CÁC DẠNG TOÁN BÀI PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC.
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 1: Xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy
■ Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng đáy .
■ Như vậy là hình chiếu vuông góc của trên .
■ Vậy .
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , có . Biết , tạo với đáy một góc và là trung điểm của
a) Tính cosin góc giữa và mặt phẳng .
b) Tính cosin góc giữa và mặt phẳng .
Lời giải
a) Do .
Do đó .
Ta có: .
Khi đó: .
b) Do .
Ta có: .
Khi đó .
Ví dụ 2: Cho hình chóp , đáy là hình chữ nhật có . Tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa và mặt phẳng .
b) Gọi là trung điểm của Tính tan góc giữa và mặt phẳng .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của ta có: .
Mặt khác .
Tam giác đều cạnh nên .
.
Do
và .
b) Ta có: .
Mặt khác và .
Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều cạnh , . Biết và đường thẳng tạo với đáy một góc .
a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh và mặt đáy .
b) Gọi là trung điểm của tính tan góc tạo bởi và mặt phẳng .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của là hình thoi cạnh vuông tại
Do .
Do đó
.
.
b) Ta có: .
Do đó .
Dạng 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng với .
■ Dựng , có .
■ Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng .
■ Vậy .
Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có . Biết tạo với đáy một góc . Tính cosin góc tạo bởi:
a) và mặt phẳng ; và mặt phẳng .
b) và mặt phẳng .
Lời giải
a) Do .
Lại có: .
Khi đó
Do . Mặt khác .
Tương tự và .
Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , . Biết tạo với đáy một góc . Tính tan góc tạo bởi:
a) và mặt phẳng . b) và mặt phẳng .
Lời giải
a) Ta có: tại . Khi đó .
Xét tam giác vuông ta có:
đều cạnh .
Mặt khác .
Suy ra .
Dựng .
Do đều cạnh nên là trung điểm của
Ta có: trong đó .
Do đó .
b) Ta có: và .
Trong đó .
Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật , hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là điểm thuộc cạnh sao cho . Biết và . Tính tan góc tạo bởi:
a) và mặt phẳng . b) và mặt phẳng .
Lời giải
a) Ta có:
Dựng
Mặt khác
Suy ra .
b) Dựng .
Khi đó , .
Ta có: .
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật có , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với tâm của hình chữ nhật biết cạnh bên tạo với đáy một góc . Tính cosin góc tạo với và mặt phẳng
Lời giải
Ta có: .
Do
Dựng .
Ta có: , .
Suy ra .
Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Tính góc tạo bởi và mặt phẳng biết .
Lời giải
Dựng .
Do .
Lại có: .
Do đó .
Vậy .
Dạng 3: Góc giữa đường cao và mặt bên
Tìm góc giữa đường cao SH và mặt phẳng .
■ Dựng .
■ Ta có: .
■ Mặt khác là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng
■ Vậy .
Ví dụ 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Cạnh bên và vuông góc với đáy. Tính góc giữa và mặt phẳng .
Lời giải
Từ kẻ vuông góc với tại . Ta có: và .
Kẻ . Mà suy ra .
Tam giác vuông tại , có tam giác vuông cân tại nên .
Vậy .
Ví dụ 10: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có và . Tính tan góc giữa và các mặt phẳng và .
Lời giải
Do .
Dựng là hình chiếu vuông góc của trên .
Khi đó: .
Do đó .
Tương tự ta có: và .
Dựng ta có: .
Mặt khác .
Khi đó , trong đó .
Ví dụ 11: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và có và . Biết rằng tạo với đáy một góc . Tính tan góc giữa và các mặt phẳng và .
Lời giải
Ta có: . Do .
Suy ra .
Dựng , có .
Do đó là hình chiếu của A trên mặt phẳng .
Suy ra: .
Ta có: .
Gọi là trung điểm của là hình vuông cạnh vuông tại Khi đó .
Dựng . Ta có: .
Dựng .
Mặt khác .
Ví dụ 12: Cho hình chóp , có đáy là nửa lục giác đều cạnh , . Biết và đường thẳng tạo với đáy một góc .
a) Tính tan góc tạo bởi và . b) Tính góc tạo bởi và .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của là hình thoi cạnh vuông tại
Do .
.
Dựng .
Do .
Mặt khác .
Suy ra .
b) Do . Dựng
Khi đó .
Ta có: . Vậy .
Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh , đường cao . Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải
Dựng ta có:
Suy ra: .
Ta có:
Do đó .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và có và tam giác vuông tại , cạnh bên và vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường và mặt phẳng
Lời giải
Ta có nên là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Do đó góc giữa đường và mặt phẳng là góc .
Tam giác vuông tại nên ta có
Tam giác vuông cân tại nên .
Vậy góc giữa đường và mặt phẳng bằng .
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , gọi là trung điểm . Biết và tam giác đều. Tính góc giữa và
Lời giải
Vì nên .
Đáy là tam giác vuông tại nên .
Tam giác đều nên .
Xét vuông tại : . Vậy .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân với , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tín tang của góc giữa và mặt phẳng đáy
Lời giải
Gọi là trung điểm . Ta có tại , mà nên suy ra là hình chiếu của trên .
Suy ra .
 ; , .
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Ta có: .
Do đó: là hình chiếu vuông góc của trên .
Khi đó: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc.
Đáy là hình vuông cạnh nên .
Tam giác vuông cân tại nên .
Tam giác vuông tại nên .
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm của . Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Ta có mà góc giữa và bằng
vuông tại có .
Câu 6: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Ta có: .
. Suy ra vuông cân tại .
Do đó . Vậy
Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Biết vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Do nên góc giữa và mặt phẳng là góc .
.
Tam giác vuông cân tại nên .
Câu 8: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi , là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh , sao cho . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên cạnh .
Khi đó ta có .
.
vuông tại :.
Vậy .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , đều cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Ta có: là hình thoi có tâm là là trung điểm của .
Mà đều nên
Lại có
Xét có:
Ta có:
Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , và . Tính góc giữa và mặt phẳng .
Lời giải
Do .
Gọi là hình chiếu của trên . Khi đó .
Do đó hình chiếu của xuống là .
Vậy góc giữa và là .
Ta có đều cạnh
Xét có .
Câu 11: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Ta có là lăng trụ tam giác đều ,
.
Tam giác vuông cân tại nên .
Vậy .
Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Hình chiếu của lên mặt phẳng là
Suy ra hình chiếu của lên mặt phẳng là .
Do vậy .
Ta có hay .
Câu 13: Cho hình chóp đáy là hình thoi cạnh và . Tính góc giữa và mặt phẳng .
Lời giải
Gọi , là hình chiếu của trên .
đều .
Ta có . Mà
.
Khi đó: .
Câu 14: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Ta có: là hình chiếu của lên mặt phẳng nên .
Xét tam giác vuông tại có ; nên
Suy ra
Vậy .
Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Biết vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Ta có .
Xét vuông tại .
Xét vuông cân tại. ( vì ).
Vậy .
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật. Biết , , và vuông góc với đáy. Tính góc giữa và mặt phẳng .
Lời giải
Ta có suy ra .
Mà là hình vuông nên .
Do đó nên .
Tam giác vuông tại nên .
Tam giác vuông tại nên .
Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi là điểm nằm trên cạnh sao cho . Tính giá trị của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Có là hình vuông; ; ; Trong dựng suy ra ;
Ta có góc giữa và bằng ;
Suy ra:
Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ; và vuông góc với mặt đáy . Gọi ; lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh lên các cạnh và . Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải
Gọi ; ; ; đồng quy tại
Ta có:
Mà nên
Mà nên
Do đó và là hình chiếu của trên mặt phẳng hay là hình chiếu của trên mặt phẳng
(do tam giác vuông tại )
Từ gtTam giác vuông cân tại là trung điểm
là trọng tâm tam giác
Lại có: và
Mặt khác
Do đó .
Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, , tam giác là tam giác đều, . Tính côsin của góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải
Đặt . Suy ra , , .
Ta có: mà
Suy ra hình chiếu của trên mặt phẳng thuộc giao tuyến .
Mặt khác:
.
Ta có: , suy ra: vuông tại .
.
Vì nên là hình chiếu của trên mặt phẳng nên
.
.
Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , là tâm của đáy và Gọi là góc giữa và mặt phẳng . Tính
Lời giải
Ta có:
Dựng tại , tại .
Do là hình vuông nên là trung điểm của .
Ta có: .
.
Câu 21: Cho hình lập phương . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tính
Lời giải
Ta có hình vẽ
Gọi , .
Ta có , suy ra
Từ đó suy ra
là hình chiếu vuông góc của lên .
Do đó .
Trong vuông tại ta có .
Câu 22: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vuông tại và , , mặt phẳng tạo với đáy một góc . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tính
Lời giải
Ta có: .
Xét tam giác vuông có .
Góc .
Câu 23: Cho hình lập phương . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh và . Gọi là góc hợp giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tính giá trị của .
Lời giải
Ta có là trung điểm của là tâm của hình vuông .
Gọi .
Ta có .
Gọi cạnh của hình lập phương bằng và .
Tam giác vuông tại
. Vậy .
Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cùng hợp với đáy một góc . Tính góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng
Lời giải
Gọi là tâm của hình vuông là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Khi đó: . Vì là hình vuông nên .
Ta có: .
Từ và suy ra: là hình chiếu của lên .
Do đó . Vì cân tại .
Vậy góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng bằng .
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ?
Lời giải
Gọi là trung điểm của
Suy ra
Gọi qua I kẻ đường thẳng // MH cắt MN tại K
Khi đó và E là hình chiếu của N trên BD
Suy ra
Tam giác vuông tại có
Ta có
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình lập phương (tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Giả sử hình lập phương có cạnh là
Trong tam giác ta có .
Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật có và (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Góc cần tìm là . Vì đáy là hình vuông nên và
Câu 3: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và .(minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Mà: .
Vì vuông cân tại nên ta có .
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của . Tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Gọi là tâm của hình vuông. Ta có và
Gọi là trung điểm của ta có nên là hình chiếu của lên mặt phẳng và .
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Khi đó ta có .
Vậy tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
Câu 5: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại , , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: vuông góc với mặt phẳng
là hình chiếu của lên mặt phẳng
là hình chiếu của lên mặt phẳng
vuông tại B
.
Câu 6: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông cân tại và (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: ; tại .
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Do tam giác vuông cân tại và nên .
Suy ra tam giác vuông cân tại .
Do đó: .
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .
Câu 7: Cho hình chóp và có đáy là tam giác vuông tại vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Do là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng nên
Ta có:
Khi đó .
Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật có , , (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Trong tam giác vuông tại , có: .
Trong tam giác vuông tại , có: .
Vậy .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và , gọi là trung điểm của . Tính côsin của góc là góc giữa đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm của
Ta có: nên là hình chiếu vuông góc của lên
góc giữa đường thẳng và là góc .
Xét tam giác ,
Xét tam giác đều cạnh , có là đường cao nên
Xét tam giác vuông tại I, nên
.
Câu 10: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa và mặt phẳng đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Trong tam giác vuông ta có . Vậy .
Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại có . Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Góc giữa và mặt phẳng là .
Ta có: ,

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và . Số đo của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Có nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và .
Có .
Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm ; tam giác đều cạnh ; và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Do tam giác đều cạnh nên .
Do nên là hình chiếu của lên mặt phẳng
(do tam giác vuông tại )

onthicaptoc.com Cac dang bai tap Phep chieu vuong goc. Goc giua duong thang va mat phang