CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
Dạng 1: Toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ
Phương pháp:
1
Toạ độ vectơ
Với mỗi vectơ trên mặt phẳng , có duy nhất cặp số sao cho . Ta nói vectơ có tọa độ và nếu hay . Các số tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của .
Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.
Hai vectơ
2
Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ và . Khi đó ta có:
với
Nhận xét: Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi tồn tại số sao cho ( hay là nếu ).
Nếu điểm có tọa độ thì vectơ có tọa độ và có độ dài
Nhận xét: Với ta lấy điểm thì . Do đó .
Chẳng hạn, vectơ có độ dài là .
Với hai điểm và thì và khoảng cách giữa hai điểm , là .
Chú ý:
■ Trung điềm của đoạn thẳng có toạ độ là .
■ Trọng tâm của tam giác có toạ độ là
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm như hình vẽ. Tìm tọa độ của các vectơ .
Lời giải
Ta có: .
Do đó: .
Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ . Tìm tọa độ các vectơ dưới hình vẽ.
Lời giải
Ta có: và nên và tương tự .
Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tọa độ các vectơ dưới hình vẽ.
Lời giải
Ta có: .
Bài tập 4: Thực hiện các yêu cầu sau đây:
a) Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ . Hãy biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Hãy biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
c) Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Hãy biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
d) Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ và vectơ . Hãy tìm và để vectơ bằng vectơ .
e) Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ và vectơ . Hãy tìm và để vectơ bằng vectơ .
Lời giải
a) Vì nên .
b) Vì điểm nên do đó: .
c) Vì điểm nên do đó: .
d) Ta có: . Vậy và .
e) Ta có: hay .
Để . Vậy và .
Bài tập 5: Thực hiện các yêu cầu sau đây:
a) Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ và vectơ . Hãy tìm và để vectơ bằng vectơ .
b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ và vectơ . Hãy tìm và để vectơ bằng vectơ .
c) Trong hệ tọa độ cho , . Tìm tọa độ của vectơ
d) Trong hệ tọa độ cho ba điểm , , . Tìm tọa độ của vectơ
e) Trong hệ tọa độ cho ba điểm , , . Tìm tọa độ điểm để là hình bình hành.
Lời giải
a) Ta có: . Vậy và .
b) Ta có: . Vậy và .
c) Ta có .
d) Ta có .
e) Gọi là hình bình hành . Vậy
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ . Khi đó tọa độ vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tọa độ vectơ là .
Câu 2: Cho . Giá trị của và để là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ . Khi đó tọa độ của điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì nên .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm . Tìm tọa độ của điểm để tứ giác là hình bình hành.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi . Ta có:
Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi
Câu 5: Cho điểm trong hệ trục tọa độ như hình vẽ. Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tọa độ điểm là
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm như hình vẽ. Điểm nào sau đây có tọa độ ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Câu 7: Trên trục số , gọi là điểm biểu diễn số và đặt . Gọi là điểm biểu diễn số . Biểu thị vectơ theo vec tơ ta được
A. B. C. . D. .
Lời giải
Do là điểm biểu diễn số và là điểm biểu diễn số  nên vec tơ và cùng phương, cùng hướng và suy ra .
Câu 8: Trên trục số , gọi là điểm biểu diễn số và đặt . Gọi là điểm biểu diễn số . Biểu thị vec tơ theo vec tơ ta được
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do là điểm biểu diễn số và là điểm biểu diễn số  nên vec tơ và cùng phương, ngược hướng và . Suy ra
Câu 9: Biểu thị vec tơ (hình vẽ) theo các vec tơ ta được:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi . Theo quy tắc hình bình hành.
Ta có nên .
Câu 10: Biểu thị vec tơ (hình vẽ) theo các vec tơ ta được:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi . Theo quy tắc hình bình hành.
Ta có nên .
Câu 11: Biểu thị vec tơ (hình vẽ) theo các vec tơ ta được:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có ,
Vì nên
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết . Tọa độ của vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Biết nên tọa độ của vectơ
Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ cùng phương với là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên hai vec tơ cùng phương.
Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết . Độ dài của vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Biết nên tọa độ của vectơ
Độ dài của vectơ là
Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên ba điểm thẳng hàng.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Ta có: .
a) Đúng:
b) Đúng:
c) Sai:
d) Sai:
Câu 2: Cho . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Ta có: .
a) Sai:
b) Đúng:
c) Sai:
d) Sai:
Câu 3: Cho . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Ta có: ;.
a) Sai:
b) Sai:
c) Đúng:
d) Đúng:
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các vectơ và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Vectơ cùng phương, cùng hướng với vectơ
c) Vectơ cùng phương, cùng hướng với vectơ
d)
Lời giải
a) Đúng: Ta có: .
b) Đúng: Ta có nên là hai vectơ cùng phương với nhau, hơn nữa chúng cùng hướng với nhau vì .
c) Sai: Tương tự: , tức là nên và là hai vectơ cùng phương, ngược hướng với nhau.
d) Đúng: Gọi là các số thỏa mãn ( không cùng phương).
Khi đó: . Vậy .
Câu 5: Cho các vectơ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Ta có: .
a) Đúng:
b) Sai:
c) Sai:
d) Đúng:
Câu 6: Cho các vectơ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Ta có: .
a) Đúng:
b) Đúng:
c) Sai:
d) Đúng:
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho và . Xác định sao cho và cùng phương.
Lời giải
Ta có
Để và cùng phương
Câu 2: Cho Tìm để hai vectơ cùng phương.
Lời giải
Hai vectơ cùng phương
Câu 3: Cho Tìm biết .
Lời giải
Ta có
Để
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho các vectơ và . Tìm dương biết rằng cùng phương với .
Lời giải
Ta có cùng phương với khi và chỉ khi
.
Vì dương nên thỏa mãn.
Câu 5: Cho . Xác định để ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
Ta có .
Để thẳng hàng cùng phương .
Vậy thì thẳng hàng.
Câu 6: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Lời giải
Gọi là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Do tàu khởi hành từ đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng .
Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới ta được:
Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là .
Dạng 2: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Phương pháp: Sử dụng lý thuyết đã được nêu
■ Dùng định nghĩa vectơ thì hay .
■ Sử dụng các phép biến đổi về tọa độ của véctơ.
■ Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.
■ Cho đoạn thẳng có Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
■ Cho tam giác có Khi đó tọa độ của trọng tâm của tam giác được tính theo công thức:
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho . Tìm tọa độ của vectơ biết:
a) b)
Lời giải
a) Ta có suy ra
b) Ta có
Suy ra .
Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho , , .
a) Tìm tọa độ của các vectơ , , , .
b) Phân tích vectơ theo hai vectơ , .
Lời giải
a) Ta có , , .
Khi đó , nên .
b) Ta có hai vectơ , không cùng phương.
Theo yêu cầu của đề bài ta cần tìm bộ số , thỏa mãn
Suy ra .
Vậy ta viết được .
Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho , , .
a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
b) Chứng minh ba điểm , , tạo thành một tam giác.
c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm thì hay .
b) Tính được , dẫn đến hai vectơ đó không cùng phương. Nói cách khác ba điểm , , tạo thành một tam giác.
c) Gọi là trọng tâm tam giác thì hay .
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho , , .
a) Tìm tọa độ điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng .
b) Xác định tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
a) Do là trung điểm của đoạn thẳng nên .
Vậy .
b) Gọi .
Do tứ giác là hình bình hành nên.
Ta thấy , , , không thẳng hàng. Vậy
Bài tập 5: Trong mặt phẳng , cho các điểm , . Tìm tọa độ điểm thỏa ?
Lời giải
Giả sử suy ra và .
Ta có: .
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình bình hành có , . Gọi là trung điểm của cạnh , là giao điểm của và . Xác định các đỉnh còn lại của hình bình hành , biết .
Lời giải
Do là tâm của hình bình hành ta có là trung điểm của đoạn thẳng nên toạ độ của điểm
Xét tam giác thì , là hai đường trung tuyến nên là trọng tâm tam giác .
Do đó .
Gọi . Do trung điểm của nên nên .
Vậy , .
Bài tập 7: Trong hệ trục tọa độ , cho hình vuông tâm và có . Biết điểm thuộc trục và cùng hướng với . Tìm tọa độ các vectơ ?
Lời giải
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ bên.
Vì điểm suy ra . Do đó .
Bài tập 8: Cho tam giác với và. Tìm toạ độ điểm là của chân đường phân giác trong góc biết .
Lời giải
Theo tính chất đường phân giác:
Gọi .
Suy ra: . Vậy nên
Bài tập 9: Trong hình bàn cờ vu dưới đây, quân mã đang ở vị trí có tọa độ . Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?
Lời giải
Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.
Do đó từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí như dưới đây:
Điểm có tọa độ , có tọa độ , có tọa độ , có tọa độ
có tọa độ , có tọa độ
Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: là trung điểm của đoạn thẳng
Khi đó: Vậy .
Câu 2: Cho . Tìm toạ độ vectơ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm , . Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng : .
Câu 4: Trong mặt phẳng , cho . Tìm giá trị của để hai vectơ và cùng phương.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: cùng phương
Câu 5: Cho hai vectơ . Tích vô hướng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 6: Trong mặt phẳng , cho điểm và . Tọa độ trọng tâm của tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tọa độ trọng tâm . Vậy .
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ , cho , . Tọa độ của vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử , suy ra . Vậy .
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có trọng tâm . Tìm tọa độ điểm biết ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:.
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho các điểm ,,. Tọa độ điểm thỏa mãn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi điểm .
Theo bài ra .
Vậy .
Câu 10: Cho , . Tìm tọa độ điểm thuộc trục sao cho ba điểm ,, thẳng hàng?
B. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì thuộc trục nên .
Suy ra , . Để ba điểm ,, thẳng hàng thì .
nên .
Câu 11: Trong mặt phẳng , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có .
Vậy .
Câu 12: Cho tam giác có . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. vuông. B. Chu vi tam giác bằng.
C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; ;
Do nên vuông và chu vi tam giác .
Mặt khác, .
Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ điểm trên trục sao cho tam giác vuông tại .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do nên gọi tọa độ điểm là: .
Ta có ; .
Tam giác vuông tại nên
. Vậy .
Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hai điểm . Tìm điểm thuộc trục và có hoành độ dương để tam giác vuông tại .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có (theo giả thiết thì )
Ta có
Tam giác vuông tại
. Vậy .
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có . Tìm tọa độ điểm là trực tâm tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trực tâm của tam giác. Khi đó .
 ; .
Khi đó . Vậy .
Câu 16: Cho . Điểm thỏa , tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt : .
Câu 17: Cho . Điểm trên trục sao cho ba điểm thẳng hàng thì tọa độ điểm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt . Ta có: , .
Yêu cầu bài toán là
Câu 18: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ của điểm đối xứng với qua là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: đối xứng với qua là trung điểm đoạn thẳng
Do đó ta có:
Câu 19: Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 20: Cho . Hai vectơ cùng phương nếu
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: cùng phương .
Câu 21: Trong mặt phẳng , cho . Nếu thì
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ cho . Điểm là điểm đối xứng của qua trục hoành. Tọa độ điểm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có là điểm đối xứng của qua trục hoành .
Câu 23: Cho tam giác với . Tìm để là hình bình hành?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: là hình bình hành .
Câu 24: Cho . Điểm sao cho là trung điểm . Tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Điểm là trung điểm . Vậy .
Khi đó .
Câu 25: Cho lần lượt là trung điểm các cạnh của . Tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có là hình bình hành nên .
Câu 26: Trong mặt phẳng , cho các điểm , , , . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho thẳng hàng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: và thẳng hàng.
Câu 27: Tam giác có , trọng tâm , trung điểm cạnh là . Tọa độ và là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Điểm là trung điểm của
Gọi ,
Ta có : .
Câu 28: Sự chuyển động của một ca nô được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Ca nô khởi hành từ vị trí chuyển động thẳng đều với vận tốc ( tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ . Xác định vị trí Ca nô (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành giờ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trên mặt phẳng tọa độ ta biểu diễn bởi vetơ . Gọi là điểm biểu diễn vị trí của Ca nô tại thời điểm sau khi khởi hành giờ.
Khi đó .
Vậy sau giờ khởi hành Ca nô đến vị trí điểm .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ , cho với ,. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Tam giác cân tại
b)
b)
Lời giải
a) Đúng: Ta có
Ta thấy nên tam giác cân tại .
b) Sai: Chu vi tam giác là .
c) Sai: Nửa chu vi tam giác là .
Diện tích tam giác: .
d) Đúng: Ta có: .
Vì tam giác cân tại nên .
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho với ,. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Tọa độ điểm thuộc cách đều hai điểm có hoành độ bằng
c) là tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng
Lời giải
a) Đúng:
b) Sai: Gọi ;
Khi đó
Ta có: . Vậy .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Vecto trong mat phang toa do Toan 10 giai chi tiet