CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Xác định vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ, độ dài vectơ
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho tứ diện . Đặt , , . Gọi là trọng tâm tam giác . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Mặt khác
.
Câu 2: Cho tứ diện . Đặt , , . Gọi là trung điểm của đoạn . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Vì là trung điểm của .
Mặt khác
Câu 3: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Vì lần lượt là trung điểm của
Câu 4: Cho tứ diện và điểm thỏa mãn ( là trọng tâm của tứ diện). Gọi là giao điểm của và mặt phẳng . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì là giao điểm của và mặt phẳng là trọng tâm tam giác .
mà
Suy ra .
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt , , , . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là tâm hình bình hành
Câu 6: Cho hình lăng trụ . Đặt , , . Gọi là trọng tâm của tam giác . Véctơ bằng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm . Vì là trọng tâm tam giác .
Mặt khác
.
Câu 7: Cho hình lăng trụ . Đặt , , . Hãy biểu diễn vectơ theo ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Vì là hình bình hành nên
.
Câu 8: Cho hình lăng trụ . Gọi là trung điểm của cạnh . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì là trung điểm .
Mặt khác
Câu 9: Cho hình hộp tâm . Gọi là tâm của hình bình hành . Đặt , , , . Khi đó:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm .
Vì là trung điểm
.
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác . Đặt , , , . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 11: Cho hình lập phương . Gọi là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có
Mặt khác là trung điểm .
Câu 12: Cho hình hộp . Đặt , , . Phân tích vectơ theo ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 13: Cho tứ diện . Điểm xác định bởi đẳng thức sau . Mệnh đề nào đúng?
A. là trung điểm . B. là đỉnh hình bình hành .
C. là đỉnh hình bình hành . D. .
Lời giải
Ta có .
Suy ra là đỉnh thứ tư của hình bình hành .
Câu 14: Cho hình hộp . Gọi là điểm được xác định bởi đẳng thức sau . Mệnh đề nào đúng?
A. là tâm mặt đáy .
B. là tâm mặt đáy .
C. là trung điểm đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
D. tập hợp điểm là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
Lời giải
Gọi và .
.
là trung điểm của .
Câu 15: Cho hình hộp có tâm . Đặt , . Điểm xác định bởi đẳng thức . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là trung điểm . B. là tâm hình bình hành .
C. là trung điểm . D. là tâm hình bình hành .
Lời giải
Gọi lần lượt là tâm các mặt đáy là trung điểm .
Mặt khác .
Suy ra là trung điểm .
Câu 16: Cho ba vectơ . Điều kiện nào dưới đây khẳng định đồng phẳng?
A. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và .
B. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và .
C. Tồn tại ba số thực sao cho .
D. Giá của đồng qui.
Lời giải
Xét ta luôn có và nhưng không thể suy ra
được đồng phẳng.
Xét thì chắc chắn có một trong ba số khác .
Giả sử đồng phẳng.
Câu 17: Cho ba véctơ không đồng phẳng. Xét các véctơ và và . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. đồng phẳng. B. cùng phương.
C. cùng phương. D. đôi một cùng phương.
Lời giải
Giả sử ba vectơ đồng phẳng khi đó .
.
Vậy đồng phẳng.
Câu 18: Cho ba véctơ không đồng phẳng. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. và và đồng phẳng.
B. và và đồng phẳng.
C. và và đồng phẳng.
D. và và đồng phẳng.
Lời giải
Ta có đồng phẳng khi và chỉ khi .
Với đồng phẳng.
Câu 19: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. đồng phẳng nếu một trong ba vectơ đó bằng .
B. đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
C. Trong hình hộp ba vectơ đồng phẳng.
D. luông đồng phẳng với hai vectơ và .
Lời giải
Giả sử cho hình hộp và gọi là trung điểm khi đó:
không đồng phẳng với .
Câu 20: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm trên đèn tròn sao cho các lực căng lần lượt trên mối dây đôi một vuông góc với nhau và (N). Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là các điểm sao cho . Lấy các điểm sao cho là hình hộp (như hình bên). Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp ta có
Măt khác, do các lực căng đôi một vuông góc và nên hình hộp có ba cạnh , đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thể hình hộp đó là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng .
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên , ơ đó là trong lực tác dụng lên chiếc đèn. Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là
Câu 21: Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có . Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích. Lấy .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên .
Vậy độ lớn của trọng lực tác động lên chiếc đèn chùm là .
Gọi là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều .
Vẽ biểu diến trọng lực tác động lên đèn chùm với
Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là .
Chiếc đèn chùm đứng yên nên .
Suy ra
Tam giác cân tại có
Suy ra lực căng của mỗi sợi dây xích là: N
Câu 22: Theo định luật II Newton (Vật lí 10 - Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 60) thì gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: trong đó là vectơ gia tốc là vectơ lực (N). Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng một gia tốc thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có suy ra .
Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng một gia tốc thì cần một lực đá có độ lớn là .
Câu 23: Nếu một vật có khối lượng thì lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức , trong đó là gia tốc rơi tự do có độ lớn . Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng gam
A. N. B. N. C. N. D. N.
Lời giải
Đối kg.
Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:
Câu 24: Trong điện trường đều, lực tĩnh điện (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích (đơn vị:) được tính theo công thức , trong đó là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi và độ lớn điện trường (N/C)
A. N. B. N. C. N. D. N.
Lời giải
Độ lớn của lực tĩnh điện là .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian, cho tứ diện có trọng tâm .
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: Theo công thức vì là trọng tâm tứ diện
b) Đúng: Ta có:
c) Đúng:
d) Sai: .
Câu 2: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và là trung điểm
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: Vì lần lượt là trung điểm
Mặt khác là trung điểm .
b) Đúng: Khi đó
c) Sai: Dễ chứng minh được
Ta có: . Do đó:
Câu 3: Trong không gian cho hình hộp tâm .
a) .
b) .
c) .
d) .
Lời giải
a) Đúng: Theo quy tắc hình hộp thì
b) Đúng: Ta có và . Do đó: .
c) Sai: Vì mà .
d) Đúng: Ta có
Vậy
Câu 4: Trong không gian, cho hình hộp .
a) . b) .
c) . d).
Lời giải
a) Đúng: Ta có mà
b) Đúng: Ta có
c) Đúng: Ta có:
d) Sai: Vì
Câu 5: Trong không gian, cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là điểm thỏa mãn .
a)
b)
c) .
d) .
Lời giải
a) Sai: Ta có
b) Đúng: Gọi là tâm hình bình hành
c) Đúng: Ta có nên
d) Sai: Ta có
Câu 6: Trong không gian, cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là tâm hình vuông , gọi là trọng tâm của tam giác (tham khảo hình vẽ).
a) .
b) .
c) .
d) .
Lời giải
a) Đúng: Theo quy tắc hình hộp thì
b) Sai: là trọng tâm của tam giác nên .
c) Đúng: Ta có
d) Sai: Ta có
Câu 7: Trong không gian, cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm
a) đồng phẳng.
b) không đồng phẳng.
c) đồng phẳng.
d) đồng phẳng.
Lời giải
a) Đúng: đồng phẳng
b) Đúng: không đồng phẳng vì không nẳm trong
c) Sai: đồng phẳng sai vì không nằm trong
d) Đúng: đồng phẳng
Câu 8: Trong không gian, cho tứ diện . Trên cạnh và lần lượt lấy các điểm sao cho và . Gọi lần lượt là trung điểm và .
a)
b)
c)
d) đồng phẳng.
Lời giải
a) Sai: Dễ chứng minh được nên A sai
b) Đúng: Theo giả thuyết ta có là trung điểm của
c) Đúng: .
d) Đúng: Ta có
không đồng phẳng.
Câu 9: Cho hình hộp chũ nhật có cạnh . Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai: và không đối nhau nên
b) Đúng: và đối nhau nên
c) Sai:
d) Đúng:
Câu 10: Trong không gian, cho hình lâp phương có cạnh bằng
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: Ta có
b) Sai: Áp dụng quy tắc hình hộp ta có
c) Sai:
d) Đúng: Ta có . Do đó
Câu 11: Trong không gian. cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và là trung điểm
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai: Sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hiệu, ta có
b) Đúng: Theo quy tắc ba điểm, ta có .
Do đó
c) Đúng:
d) Đúng:
Câu 12: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng một góc bằng . Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng đều có cường độ là và trọng lượng của khung sắ là
a)
b)
c) (làm tròn đến hàng đơn vị)
d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là (làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Lấy các điểm lần lượt trên các tia sao cho
Do các lực căng đều có cường độ là nên .
a) Sai: Ta có: , vó́i là trung điểm của
, với là trung điểm của suy ra
b) Đúng: Ta có , với là trung điểm của
với là trung điểm của suy ra .
c) Đúng: . Theo giả thiết, góc giữa với bằng nên góc giữa với cũng bằng hay .
Xét có suy ra .
d) Đúng: Từ đây ta tính được .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian, cho hình lập phương biết rằng và . Tìm giá trị thích hợp để
Lời giải
Vì là hình lập phương nên
Các vectơ , , đôi một vuông góc với nhau.
Do đó: ; ; .
Để thì
(mà )
.
Vậy giá trị thích hợp để là .
Câu 2: Trong không gian, cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm là điểm thay đổi trên . Tỉ số sao cho nhỏ nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi là điểm thỏa mãn .
Suy ra:
. Vậy khi .
Câu 3: Trong không gian, cho tứ diện có các điểm lần lượt thuộc các cạnh và sao cho . Mặt phẳng cắt đường thẳng tại điểm . Tính tỉ số .
Lời giải
Đặt
Theo đề bài, ta có: .
Ta có:
Vì đồng phẳng nên .
Vậy .
Câu 4: Trong không gian, cho tứ diện có . Hãy tính .
Lời giải
Ta có: vuông cân tại .
Mặt khác: là tam giác đều.
.
Vậy .
Câu 5: Trong không gian, cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của . Cho . Với là một điểm tùy ý, biết tổng . Tính .
Lời giải
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:
. Vậy .
Câu 6: Trong không gian, cho hình hộp . Biết , . Khi song song với thì có giá trị là bao nhiêu?
Lời giải
Đặt .
Ta có: .
Mặt khác: .
Suy ra: .
Hơn nữa: .
Vì nên . Vậy .
Câu 7: Trong không gian, cho hình hộp có lần lượt là trọng tâm tam giác và . Biết . Tính
Lời giải
Ta có:; ; .
Suy ra mà suy ra
Ta lại có:; ; .
Suy ra .

Từ và suy ra . Suy ra
Câu 8: Cho hình chóp với . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của cắt các cạnh tại các điểm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Gọi là trọng tâm của khi đó .
Từ đó .
Do thuộc các tia nên cùng hướng, cùng hướng, cùng hướng, từ đó .
Vậy (1) tương đương với
Do thuộc một mặt phẳng nên từ (2) ta có
Hay trong đó .
Vậy bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của trong điều kiện và . Ta có .
Suy ra
Câu 9: Trong không gian, cho hình lập phương. Gọi là điểm thỏa , là trung điểm của , là giao điểm của và . Biết . Tính .
Lời giải
Ta có tam giác đồng dạng với tam giác nên suy ra:
. Suy ra
Câu 10: Trong không gian, cho hình chóp đáy là hình bình hành. Gọi và là các điểm thỏa mãn , . Mặt phẳng cắt tại . Tính tỉ số .
Lời giải
Đặt , , và .
Ta có ; .
Vì 3 véc tơ đồng phẳng nên .
Khi đó:
Suy ra , từ phương trình .
Vậy .
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho tứ diện có độ dài mỗi cạnh bằng
a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện
b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng
c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.
Lời giải
a) Có ba vectơ là và .
b) Trong ba vectơ và chỉ có hai vectơ là và có giá nằm trong mặt phẳng .
c) Vì tứ diện có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên .
Bài tập 2: Cho hình lăng trụ .
a) Trong ba vectơ và thì vectơ nào bằng vectơ ? Giải thích vì sao.
b) Gọi là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm sao cho .
Lời giải
a) Hai đường thẳng và chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương.
Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.
Tứ giác là hình bình hành nên và .
Hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.
Tương tự, hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ và không bằng nhau.
b) Gọi là trung điểm của cạnh . Vì tứ giác là hình bình hành nên và .
Hình lăng trụ có và , suy ra và .
Hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên .
Vậy trung điểm của cạnh là điểm cần tìm.
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm và . Chứng minh rằng:
a) Hai vectơ và đối nhau b)
c)
Lời giải
a) Tứ giác là hình bình hành nên và song song với
Suy ra nên tứ giác là hình bình hành. Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng đối nhau.
b) Ta có suy ra
c) Từ câu a ta có suy ra
Bài tập 4: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác
a) Tìm vectơ b) Chứng minh
c) Chứng minh d) Chứng minh
e) Chứng minh f) Tính độ dài
Lời giải
a) Vì là hình hộp nên và
Suy ra .
b) Vì tứ giác là hình bình hành nên và
Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra
c) Ta có và do đó
d) Ta có
e) Do là trọng tâm tam giác nên . Khi đó theo quy tắc hình hộp ta có:
f) Ta có . Suy ra
Bài tập 5: Ba lực cùng tác dụng vào một vật có phương đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn lần lượt là N, N và N.
a) Tính độ lớn hợp hai lực b) Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho
Lời giải
a) Gọi là vị trí trên vật mà ba lực cùng tác động vào. Gọi là các điểm sao cho . Khi đó N
b) Dựng các hình chữ nhật và thì ta có
Do đó
Vậy độ lớn hợp lực của cả ba lực là:
N.
Bài tập 6: Cho tứ diện có và cùng vuông góc với . Gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh . Chứng minh rằng:
a) b)
Lời giải
a) Ta có: và .
Do đó .
Vì lần lượt là trung điểm của nên .
Suy ra , hay .
b) Từ giả thiết, ta có .
Vì vậy .
Bài tập 6: Tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối Rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối Rubik là
Lời giải
Giả sử khối Rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vẽ.
Vì là trọng tâm nên là trọng tâm của tứ diện.
Vì là hình tứ diện đều nên và .
Mặt khác nên 3 điểm thẳng hàng và .
Do đó .
Bài tập 7: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau. Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao?
Lời giải
Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ với là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dậy cân bằng thì .
Vẽ hình bình hành . Theo quy tắc hình bình hành thì .
Do đó .
Hay là trung điểm của . Do đó các điểm cùng thuộc mặt phẳng .
Suy ra ba sợi dây cùng nằm trong mặt phẳng đó.
Dạng 2: Xác định góc và tính tích vô hướng của hai vectơ
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai VECTO TRONG KHONG GIAN