MỘT SỐ BÀI TOÁN TỌA ĐỘ HÓA MỘT SỐ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Phương pháp: Để tọa độ hóa một số hình học không gian thì ta thực hiện như sau:
■ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ. Trong bước này ta sẽ xác định 3 đường vuông góc có trong bài toán và gọi đó là 3 đường cơ sở. Thông thường thì ta sẽ quy ước trục hướng vào mình, trục nằm ngang, còn lại là trục .
■  Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên trên hình liên quan tới bài toán. Với những bạn chưa quen thì chúng ta xác định tọa độ hình chiếu của điểm cần tìm lên các trục, từ đó sẽ suy ra được tọa độ điểm cần tính.
■ Bước 3: Áp dụng công thức. Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại một số công thức cần nhớ trong phần này:
Diện tích và thể tích: Diện tích tam giác, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp, thể tích hình lăng trụ.
Góc: Góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Chú ý: Thông thường các bài mà không có 3 đường vuông góc thì ta sẽ phải tự dựng thêm để gắn tọa độ và những bài liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có 3 đường vuông góc, lăng trụ đứng thì khi áp dụng phương pháp này sẽ giải rất nhanh.
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc và , . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét hệ trục tọa độ như sau điểm là gốc tọa độ ; và .
Khi đó ta có ; ; và .
Phương trình mặt phẳng là .
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là .
Câu 2: Cho hình lập phương cạnh bằng . Khoảng cách giữa và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt . Chọn là trục , là trục , là trục
Suy ra
Ta có
Vậy
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Giả sử , . Ta thấy . Mặt khác lấy điểm . Gọi là độ dài cạnh hình lập phương
Khi đó ta có: nên .
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông với . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa và .
A. B. C. D.
Lời giải
Gắn hệ trụ tọa độ ta có là gốc tọa độ, .
Điểm . Ta có . Gọi
Gọi là mặt phẳng qua nhận làm vectơ pháp tuyến.
Ta có
Câu 5: Cho hình chóp có , , và . Biết sin
của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối chóp
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
Ta có và mà .
Suy ra và nên tứ giác là hình chữ nhật. Suy ra .
Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có .
Giả sử . Ta có
mà .
Suy ra
. nên với (thoả mãn). Do đó . Diện tích của tam giác là .
Vậy .
Câu 6: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính góc giữa và mặt phẳng
A. . B. . C. . D. .
Chọn hệ trục như hình vẽ
Gắn tọa độ , , , .
Ta có , suy ra , .
Vậy
Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bẳng nhau. Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng và . Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 1.
Chọn hệ trục , với là trung điểm , , .
Ta có , , , , .
, ,
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Ta có .
Ta lại có .
Câu 8: Cho hình lập phương cạnh bằng . Gọi là trung điểm . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm thì ta có
Suy ra
Chọn trục toạ độ như hình vẽ:
Ta có
Khi đó
Suy ra mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng có dạng: .
Vậy .
Câu 9: Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi tâm cạnh , và góc . Gọi là trung điểm của cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi là giao điểm của và . Chọn .
Dễ dàng tính được , , và .
Suy ra , và .
Khi đó .
Khi đó khoảng cách : .
Câu 10: Cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh ,, và . Thể tích khối tứ diện là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: .
Khi đó: , , , , , ,
Ta có: , , , .
Ta có: , ,
.
Câu 11: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại và , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi , , lần lượt là điểm đối xứng của qua , của qua và của qua mặt phẳng . Thể tích của khối tứ diện bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với độ dài vectơ đơn vị bằng , ta được tọa độ các điểm như sau:
, , , , .
Gọi là trọng tâm tam giác . Vì tam giác là tam giác đều nên cũng là trực tâm của tam giác là điểm đối xứng với qua .
Ta tính được: , ,
Khi đó: .
Vì độ dài vectơ đơn vị trên trục bằng nên ta được thể tích cần tính là .
Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Cạnh bên vuông góc với đáy . Gọi là điểm nằm trên cạnh sao cho . Hãy tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho điểm , các điểm lần lượt thuộc chiều dương các trục tọa độ . Suy ra tọa độ các điểm như trên hình vẽ.
Do là điểm nằm trên cạnh sao cho suy ra . Ta có .
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Chọn vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Khi đó: .
Câu 13: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và độ dài cạnh và vuông góc với . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là . Khi đó bằng:
A. 1. B. . C. . D. .
Lời giải
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Ta có: , , , ,
Suy ra ,
. Vậy
Câu 14: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , , . Trên lấy điểm sao cho . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có: , , , . , .
Mặt phẳng đi qua có vtpt có phương trình là: .
Khoảng cách: .
Câu 15: Cho lăng trụ có đáy là hình chữ nhật và . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với giao điểm của và . Khoảng cách từ điểm đến bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi và .
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ với .
Đặt .
Khi đó , .
Ta có .
Mặt khác nên có véctơ pháp tuyến là nên có phương trình .
Vậy .
Câu 16: Trong không gian , cho hình chóp có đáy là hình thoi, cắt tại gốc tọa độ . Biết , , . Gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng cắt đường thẳng tại điểm . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm là trung điểm của .
Điểm là trung điểm của .
Phương trình mặt phẳng là .
Phương trình đường thẳng là .
Điểm là giao điểm của và .
Vậy thể tích khối chóp là:
.
Câu 17: Cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , và . Tính thể tích khối tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có .
Vì , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , và nên:.
Suy ra
Suy ra , .
Vậy .
Câu 18: Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của (minh họa như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt khối tứ diện vào hệ trục tọa độ gốc : các điểm lần lượt thuộc các trục tọa độ .
Ta có: , , , , , .
Khi đó:.
Câu 19: Cho lăng trụ có tam giác đều cạnh bằng . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của . Biết góc tạo bởi và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Góc giữa và mặt phẳng là góc .
Ta có ; .
Đặt hệ trục toạ như hình vẽ. Coi khi đó , , ,
. Gọi, , .
Vì nên .
Ta có là vectơ pháp tuyến của mp. Phương trình mặt phẳng là: .
. Vậy khoảng cách từ đến là .
Câu 20: Trong không gian , cho hai đường thẳng và . Biết rằng có một hình hộp thỏa mãn , cùng thuộc , , cùng thuộc và , cùng thuộc . Thể tích của khối hộp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Nhận xét rằng các đường thẳng , , đôi một vuông góc với nhau nên .
Gọi là tâm của hình bình hành và là giao của và .
Ta có . Mặt khác .
Kẻ () suy ra là đoạn vuông góc chung của.
Vì .
Kẻ () suy ra là đoạn vuông góc chung của .
Vì .
Ta lại có
.
Câu 21: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng là đường vuông góc chung của và . Tỷ số bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Kết quả bài toán sẽ không thay đổi nếu ta xét lăng trụ đều có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ( là trung điểm của ) thì ta có: , .
Do nên ta có ,
.
Đường thẳng là đường vuông góc chung của và nên:
.
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc tọa độ . Biết rằng , , với , là các số dương và . Gọi là trung điểm của cạnh . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có , , , .
Suy ra , , , , .
Và , , .
; .
Ta được .
.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình chóp tứ giác đều có các điểm , . Gọi là tâm hình vuông . Tính khoảng cách từ đường vuông góc chung của đường thẳng và đến đường thẳng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì là tâm hình vuông nên là trung điểm của .
Tọa độ . Suy ra tọa độ điểm .
Gọi là trung điểm khi đó tọa độ và (1).
Vì hình chóp là hình chóp đều nên (2).
Từ (1) và (2) suy ra đường vuông góc chung của và là đường thẳng .
Vì nên khoảng cách từ đến bằng .
Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là điểm trên cạnh sao cho , điểm di động trên cạnh . Biết diện tích của tam giác nhỏ nhất khi tỷ số . là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ toạ độ sao cho:
Khi đó .
Gọi toạ độ điểm ;
Diện tích của tam giác là:
Do đó nhỏ nhất khi . Khi đó tỉ số .
Câu 25: Cho hình lập phương có cạnh bằng 4. Gọi là đường thẳng đi qua trọng tâm của tứ diện , cắt đường thẳng tại và song song với mặt phẳng . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có: .
Gọi là trọng tâm của tứ diện suy ra .
Phương trình mặt phẳng : .
Đường thẳng cắt đường thẳng tại suy ra .
Khi đó, và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Do nên .
Suy ra nên .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình chóp có đường cao và có đáy là tam giác vuông tại . Biết rằng
. Gọi là trung điểm của và là điểm sao cho và được gắn vào hệ trục tọa độ (với ) như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
b) Khi thì hai đường thẳng và vuông góc với nhau.
Lời giải
Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với , tia trùng với tia , tia trùng với tia sao cho điểm nằm trong góc .
a) Đúng: Khi đó
b) Đúng:
c) Sai: Gọi thì
Từ điều kiện nên
Ta có nên
d) Sai: Hai đường thẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Câu 2: Cho tứ diện có và . Biết rằng tam giác là tam giác vuông tại . Các điểm sao cho . Gắn tứ diện vào hệ trục tọa độ với . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Tọa độ điểm
c) Đoạn thẳng ngắn nhất bằng
d) Khi ngắn nhất thì là đường vuông góc chung của và
Lời giải
a) Đúng: Ta chọn hê trục sao cho gốc tọa độ . Trục chứa , trục chứa và trục . Khi đó cạnh song song với trục và ta có:
b) Đúng: Ta có
c) Sai:
Vậy ngắn nhất bằng khi
d) Đúng: Khi ngắn nhất thì:
Ta có nên là đường vuông góc chung.
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy và mặt bên tạo với đáy góc . Chọn hệ trục có là tâm đáy , tia chứa , tia chứa , tia chứa . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d) Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì
Lời giải
a) Đúng: Ta có:
b) Đúng:
c) Đúng:
d) Sai: Ta có
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc . Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi là giao điểm và . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
d) Thể tích tứ diện bằng (đvtt)
Lời giải
a) Đúng: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Khi đó:
b) Đúng:
c) Sai: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến
d) Sai: Vì nên 2 mặt phẳng vuông góc
Ta có
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).
a) Phương trình tham số của đường cáp là:
b) Giả sử sau thời gian (s) kể từ lúc xuất phát thì cabin đến điểm . Khi đó tọa độ điểm là .
c) Cabin dừng ở điểm có hoành độ , khi đó quãng đường dài 800 m.
d) Đường cáp tạo với mặt phẳng một góc .
Lời giải
a) Đúng: Phương trình tham số của đường cáp là:
b) Đúng: Ta có và ta gọi thuộc đường thẳng
Khi đó: và cùng hướng với vectơ nên dương
Suy ra nên
c) Sai: Từ câu trên suy ra
Khi đó: mét
d) Sai: Ta có và mặt phẳng là nên ta có
Từ đó: nên
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh có cạnh bằng và vuông góc với đáy. Khi , hãy tính độ dài cạnh để góc tạo bởi và bằng .
Lời giải
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, là trung điểm của và đặt
Khi đó
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Yêu cầu bài toán tương đương với
.
Câu 2: Cho hình vuông cạnh . Trên hai tia , vuông góc với mặt phẳng và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm sao cho . Tính góc giữa hai mặt phẳng và
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Ta có: .
Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nên .
Khi đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Do đó: .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông có độ dài đường chéo bằng và vuông góc với mặt phẳng . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Nếu thì góc giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi .
Hình vuông có độ dài đường chéo bằng suy ra hình vuông đó có cạnh bằng .
Ta có .
Ta có .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có .
Khi đó .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Suy ra .
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tạivà, thỏa mãn điều kiện, ,, vuông góc với mặt đáy, . Gọi lần lượt là trung điểm của .Tính cosin của góc giữa và . (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Chọn đơn vị là
Có
Vecto chỉ phương của là
Vecto pháp tuyến của là
Vậy nên
Câu 5: Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian . Cho biết trục của nòng súng có phương trình: và hồng tâm . Hỏi bằng bao nhiêu vận động viên có bắn trúng hồng tâm.
Lời giải
Để vận động viên có bắn trúng hồng tâm thì trục phải đi qua hồng tâm.
Ta thay điểm vào phương trình trục : .
Vậy thì vận động viên bắn trúng hồng tâm.
Câu 6: Trong không gian , một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ là m/s (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Giả sử sau (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm . Gọi tọa độ . Tính .
Lời giải
Phương trình tham số của đường cáp là:
Do tốc độ chuyển động của cabin là m/s nên độ dài .
Vì vậy sau (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm thì .
Vì nên suy ra .
Do 2 vec tơ cùng hướng
Vì .
Vậy tọa độ . Khi đó .
Câu 7: Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí cao của tháp 1 này sang vị trí cao của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của và lần lượt là và . Khi du khách khi ở độ cao 12 mét thì tọa độ của du khách lúc đó là . Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Ta có: ,
Phương trình tham số đường thẳng là: .
Vậy phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline là .
Xác định toạ độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.
Khi du khách khi ở độ cao 12 mét
Thay vào phương trình đường thằng ta được
Vậy
Câu 8: Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục trùng với cột trụ, mặt phẳng là mặt nước và xem như trục cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh thuộc trục và điểm thuộc mặt phẳng , trong đó điểm là đỉnh cột trụ cách mặt nước m, điểm cách mặt nước m và cách trục m.
Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm trên dây cáp và điểm trên thành cầu, biết cách mặt nước m và song song với cột trụ.
(Nguồn ảnh: https://www.goldengate.org/assets/1/6/ggb-exhibit-chapter-statistics.pdf).
Tính độ dài , biết điểm cách trục một khoảng bằng m (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)
Lời giải
Ta có và cách mặt nước m và cách trục m
Điểm là đỉnh cột trụ cách mặt nước m
Phương trình đường thẳng là
Vì
Điểm trên thành cầu, cách mặt nước m và cách trục một khoảng bằng m nên tọa độ điểm là
song song với cột trụ .
m.
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và biết . Biết rằng và vuông góc với mặt đáy . Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính cosin của góc giữa và .
Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ, chọn đơn vị là .
Có .
Vectơ chỉ phương của là .
Vectơ pháp tuyến của là .
Vậy nên .
Bài tập 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính cosin góc giữa và , biết thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?
Lời giải
Vì là hình thang cân có
Suy ra
Nên .
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây:
Та со́ ,
Vectơ . Chọn cùng phương với
Nhận xét
Vectơ là VTPT của nên ta chọn cùng phương với
Gọi là góc góc giữa và khi đó .
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng có . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Số đo góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng
Lời giải
Thiết lập hệ toạ độ trong không gian như hình vẽ, gốc toạ độ trùng .
Dễ dàng tính được và
Ta có: và
Suy ra mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có cùng phương ; cùng phương
Mặt phẳng có một vecto pháp tuyến
Khi đó:
Bài tập 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là trung điểm . Tính cot góc của hai mặt phẳng và
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Khi đó ta có tọa độ các điểm như sau:
Ta có:
Đặt góc và là , khi đó ta có:
Khi đó .
Bài tập 5: Cho hình tứ diện có vuông góc với vuông góc với vuông góc với . Biết (với ). Gọi tương ứng là trung điểm của hai cạnh . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo .
Lời giải
Vì vuông góc với , vuông góc với nên . Gọi là trung điểm của suy ra . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Khi đó ta có:
Phương trình mặt phẳng .
Vậy
Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ.
Lời giải
Gọi chiều cao của hình lăng trụ là .
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó
Suy ra là trung điểm của .
Vì và nên là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Ta có: là vectơ pháp tuyến của .
Theo giả thiết góc giữa và mặt phẳng bằng
Tức là:
Vậy thể tích của khối lăng trụ là .
Bài tập 7: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bẳng nhau. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . Tính
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho . Chọn
Ta có nhận là một vectơ pháp tuyến.
Từ
Ta có nhận là một vectơ chỉ phương.
Suy ra:
.
Bài tập 8: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn ta có hệ trục tọa độ sao cho và
Ta có và
Khi đó
Do đó: .
Bài tập 9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, biết rằng và vuông góc với đáy . Hãy tính sin , với là góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, ta có:
nên đường thẳng có vectơ chỉ phương là .
Ta có: .
Như vậy, mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Do đó, là góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng thì
Bài tập 10: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy. Góc giữa và mặt đáy bằng . Gọi là trung điểm . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Ta có thể đưa ra các cách giải như sau:

onthicaptoc.com Cac dang bai tap Toa do hoa mot so HHKG va ung dung thuc te