CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Dạng 1: Tính tổng và hiệu của hai vectơ
Phương pháp:
■ Sử dụng khái niệm tổng và hiệu của hai vectơ
■ Sử dụng quy tác ba điểm, quy tắc hình bình hành
■ Sử dụng quy tắc trung điểm, trọng tâm của tam giác
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình bình hành với và lần lượt là trung điểm của và . Tìm tổng của hai vectơ:
a) và b) và
Lời giải
a) Vì nên ta có .
b) Vì nên ta có .
Bài tập 2: Cho hình vuông có cạnh bằng với tâm là . Tính:
a) Độ dài vectơ b) Tính
Lời giải
a) Ta có .
Mặt khác nên .
b) Gọi là điểm đối xứng với qua .
Ta có nên .
Bài tập 3: Cho tam giác . Các điểm , và lần lượt là trung điểm các cạnh , và .
a) Tìm các hiệu sau ; và
b) Phân tích vectơ theo hai vectơ và
Lời giải
a) Theo quy tắc ba điểm, thì .
Vì là đường trung bình của tam giác và cùng hướng với nên ta có
Do vậy: . Vì nên .
b) Ta có nên có phân tích sau .
Bài tập 4: Cho bốn điểm bất kỳ , , và . Hãy chứng minh đẳng thức: .
Lời giải
.
Bài tập 5: Cho tam giác . Gọi , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . Chứng minh rằng:
a)
b) , với là điểm bất kì.
Lời giải
a) Vì , là đường trung bình của tam giác nên , suy ra tứ giác là hình bình hành và là trung điểm của .
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có: .
b) Theo quy tắc ba điểm ta có:
Theo câu a) ta suy ra .
Bài tập 6: Cho điểm , xác định vectơ .
Lời giải
Ta có:
Do đó .
Bài tập 7: Có hai lực , cùng tác động vào một vật đứng tại điểm , biết hai lực , đều có cường độ là và chúng hợp với nhau một góc . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Giả sử , .
Theo quy tắc hình bình hành, suy ra như hình vẽ.
Ta có , nên tam giác đều suy ra .
Vậy .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho 3 điểm phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
.
Câu 2: Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Câu 3: Cho 4 điểm phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
.
Câu 4: Cho tam giác đều , cạnh và có lần lượt là trung điểm , và . Giá trị của là
A. B. C. D.
Lời giải
Theo quy tắc 3 điểm ta có .
Câu 5: Cho hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Quy tắc hình bình hành: .
Câu 6: Cho hình vuông , tâm . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Quy tắc hình bình hành: .
Câu 7: Cho hình bình hành .Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng và . Tính tổng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 8: Cho hình bình hành tâm . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Vì là tâm hình bình hành nên ta có: .
Câu 9: Cho hình bình hành và điểm tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là tâm hình bình hành . Ta có: .
Câu 10: Cho , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Cộng vế theo vế ta được:
Câu 11: Cho lục giác đều cạnh có tâm . Tính giá trị .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Vì là lục giác đều nên đều. Gọi là trung điểm .
Vì là hình bình hành nên .
Câu 12: Cho tam giác vuông tại biết . Tính độ dài vectơ .
A. . B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Dựng hình chữ nhật . Ta có:
Câu 13: Cho hình thang có song song với biết . Gọi là trung điểm . Độ dài vectơ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
( Vì là 2 véc tơ cùng hướng ).
Câu 14: Cho hình vuông có cạnh bằng 5. Độ dài vectơ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là tâm hình vuông .
Ta có:
Câu 15: Cho hai lực cùng tác động vào vật đứng tại điểm , biết hai lực đều có cường độ và hợp với nhau một góc . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng hình bình hành như hình vẽ.
Tổng hợp lực tác động vào vật tại là:
Độ lớn tổng hợp lực: do đều.
Câu 16: Cho ba lực cùng tác động vào vật đứng tại điểm minh hoạ như hình vẽ. Biết sau khi tác động lực thì vật đứng yên. Hai lực đều có cường độ và hợp với nhau một góc . Hỏi cường độ lực là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng hình bình hành như hình vẽ.
Tổng hợp lực tác động vào vật tại là:
Vì vật đứng yên nên .
.( Vì đều )
Câu 17: Cho tam giác đều cạnh có là đường cao. Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tam giác đều cạnh có là trung tuyến
Đường cao:.
Gọi là điểm sao cho là hình bình hành ta có:
. Gọi thì .
Xét tam giác vuông tại có: nên .
Câu 18: Cho tam giác, biết và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét tam giác ta có: .
Gọi là trung điểm cạnh , ta có:.
Mặt khác, gọi là điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.
Ta có .
Câu 19: Cho hình vuông tâm cạnh . Gọi là trung điểm của , là điểm đối xứng với qua . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta thấy:
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
Khi đó tứ giác là hình vuông và
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:
suy ra
Câu 20: Cho tam giác đều có độ dài cạnh bằng , gọi là trung điểm của , là trọng tam tam giác. Độ dài bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có là trung điểm của , nên .
Suy ra .
Câu 21: Trên đường tròn lấy điểm cố định A; B là điểm di động trên đường tròn đó. Gọi M là điểm di động sao cho . Khi đó tập hợp điểm M là:
A. Đường tròn tâm bán kính . B. Đường tròn tâm bán kính .
C. Đường thẳng song song với . D. Đường tròn tâm bán kính .
Lời giải
Từ giả thiết O, A, M, B theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do Tập hợp điểm M là đường tròn tâm bán kính .
Câu 22: Cho tam giác Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và dựng điểm K sao cho . Khi đó, điểm K trùng với điểm nào trong các điểm sau:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: là trung điểm nên
Ta có .
Theo tính chất đường trung bình của tam giác thì tứ giác là hình bình hành
Suy ra . Do đó điểm K trùng với điểm
Câu 23: Cho điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là . Bạn Bình kí hiệu chúng là (). Vectơ tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Lấy điểm bất kì.
Khi đó:
Vì nên
Do đó .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình vuông có cạnh bằng 2. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Ta có theo quy tắc ba điểm :
b) Ta có theo quy tắc trừ :
c)
d) Gọi là trung điểm của theo tính chất trung điểm đoạn thẳng ta có:
.
Câu 2: Cho tam giác . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành Xét tính đúng sai của các khửng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: .
b) Sai:
c) Sai:
d) Đúng: Khi đó:
Vậy .
Câu 3: Cho hình vuông có cạnh bằng . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Gọi là điểm đối xứng với qua . Khi đó là hình thang.
c)
d) .
Lời giải
a) Đúng: Theo quy tắc hình bình hành ta có .
b) Sai: Gọi là điểm đối xứng với qua .
Do nên là hình bình hành.
c) Đúng: Theo định lí Pytago:
Vậy .
d) Sai: Ta có: . Áp dụng định lí Pytago cho tam giác :
. Vậy
Câu 4: Cho hình chữ nhật tâm O có cạnh . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) .
b) .
c) .
d)
Lời giải
a) Đúng: Ta có theo quy tắc hình bình hành :
b) Đúng : Ta có theo tính chất O là tâm hình chữ nhật thì O là trung điểm các đoạn nên :
c) Sai: Theo quy tắc hình bình hành ta có:
d) Sai: Gọi là trung điểm của ta có:
Câu 5: Cho tam giác . Các điểm lần lượt là trung điểm của . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: Dễ thấy tứ giác là hình bình hành
Ta có theo quy tắc ba điểm :
b) Sai: Ta có theo quy tắc trừ : .
c) Đúng: Ta có:.
d) Đúng: Ta có:
Câu 6: Hình vẽ dưới biểu diễn hai lực cùng tác động lên một vật, cho . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) cùng hướng với
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai: không cùng hướng với
b) Sai: không cùng hướng với nên
c) Sai: không ngược hướng với
d) Đúng: Dựng hình bình hành với hai cạnh là hai vectơ như hình vẽ:
Ta có:
Xét ta có: và
Theo định lí cosin ta có:
.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hình thoi tâm và có cạnh bằng . Cho hai lực lực và có điểm đặt theo hướng của . Cường độ của hai lực và đều là . Tính cường độ tổng hợp lực của hai lực và (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
Ta có: ,
Câu 2: Cho hình thoi cạnh có . Gọi là giao điểm hai đường chéo. Biểu diễn các lực cùng tác động vào một vật đặt tại điểm và ở trạng thái cân bằng biết . Tính độ lớn của lực .
Lời giải
Ta có tam giác đều
Do ở vị trí cân bằng nên hai lực và có cùng cường độ và ngược hướng tức là các vectơ và đối nhau. Vậy cường độ lực bằng
Câu 3: Một toa xe hành lý đang được kéo với một lực với độ lớn và tạo với hướng chuyển động một góc . Ta thấy theo hai lực thành phần có phương ngang và phương thẳng đứng.
Xét hệ trục toạ độ như hình vẽ với và .
Khi xe kéo một đoạn đường mét tính công sinh ra.
Lời giải
Công sinh ra khi xe kéo một đoạn đường m:
Câu 4: Một khúc sông rộng . Một chiếc thuyền chèo qua sông với vận tốc chèo theo phương vuông góc với bờ sông. Biết rằng vận tốc nước chảy là . Một lần khác thuyền muốn đến bờ bên kia tại điểm cách điểm đến theo phương vuông góc một khoảng bằng 50m. Tính vận tốc chèo của thuyền (biết rằng vận tốc dòng nước không đổi)
Lời giải
Gọi là điểm đến của thuyền theo phương vuông góc và là điểm đến của thuyền.
Ta có: .
Vectơ vận tốc dòng nước cùng hướng và vectơ vận tốc thuyền cùng hướng .
Suy ra vận tốc chèo của thuyền là .
Câu 5: Hai ô tô cùng xuất phát từ theo hai hướng vuông góc với nhau, vận tốc tương ứng của hai xe là (km/h) và (km/h). Hỏi bằng bao nhiêu để vận tốc tương đối giữa xe ô tô thứ nhất và người ngồi trên xe ô tô thứ hai là nhỏ nhất:
Lời giải
Vận tốc tương đối của xe ô tô thứ nhất đối với ô tô thứ hai là: . Theo quy tắc hình bình hành thì là đường chéo của hình chữ nhật có hai cạnh là và
Vậy vận tốc tương đối của xe ô tô thứ nhất đối với người ngồi trên xe ô tô thứ hai nhỏ nhất (km/h)
Câu 6: VinFast là một hãng xe ô tô điện của Việt Nam. Năm 2023, VinFast đã xuất khẩu gần 1900 chiếc xe điện VF8 sang thị trường Bắc Mỹ bằng tàu Sliver Queen. Biết rằng con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng Nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng Đông như hình minh hoạ dưới đây. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (kết quả làm tròn đến một chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải
Gọi vectơ vận tốc của tàu là và vectơ vận tốc của dòng nước là vectơ
Ta có vectơ tổng là
Độ dài vectơ tổng là: (km/h)
Vậy độ dài vectơ tổng là (km/h)
Dạng 2: Bài toán liên quan đến vectơ đối và hiệu của hai vectơ
Phương pháp:
■ Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với véc tơ được gọi là vectơ đối của vectơ .
■ Vectơ đối của vectơ được kí hiệu là .
■ Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.
■ Cho hai vectơ và . Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ , kí hiệu .
Chú ý: Hai vetơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng
Quy tắc về hiệu vectơ: Với ba điểm , , tùy ý, ta luôn có: .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình thoi , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng :
a) b)
Lời giải
a) .
b) .
Bài tập 2: Cho tam giác . Các điểm , và lần lượt là trung điểm các cạnh , và . Tìm các hiệu sau: ; và .
Lời giải
Theo quy tắc ba điểm: .
Vì nên .
Vì là đường trung bình của tam giác và cùng hướng với nên ta có
Do vậy .
Bài tập 3: Cho hình bình hành tâm . Chứng minh rằng:
a) b).
Lời giải
a) Ta có là hình bình hành nên do đó: .
b) Ta có là hình bình hành nên do đó: .
Bài tập 4: Cho hai điểm và . Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện .
Lời giải
Vẽ hình bình hành .
Gọi là giao điểm hai đường chéo ta có:
.
Vậy tập hợp các điểm là đường tròn đường kính .
Bài tập 5: Cho tam giác đều, cạnh . Gọi là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Tính và theo .
Lời giải
Tính ta có:
.
Tính ta vẽ hình bình hành .
.
Bài tập 6: Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của , . Hãy tính độ dài của vectơ .
Lời giải
Vì tứ giác là hình bình hành nên , kết hợp với quy tắc trừ ta có:
.
Mà do là trung điểm của .
Vậy
Bài tập 7: Cho ba lực cùng tác động vào một ô tô tại điểm và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực đều bằng và góc . Khi đó tính cường độ .
Lời giải
Ta có: (với là điểm sao cho là hình bình hành)
Ta có: và
Do nên là tam giác đều nên
Do ô tô đứng yên nên cường độ lực tác dụng lên ô tô bằng 0 hay
Suy ra:
Vậy cường độ của là
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho và là các vectơ khác với là vectơ đối của . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai vectơ cùng phương. B. Hai vectơ ngược hướng.
C. Hai vectơ cùng độ dài. D. Hai vectơ chung điểm đầu.
Lời giải
Ta có . Do đó và cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Câu 2: Gọi là tâm hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có
Ta có
Ta có
Ta có
Câu 3: Gọi là tâm hình vuông . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 4: Cho là tâm hình bình hành . Hỏi vectơ bằng vectơ nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 5: Chọn khẳng định sai:
A. Nếu là trung điểm đoạn thì .
B. Nếu là trung điểm đoạn thì .
C. Nếu là trung điểm đoạn thì .
D. Nếu là trung điểm đoạn thì .
Lời giải
.
Câu 6: Cho 4 điểm bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
.
Câu 7: Cho các điểm phân biệt. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vậy .
Câu 8: Cho hình bình hành và điểm tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có:
(đúng).
Câu 9: Cho tam giác có lần lượt là trung điểm của. Khi đó, các vectơ đối của vectơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ là:.
Câu 10: Cho hình bình hành tâm . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: (quy tắc 3 điểm).
Câu 11: Cho hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 12: Cho Cho lục giác đều và là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 13: Cho tứ giác. Khi đó bằng véctơ nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có.
Câu 14: Cho 4 điểm bất kì Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Theo quy tắc về hiệu hai vectơ ta có đúng
Câu 15: Cho tam giác vuông tại và Giá trị bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 16: Gọi là tâm hình vuông . Tính .
A. . B. C. D.
Lời giải
Ta có .
Câu 17: Cho tam giác thỏa mãn . Khi đó là điểm sao cho
A. là hình bình hành. B. là hình bình hành.
C. là hình bình hành. D. là hình bình hành.
Lời giải
Ta có: . Vậy là điểm sao cho là hình bình hành.
Câu 18: Cho hình bình hành giao điểm của hai đường chéo là . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 19: Cho hình bình hành và là một điểm bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có khẳng định đúng vì (theo tính chất hình bình hành)
Câu 20: Cho hai điểm cố định Gọi là trung điểm của Tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức là
A. đường tròn đường kính . B. đường trung trực của .
C. đường tròn tâm bán kính . D. nửa đường tròn đường kính .
Lời giải
Dựng hình bình hành . Ta có
Do đó .
Suy ra nằm trên đường tròn đường kính .
Câu 21: Tam giác là tam giác vuông với điều kiện nào sau đây?
A. . B. .
C. . D.
Lời giải
Dựng hình bình hành . Theo quy tắc hình bình hành: , theo quy tắc hiệu hai vectơ ta có: . Từ tức. Nên hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, suy ra nó là hình chữ nhật, tức tam giác vuông.
Câu 22: Cho tam giác đều có độ dài cạnh bằng . Độ dài của vectơ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: do đó .
Câu 23: Cho hình vuông có cạnh là . là giao điểm của hai đường chéo. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 24: Cho tam giác vuông cân với . Tính độ dài vectơ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng các vectơ .
Ta có .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Tong hieu hai vecto Toan 10 giai chi tiet