CÁC DẠNG TOÁN BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số cho trước
Để xét tính đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số , ta có thể thực hiện các bước sau:
■ Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số .
■ Bước 2: Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
■ Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
■ Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: suy ra .
Cho phương trình vô nghiệm. Do đó, .
Vậy hàm số đồng biến trên .
Câu 2: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 3: Cho hàm số có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
Câu 4: Cho hàm số , khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
C. Hàm số nghịch biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .
Lời giải
Ta có:
Câu 5: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 6: Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định .
Ta có ; .
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng và .
Câu 7: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
Câu 8: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên
Câu 9: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên .
C. Hàm số đồng biến trên . D. Hàm số đồng biến trên .
Lời giải
Ta có với thuộc khoảng và .
Vậy hàm số đồng biến trên .
Câu 10: Cho hàm số . Xét các mệnh đề sau:
1) Hàm số đã cho đồng biến trên
2) Hàm số đã cho nghịch biến trên
3) Hàm số đã cho không có điểm cực trị.
4) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và
Số các mệnh đề đúng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: nên hàm số đã cho không có điểm cực trị, nghịch biến trên các khoảng và
Câu 11: Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Bảng xét dấu :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 12: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 13: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. và . B. và .
C. và . D. .
Lời giải
Tập xác định: .
.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và .
Câu 14: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm trên như hình vẽ
Hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 15: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định Ta có .
Ta có và Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Bảng xét dấu
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 17: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên
Câu 18: Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có , vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 19: Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Câu 20: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Lời giải
Ta có .
Vậy hàm số đồng biến trên và .
Khi đó khẳng định sai là hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 21: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số , biết .
A. B. C. D.
Lời giải
Vậy hàm số nghịch biến trên
Câu 22: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định: .
Ta có .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng hàm số đồng biến.
Câu 23: Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. . B. C. D.
Lời giải
Điều kiện xác định:
Ta có:
Kết hợp với điều kiện xác định ta được hàm số đồng biến trên
Câu 24: Cho hàm số có đạo hàm trên và hàm số là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Hàm số nghịch biến trên
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta thấy . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 25: Hàm số đồng biến trên khoảng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định .
Ta có ,.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và và đồng biến trên .
Câu 26: Cho hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định:
Đạo hàm:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 27: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định . Đạo hàm .
Khi đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm là . Hỏi hàm số có bao nhiêu cực tiểu?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Lập bảng biến thiên ta suy ra hàm số có một cực tiểu.
Câu 29: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tập xác định của hàm số: .
Ta có , .
Bảng biến thiên
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số tại .
Câu 30: Cho hàm số liên tục trên và có . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Do có 1 nghiệm kép và hai nghiệm đơn nên đổi dấu hai lần khi qua và . Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 31: Cho hàm số có đạo hàm , . Điểm cực đại của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực đại tại .
Câu 32: Cho hàm số . Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: ;. Xét: .
Ta thấy: Hàm số có điểm cực tiểu .
Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm . Hỏi có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có , suy ra đổi dấu một lần khi đi qua giá trị nên hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 34: Hàm số có đạo hàm là . Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Nhận thấy không đổi dấu khi qua nghiệm nên không phải là điểm cực trị hàm số.
Tương tự không đổi dấu khi qua nghiệm nên không phải là điểm cực trị hàm số.
cùng dấu với nhị thức nên là điểm cực trị của hàm số.
Câu 35: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Lời giải
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm và nên số điểm cực tiểu của hàm số là 2.
Câu 36: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau.
Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm suy ra phương trình có nghiệm đơn. Vậy hàm số có điểm cực trị.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số
a) Tập xác định của hàm số là .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng .
c) Hàm số đồng biến trên .
d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Lời giải
Tập xác định .
Ta có
.
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên các khoảng và .
a) Sai: Tập xác định của hàm số là .
b) Sai: Hàm số đồng biến trên khoảng .
c) Đúng: Hàm số đồng biến trên .
d) Đúng: Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Câu 2: Cho hàm số .
a) Tập xác định của hàm số là
b) Hàm số nghịch biến trên .
c) Hàm số đồng biến trên .
d) Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Lời giải
Tập xác định: .
Ta có: .
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và .
a) Sai: Tập xác định của hàm số là
b) Sai: Hàm số nghịch biến trên .
c) Sai: Hàm số đồng biến trên .
d) Đúng: Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Câu 3: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
a) Hàm số đồng biến trên khoảng
b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
c) Với mọi thì hàm số luôn nhận giá trị dương
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải
Từ đồ thị, hàm số đồng biến trên .
Xét hàm số có .
Để hàm số nghịch biến thì .
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .
a) Đúng: Hàm số đồng biến trên khoảng
b) Đúng: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
c) Đúng: Với mọi thì hàm số luôn nhận giá trị dương
d) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 4: Cho hàm số
a) Tập xác định của hàm số là
b) Phương trình có hai nghiệm nguyên
c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
Lời giải
Tập xác định:
Ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
a) Đúng: Tập xác định của hàm số là
b) Đúng: Phương trình có hai nghiệm nguyên
c) Sai: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
d) Đúng: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
Câu 5: Cho hàm số
a) Tập xác định của hàm số là
b) Hàm số đã cho đồng biến trên .
c) Đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn với mọi .
d) Hàm số đã cho không có cực trị.
Lời giải
Tập xác định: và có đạo hàm
Do đó hàm số đã cho không có cực trị.
a) Đúng: Tập xác định của hàm số là
b) Sai: Hàm số đã cho đồng biến trên .
c) Đúng: Đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn với mọi .
d) Đúng: Hàm số đã cho không có cực trị.
Câu 6: Cho hàm số
a) Hàm số đạt cực đại tại .
b) Hàm số không có cực trị.
c) Hàm số đạt cực tiểu tại .
d) Hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
Xét hàm số có tập xác định là
Đạo hàm
Ta có bảng biến thiên:
a) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại .
b) Sai: Hàm số có một cực trị.
c) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại .
d) Sai: Hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 7: Cho hàm số .
a) Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .
b) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm , giá trị cực tiểu của hàm số là .
c) Hàm số đạt cực đại tại các điểm , giá trị cực đại của hàm số là .
d) Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .
Lời giải
Ta có .
Ta có bảng biến thiên của hàm số
a) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .
b) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm , giá trị cực tiểu của hàm số là .
c) Sai: Hàm số đạt cực đại tại các điểm , giá trị cực đại của hàm số là .
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .
Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
a) Hàm số đạt cực đại tại điểm và giá trị cực đại là
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm và giá trị cực tiểu là
c) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
d) Hàm số đạt cực đại tại điểm .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số , ta có các nhận xét sau: đổi dấu từ sang khi đi qua điểm . Suy ra , là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số Mặt khác không đổi dấu khi đi qua điểm , . Suy ra , không là các điểm cực trị của hàm số .
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm .
a) Sai: Hàm số đạt cực đại tại điểm và giá trị cực đại là
b) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm và giá trị cực tiểu là
c) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
d) Sai: Hàm số đạt cực đại tại điểm .
Câu 9: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ
a) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng .
b) Hàm số đạt cực tiểu tại .
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng .
d) Hàm số đạt cực đại tại và .
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm đổi dấu từ sang khi đi qua .
Do đó mệnh đề “Giá trị cực tiểu của hàm số bằng ” và mệnh đề “Hàm số đạt cực tiểu tại ” là mệnh đề đúng.
Hàm số có đạo hàm đổi dấu từ sang khi đi qua do đó mệnh đề “Giá trị cực đại của hàm số bằng ” là mệnh đề đúng.
a) Đúng: Giá trị cực tiểu của hàm số bằng .
b) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại .
c) Đúng: Giá trị cực đại của hàm số bằng .
d) Sai: Hàm số đạt cực đại tại và .
Câu 10: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục . Toạ độ của chất điểm tại thời điểm được xác định bởi hàm số với . Khi đó là vận tốc của chất điểm tại thời điểm , kí hiệu là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm, kí hiệu
a) Phương trình hàm vận tốc là
b) Phương trình hàm gia tốc là
c) Vận tốc của chất điểm tăng khi
d) Vận tốc của chất điểm giảm khi
Lời giải
a) Ta có và .
b) Xét
Bảng xét dấu
Suy ra vận tốc của chất điểm tăng khi và giảm khi
a) Sai: Phương trình hàm vận tốc là
b) Đúng: Phương trình hàm gia tốc là
c) Đúng: Vận tốc của chất điểm tăng khi
d) Đúng: Vận tốc của chất điểm giảm khi
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hàm số có đồ thị . Tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị .
Lời giải
Ta có: . Cho
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là ,
Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng .
Câu 2: Biết hàm số có hai điểm cực trị là và . Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Ta có
Theo giả thiết suy ra:
Khi đó ta có hệ .
Câu 3: Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị là và . Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng .
Lời giải
Hàm số có nên có hai điểm cực trị và
Phương trình đường thẳng qua là . Khi đó .
Câu 4: Biết đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cỉa diện tích bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có nên hàm số có hai điểm cực trị là . Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là và .
Từ đó ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Toạ độ giao điểm của với hai trục toạ độ là và .
Diện tích tam giác cần tính là .
Câu 5: Gọi là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng bao nhiêu?
Lời giải
Tập xác định và có đạo hàm
Giả sử . Khi đó và
Suy ra tam giác vuông cân tại
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng:
Câu 6: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu như sau.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải
Ta thấy vì hàm số liên tục trên và có đạo hàm qua 3 nghiệm đổi dấu nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 7: Cho hàm số đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn Biết hàm số đồng biến trên khoảng . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Trong các số và có bao nhiêu số âm?
Lời giải
Hàm số đa thức bậc 3: đạt cực trị tại các điểm nên
Suy ra: là hai nghiệm của phương trình
Theo định lý Vi-et ta có:
Áp dụng định lý dấu tam thức bậc 2, ta có hàm số đồng biến trên khoảng
Vì nên do
Vậy trong các số và có 1 số âm là
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
Ta có:
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên các khoảng , và nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đạt cực đại tại điểm , giá trị cực đại .
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu .
b)
Ta có tập xác định và có đạo hàm ; .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu .
c)
Tập xác định
Đạo hàm
Bảng biến thiên
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên các khoảng và .
Hàm số đạt cực đại tại điểm , giá trị cực đại .
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu .
d)
Tập xác định .
Ta có , .
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và và đồng biến trên các khoảng , .
Hàm số đạt cực đại tại điểm , giá trị cực đại .
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm , giá trị cực tiểu .
Bài tập 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
Tập xác định: .
Ta có , .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
b)
Tập xác định
Ta có
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng và
c)
Ta có:
Tập xác định: . Đạo hàm:
Giải phương trình: .
Ta có bảng xét dấu đạo hàm
Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên các khoảng ,
d)
Tập xác định
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng , và đồng biến trên mỗi khoảng , .
Bài tập 3: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a)
Tập xác định
Ta có:

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai TINH DON DIEU VA CUC TRI CUA HAM SO