CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Dạng 1: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích hình phẳng giới hạn: .
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Bước 1: Giải tìm nghiệm .
Bước 2: Tính
Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích hình phẳng giới hạn: .
Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
Bước 1: Giải tìm nghiệm .
Bước 2: Tính
Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Ta có .
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và
A. B. C. D.
Lời giải
Xét phương trình .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và bằng
.
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số được tính bởi công thức:
A. B.
C. D.
Lời giải
Xét phương trình:
Khi đó: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số được tính bởi công thức: .
Câu 4: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ là . Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ; là
Câu 5: Diện tích hình phẳng giớn hạn bởi các đường ; và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
.
Câu 6: Diện tích hình phẳnggiới hạn bởi các đường thẳng được tính bởi công thức nào sau đây?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm cần tìm là
Diện tích hình phẳng cần tìm là
vì
.
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường và bằng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: .
Diện tích hình phẳng là: .
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số , và các đường thẳng , bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm .
Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét phương trình .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và là
Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là .
Câu 12: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Diện tích của hình phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là
.
Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 14: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có .
Câu 15: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình bên.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta có diện tích hình phẳng cần tính là .
Câu 16: Diện tích phần sạch sọc trong hinh vẽ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hai hàm số và .
Ta có diện tích hình phẳng là .
Câu 17: Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào sau đây?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Do nên .
Vậy diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ là .
Câu 18: Diện tích hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên dưới bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ được giới hạn bởi các đường và .
Do đó diện tích hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ bằng .
Câu 19: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng (như hình vẽ). Đặt
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 20: Cho hàm số có tập xác định là và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Xét phương trình .
Diện tích hình phẳng là: .
Câu 22: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và hai đường thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giải phương trình: .
Ta có .
Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm .
Khi đó .
Câu 24: Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình bên bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giải phương trình .
Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình bên bằng .
Câu 25: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và là:
.
Câu 26: Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và có diện tích bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và là
.
Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng cần tính là: .
Câu 28: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số và là:
Suy ra
.
Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta xét phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tính là: .
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét phương trình . Vậy .
Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm: .
Khi đó, diện tích hình phẳng giởi hạn bởi hai đồ thị trên là: .
Câu 32: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và bằng
A. . B. . C. 1. D. .
Lời giải
Xét phương trình: .
Suy ra, diện tích hình phẳng đã cho bằng:
.
Câu 33: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và là
A. . B. . C. . D. 0.
Lời giải
Xét phương trình .
Vậy diện tích hình phẳng đã cho bằng .
Câu 34: Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm giá trị của để
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do nên suy ra .
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình
Ta có hay .
Câu 35: Một hoa văn hình tròn tâm , ngoại tiếp tam giác đều có cạnh. Đường cong qua ba điểm: là một phần của parabol.
Diện tích phần gạch chéo bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do tam giác là tam giác đều có cạnh nên ta có:
và .
Gắn trục toạ độ như hình vẽ, ta có:
Phương trình đường Parapol đi qua 3 điểm có đỉnh có dạng .
Thay toạ độ điểm vào suy ra
Phương trình đường tròn tâm bán kính là Phương trình một phần cung nhỏ có dạng
Vậy diện tích phần gạch chéo bằng
Câu 36: Cho hàm số liên tục trên . Gọi lần lượt là nguyên hàm của và trên thỏa mãn ; . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo bài ra ta có và với
Nên .
Vì
.
Khi đó: và ta có
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và là :
.
Câu 37: Biết và là hai nguyên hàm của hàm số trên và thoả mãn , với . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , ; và . Khi thì bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo đề ta có
.
Mặt khác, do và là hai nguyên hàm của hàm số trên nên ta có (không đổi) với mọi .
Từ và suy ra , với mọi .
Khi đó ta có .
Theo đề ta có .
Câu 38: Cho hình là hình phẳng giới hạn bởi đường cong , đường thẳng và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Đường cong đi qua và cắt tại điểm có hoành độ .
Vậy
Câu 39: Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và bằng và là phân số tối giản. Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Từ đồ thị suy ra: .
Ta có: . Cho .
Vậy diện tích hình phẳng là .
Câu 40: Hình bên dưới là mặt cắt dọc của một chiếc cầu bê tông (phần tô đậm, các đơn vị đều đo bằng mét)
Biết chiều rộng của cầu bằng 9m. Thể tích bê tông ít nhất cần để đúc cầu là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Parapol cắt trục hoành tại hai điểm . Cho
Do đó và .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parapol và trục hoành là .
Diện tích phần tô đậm bằng .
Khi đó thể tích bê tông ít nhất cần để đúc cầu là .
Câu 41: Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các tiếp tuyến kẻ từ đến đồ thị . Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hàm số có tập xác định và đạo hàm .
Gọi là tọa độ tiếp điểm, với .
Suy ra phương trình tiếp tuyến của tại có dạng:
.
Vì nên ta có: .
Với suy ra phương trình tiếp tuyến là .
Với suy ra phương trình tiếp tuyến là .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và : .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và : .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và : .
Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là:
(đvdt).
Câu 42: Cho hàm số bậc hai có đồ thị và đường thẳng cắt tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi và có diện tích . Khi đó hãy tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có điểm và thuộc đường thẳng và Parabol
Suy ra đường thẳng có vectơ chỉ phương
Phương trình đường thẳng
Gọi có phương trình:
Hệ phương trình:
Hình phẳng giới hạn bởi và có diện tích
có phương trình:
Câu 43: Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí như phần được tô đậm trong hình vẽ bên dưới ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có ,
Biết ; cung có hình parabol với đỉnh là trung điểm của cạnh và đi qua hai điểm . Kinh phí làm bức tranh là đồng/. Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh?
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh và trùng với gốc toạ độ .
Phương trình parapol đỉnh và đi qua hai điểm là .
Diện tích giới hạn bới ; .
Khi đó: .
Vậy công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đồng.
Câu 44: Một biển quảng cáo có dạng hình vuông cạnh . Trên tấm biển đó có các đường tròn tâm và đường tròn tâm cùng bán kính , hai đường tròn cắt nhau như hình vẽ. Chi phí để sơn phần gạch chéo là đồng/, chi phí sơn phần màu đen là đồng/ và chi phí để sơn phần còn lại là đồng/
Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. triệu đồng. B. triệu đồng. C. triệu đồng. D. triệu đồng.
Lời giải
Gọi là giao điểm của 2 cung tròn . Chọn gốc toạ độ
Xét cung tròn có phương trình
Phần diện tích gạch chéo
Phần diện tích màu đen:
Phần diện tích còn lại:
Số tiền để sơn biển quảng cáo:
triệu đồng.
Câu 45: Bác An có mảnh vườn hình chữ nhật , chiều dài , chiều rộng . Bác muốn trồng hoa trên dải đất (phần tô đậm) được giới hạn bởi đường (với lần lượt là trung điểm của ) và một đường hình sin (tham khảo hình vẽ). Diện tích đất trồng hoa bằng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Vì phần đường cong là một đồ thị hình sin đi qua các điểm nên đường cong có phương trình
Khi đó phần diện tích đất trồng hoa giới hạn bởi các đồ thị hàm số:
Do đó diện tích đất trồng hoa là .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Biết đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm , đồng thời tạo với trục hoành và 2 đường thẳng thành một hình phẳng gồm 3 phần có diện tích lần lượt là như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: Dựa vào hình vẽ, ta có: .
b) Sai: Dựa vào hình vẽ, ta có: (do ).
c) Sai: Dựa vào hình vẽ, ta có: (do ).
d) Đúng: Dựa vào hình vẽ, ta có: .
Câu 2: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ, Biết rằng tạo với trục hoành và 2 đường thẳng một hình phẳng gồm 2 phần có diện tích lần lượt là .
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
Xét hàm số ta có:
a) Sai: Ta có: .
b) Đúng: Do nên .
c) Đúng: Dựa vào hình vẽ, ta có: .
(d) Đúng: Ta có: .
Câu 3: Cho đồ thị hàm số và và là phần diện tích phần được tô như trong hình dưới.
Xét tính đúng sai của các khẳng đính sau:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và là
b)
c)
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ; ; ; là
.
Lời giải
a) Sai: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và là
.
b) Đúng: .
c) Đúng:
Vậy .
d) Sai: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ; ; ; là .
Câu 4: Cho hàm số có đồ thị là và đường thẳng có đồ thị là và các đường thẳng , . Gọi là diện tích hình phẳng giởi hạn bởi , trục hoành và đường thẳng ; là diện tích hình phẳng giởi hạn bởi , trục hoành và đường thẳng . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số giao điểm của đồ thị và đường thẳng là .
b) Hàm số đạt cực tiểu tại .
c) .
d) Tính diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số, và hai đường thẳng , bằng 23.
Lời giải
a) Sai: Xét phương trình hoành độ: .
Suy ra cắt tại duy nhất một điểm.
b) Đúng: Ta có: nên hàm số đạt cực tiểu tại .
c) Đúng: Ta có và nên suy ra .
d) Sai: Diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số, và hai đường thẳng , bằng:
.
Câu 5: Cho đồ thị hàm số có đồ thị và đường thẳng . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm .
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành, đường thẳng bằng
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và đường thẳng bằng .
d) Biết đường thẳng cắt đồ thị thành hai miền và . Khi đó tỉ số .
Lời giải
a) Đúng: Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
.
Vậy đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm .
b) Sai: Diện tích cần tính là: .
c) Đúng: Ta có .
Diện tích .
d) Sai: Ta có .
Câu 6: Cho một viên gạch men có dạng hình vuông như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có , , , và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số và
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục , đường thẳng và đường thẳng được tính bằng công thức .
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục ,đường thẳng và đường thẳng có giá trị bằng (đvdt).
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và , đường thẳng và đường thẳng được tính bằng công thức .
d) Diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men có giá trị bằng (đvdt).
Lời giải
a) Đúng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục , đường thẳng được tính bằng công thức
b) Sai: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục ,đường thẳng và đường thẳng .
Ta có (đvdt).
c) Sai: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và , đường thẳng và đường thẳng được tính bằng công thức , vì phần đồ thị của hàm số nằm dưới phần đồ thị của hàm số , nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và , đường thẳng và đường thẳng được tính bằng công thức
d) Đúng: Diện tích hình vuông có cạnh bằng là (đvdt)
Gọi là diện tích phần tô đậm: (đvdt),
Vậy diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men bằng (đvdt).
Câu 7: Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và là phần trăm tổng thu nhập, mô hình sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz , biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với , biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm , đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số
,
Trong đó được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất
Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành nhóm bằng nhau từ đến , tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm chiếm khoảng tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm được xác định bởi công thức:
d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm đã vượt quá .
Lời giải
a) Đúng: Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của các gia đình của đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: .
b) Sai: Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành nhóm bằng nhau từ đến , tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm chiếm khoảng tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm số gia đình của Hoa Kỳ.
Tổng thu nhập của số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm ) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là:.
Tổng thu nhập của số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm ) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: .
Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ so với toàn bộ các gia đình là:
.
c) Sai: Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm được xác định bởi công thức:
.
Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị:
.
Cách 1:
Sử dụng máy tính cầm tay, ta thấy phương trình có hai ngiệm thuộc .
Xét dấu biểu thức ta được:
Suy ra: .
.
Cách 2:
Sử dụng máy tính cầm tay ta được: .
Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: .
d) Đúng: Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm đã vượt quá .
Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm là:
.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Tìm để diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và bằng ?
Lời giải
Ta có: (vì ) (vì )
.
Ta có:
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ; và hai đường thẳng bằng . Giá trị của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ; và hai đường thẳng là:
Vậy .
Câu 3: Cho hàm số . Đồ thị hàm số là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng và lần lượt là và . Tính giá trị của , biết giá trị của .
Lời giải
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng nên diện tích hình phẳng là:
.
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , đường thẳng và đường thẳng nên diện tích hình phẳng là:
.
Suy ra .
Vậy .
Câu 4: Cho hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 5: Cho là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình , . Diện tích của bằng bao nhiêu?
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là: .
Diện tích hình phẳng cần tính là: .
.
Câu 6: Tại một nhà máy ta gọi là tổng chi phí (tính theo triệu động) để sản xuất tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó đạo hàm gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức:
với
Biết rằng triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất tấn sản phẩm A trong tháng.
Lời giải
Ta có:
Suy ra (triệu đồng).
Vậy khi nhà máy sản xuất tấn sản phẩm loại A trong tháng thì tổng chi phí là triệu đồng.
Câu 7: Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm có một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, đường parabol đó đi qua hai đầu mút của mỗi cạnh (xem hình sau). Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)
Lời giải
Hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm .
Diện tích của hình lục giác đều có thể được tính bằng công thức: với
Thay vào công thức ta có:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho trung điểm của cạnh là , với và đỉnh của parabol.
Phương trình của parabol có dạng:
Do parabol đi qua các điểm và nên ta có:
Diện tích mỗi cánh hoa được tính bằng tích phân:
Tính tích phân:

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Ung dung hinh hoc cua tich phan