì nên .
Chiều cao của cây sau năm ( ) là .
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m.
Ta có (năm).
Vậy sau (năm) thì cây cao 3m.
Bài tập 2: Một chiếc xe đạp đang chạy với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc không đổi là . Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Lời giải
Ta có .
Vì nên .
Khi đó .
Vì nên
Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là .
Bài tập 3: Một đám vi trùng tại ngày thứ có số lượng là . Biết rằng và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm .
Lời giải
Ta có .
.
Bài tập 4: Một quần thể virut Corona đang thay đổi với tốc độ , trong đó là thời gian tính bằng giờ. Quần thể virut Corona ban đầu có số lượng là con. Tìm số lượng virut Corona sau giờ.
Lời giải
Ta có .
.
Vậy biểu thức tính số lượng virut Corona với thời gian bất kỳ là
.
Với giờ ta có .
Vậy số lượng virut khi giờ khoảng con.
Bài tập 5: Một vật chuyển động với gia tốc phụ thuộc vào thời gian theo công thức . Biết tại thời điểm thì vận tốc và quãng đường đi được của vật đều bằng . Xác định công thức tính quãng đường đi được của vật đó theo thời gian
Lời giải
Ta có vận tốc của vật tại thời điểm là:
Ta có .
và .
Vậy .
Bài tập 6: Một vật đang chuyển động đều với gia tốc thì tăng tốc với gia tốc . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây từ lúc bắt dầu tăng tốc.
Lời giải
Ta có .
Mà nên .
;
Vậy .
Bài tập 7: Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao m. Trong năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ (m/năm). Xác định chiều cao của cây sau năm .
Lời giải
Chiều cao của cây sau năm là .
Sau năm đầu tiên cây cao m do đó ta có .
Vậy
Bài tập 8: Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao m. Trong năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ (m/năm). Xác định chiều cao của cây sau năm.
Lời giải
Chiều cao của cây sau năm là
.
Sau năm đầu tiên cây cao m do đó ta có .
Vậy
Chiều cao của cây sau năm là năm.
Bài tập 9: Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức , trong đó là chiều cao của cây khi kết thúc (năm)
(Nguồn: R.Larson andB. Edwards, Calculus 10e Cemgage 2014). Cây con khi được trồng cao 12 cm.
a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau năm.
b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
Lời giải
a) là một nguyên hàm của hàm số .
Do .
Khi đó .
Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên suy ra nên .
b) Sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Cây có chiều cao là: .
Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.
Bài tập 10: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số . Trong đó tính bằng giờ , được tính bằng khách/giờ. (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik,Grundkurs ma-l, Cornelesen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với .
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Lời giải
a) Ta có là một nguyên hàm của hàm số .
Do đó .
Nên .
Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên .
Vậy .
b) Số lượng khách tham dự lễ hội sau 3 giờ là: (khách).
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Ta có:
.
Ta có: .
Vậy Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ,
d) Ta tìm để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn . Ta có: .
Ta có: .
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 15000 tại .
Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất tại thời điểm 15 giờ.
Bài tập 11: Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi là số lượng nhân công được sử dụng ở ngày thứ (kể từ khi khởi công dự án). Gọi là số ngày công nhân được tính đến hết ngày thứ ( kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng . Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số . Trong đó tính theo ngày ,tính theo người (Nguồn: A.Bigalke et al., Mathematik,Grundkurs ma-l, Cornelesen 2016). Đơn giá cho một ngày công lao động là đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Lời giải
Ta có nên là một nguyên hàm của hàm số .
Do đó: .
Suy ra: Vì .
Vậy
Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là: .
Chi phí nhân công lao động của công trình đó là: (đồng).
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Cac dang bai tap Ung dung Nguyen ham de giai cac bai toan thuc te