CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Dạng 1: Xác định tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp:
■ Dựa vào định nghĩa
■ Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho tam giác vuông tại có và là trọng tâm.
a) Tính các tích vô hướng: ;
b) Tính giá trị của biểu thức
c) Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
a) Theo định nghĩa tích vô hướng ta có .
Mặt khác nên
Ta có
Theo định lý Pitago ta có
b) Từ và hằng đẳng thức
Ta có
c) Tương tự: vì nên
Gọi lần lượt là trung điểm của
Dễ thấy tam giác đều nên
Theo định lý Pitago ta có:
Khi đó:
Suy ra .
Bài tập 2: Cho hình vuông cạnh . là trung điểm của, là trọng tâm tam giác . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) b)
Lời giải
a) Theo quy tắc hình bình hành ta có
Do đó
( vì )
Mặt khác và theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
b) Vì là trọng tâm tam giác nên
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
Hơn nữa
Suy ra
Ta lại có
Nên .
Bài tập 3: Cho tam giác có . là trung điểm của, là chân đường phân giác trong góc.
a) Tính từ đó suy ra .
b) Tính và
Lời giải
a) Ta có
Mặt khác
Suy ra hay
b) Vì là trung điểm của nên
Suy ra
Theo câu a) ta có
Khi đó
Theo tính chất đường phân giác thì
Mặt khác và thay vào ta được
Hay .
Bài tập 4: Cho hình chữ nhật có . Gọi là các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho và . Tính độ dài của đoạn thẳng theo
Lời giải
Ta có
Ta có:.
Bài tập 5: Cho tam giác . Chứng minh rằng với là trọng tâm tam giác thì ta có:
Lời giải
Do là trọng tâm tam giác nên ta có:
Tương tự ta có:
Từ và ta có:
.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do và là hai vectơ cùng hướng nên .
Vậy .
Câu 2: Cho hai vectơ và . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. B.
C. D.
Lời giải
Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và nên thử kiểm tra đáp án C và D.
Ta có
A đúng: vì
B đúng: vì
Câu 3: Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng
A. B. C. D.
Lời giải
Xác định được góc là góc nên
Do đó
Câu 4: Cho tam giác đều có cạnh bằng Tính tích vô hướng
A. B. C. D.
Lời giải
Xác định được góc là góc ngoài của góc nên
Do đó
Câu 5: Gọi là trọng tâm tam giác đều có cạnh bằng . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. B. C. D.
Lời giải
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
Xác định được góc là góc nên
Do đó
Xác định được góc là góc ngoài của góc nên
Do đó
Xác định được góc là góc nên
Do đó
Xác định được góc là góc nên
Do đó
Câu 6: Cho tam giác đều có cạnh bằng và chiều cao . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. B. C. D.
Lời giải
Xác định được góc là góc ngoài của góc nên
Do đó
Câu 7: Cho tam giác vuông cân tại và có Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Xác định được góc là góc ngoài của góc nên
Do đó
Câu 8: Cho tam giác vuông tại và có Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Cách khác: Tam giác vuông tại suy ra
Ta có
Câu 9: Cho ba điểm thỏa Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có ba điểm thẳng hàng và nằm giữa
Khi đó
Cách khác:Ta có
Suy ra
Câu 10: Cho tam giác có Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Câu 11: Cho hình vuông cạnh . Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra
Ta có:
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và Tính tích vô hướng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có Suy ra .
Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tính tích vô hướng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ giả thiết suy ra và suy ra
Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm tọa độ vectơ biết và
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi
Ta có
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba vectơ và Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có suy ra .
Câu 16: Cho tam giác vuông tại có và là trung tuyến. Tính tích vô hướng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có tam giác vuông tại và có là trung tuyến nên ..
Tam giác có nên là tam giác đều suy ra góc .
Ta có .
Câu 17: Cho tam giác vuông tại có . Gọi là trung điểm của . Tính giá trị của biểu thức.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:

Câu 18: Cho hình bình hành có . Điểm thuộc thỏa mãn . Tính tích vô hướng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có ;
Khi đó
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình chữ nhật . Gọi là trung điểm của là trọng tâm tam giác . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
b)
Lời giải
a) Sai: Ta có: .
b) Sai: Vì là trọng tâm của tam giác nên
c) Đúng: Vì là hình chữ nhật nên .
d) Sai: Ta có:
Câu 2: Cho hình vuông cạnh . Lấy là trung điểm của , điểm thoả mãn . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d) Tam giác vuông cân.
Lời giải
a) Đúng: Ta có: .
b) Sai:
c) Đúng:
d) Đúng: Ta có:
Ta có: .
. Vậy tam giác vuông cân tại .
Câu 3: Cho tam giác có có . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Điểm thoả mãn . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d) khi .
Lời giải
a) Sai: Ta có .
b) Đúng: Ta có: .
Khi đó:
Mặt khác:
c) Sai: Ta có: .
Từ đó ta có:
d) Đúng: Khi đó .
Câu 4: Cho tam giác vuông tại có . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
b)
Lời giải
a) Đúng: Xét tam giác vuông : ,
Khi đó: .
b) Đúng: Ta có: .
c) Sai: Ta có:
d) Đúng: Vì tam giác vuông tại nên .
Ta có: .
Suy ra .
Câu 5: Cho hình vuông tâm , có cạnh . Biết là trung điểm của là trọng tâm tam giác . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai: Độ dài đường chéo hình vuông cạnh là: .
Ta có:
b) Sai:
c) Đúng: Ta có:
d) Đúng: Ta có (quy tắc hình bình hành).
Do đó
(trong đó vì ).
Câu 6: Cho hình vuông tâm cạnh bằng . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai: Do cùng hướng nên .
Suy ra
b) Sai: Hai vectơ cùng hướng do đó
Ta có: .
c) Đúng: Hai vectơ ngược hướng do đó .
Suy ra .
d) Đúng: Ta có:
(trong đó ).
Ta có: .
Vậy .
Câu 7: Cho hình thang vuông tại và , biết và cạnh . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d) Gọi lần lượt là trung điểm của . Khi đó
Lời giải
a) Đúng: Tính thì ta có
b) Sai: Tính thì ta có
(trong đó vì là hai góc so le trong).
c) Sai: Tính .
Ta có:
d) ĐÚng: Tính .
Ta có
Câu 8: Cho tam giác đều có cạnh , có trọng tâm . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
c)
Lời giải
a) Đúng:
b) Sai:
c) Đúng: Tam giác có
d) Sai:
Câu 9: Cho tam giác có . Gọi là trung điểm đoạn thẳng . Điểm thuộc đoạn thỏa mãn . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai:
b) Sai: Do là trung điểm nên
c) Đúng:
c) Đúng:
Vậy
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho tam giác đều cạnh bằng . Khi đó hãy tính .
Lời giải
Ta có: .
Câu 2: Cho tam giác vuông tại có Gọi là trung điểm của Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có vuông tại có
Suy ra
Câu 3: Một người dùng một lực có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp với hướng dịch chuyển một góc 60. Tính công sinh bởi lực .
Lời giải
Công sinh bởi lực được tính bằng công thức:
Vậy công sinh bởi lực có độ lớn bằng 4500 (J)
Câu 4: Cho đoạn thẳng cố định có độ dài bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng . Trên đường thẳng vuông góc tại lấy điểm bất kì. Gọi là trực tâm tam giác và . Giá trị biểu thức bằng:
Lời giải
Theo giả thiết tam giác cân tại nên ,
Ta có:
Mặt khác:
Từ và suy ra
Câu 5: Người ta mắc lệch hai ròng rọc cố định để treo một vật có trọng lượng . Biết rằng ở mỗi đầu dây của các ròng rọc người ta đặt các quả cân có trọng lượng . Hỏi số quả cân cần thiết để giữ vật cân bằng sao cho hai dây căng vật của hai ròng rọc tạo với nhau một góc (như hình vẽ).
Lời giải
Gọi trọng lượng các quả cân đặt ở các ròng rọc thứ nhất là (tương ứng với quả cân) và (tương ứng với quả cân). Các lực căng tạo ra bởi các ròng rọc là và , là trọng lượng của vật.
Ta có: .
Vì . Vậy số quả cân cần thiết là .
Câu 6: Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết gần bằng 120. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ và , có cùng phương với liên kết cộng hoá trị, có chiều tử nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng = + được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của .
Từ điểm cuối của vectơ vẽ vectơ suy ra
Ta có:
Vậy độ dài của là 1,6 đơn vị
Dạng 2: Góc giữa hai vectơ. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Phương pháp: Sử dụng lý thuyết đã nêu để tính toán
■ Để tính góc của hai vectơ ta sử dụng công thức:
Cho .
■ Tích vô hướng hai vectơ là
■ Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức
Chú ý: Hai vectơ . Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng thì ta sử dụng công thức:
■ Nếu thì
■ Nếu thì
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình thang có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao
a) Tính
b) Gọi là trung điểm của . Hãy tính góc giữa và .
Lời giải
Dựng là hình chữ nhật do đó
(Vì ).
b) Gọi trung điểm của suy ra là đường trung bình của hình thang .
Do đó
Ta có
Mặt khác
;
Vậy góc giữa và bằng .
Bài tập 2: Cho các vectơ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện . Tính .
Lời giải
Ta có
.
Bài tập 3: Cho các vectơ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai vectơ bằng . Xác định cosin góc giữa hai vec tơ và với .
Lời giải
Ta có .


Khi đó .
Bài tập 4: Cho tam giác có .
a) Chứng minh tam giác vuông tại
b) Tính góc của tam giác
c) Xác định hình chiếu của lên cạnh
Lời giải
a) Ta có
Do đó hay tam giác vuông tại
b) Ta có
Suy ra
c) Gọi là hình chiếu của lên
Ta có:
hay
Mặt khác cùng phương nên (2)
Từ và suy ra
Vậy hình chiếu của lên là
Bài tập 5: Cho các điểm , , .
a) Tính các cạnh của tam giác .
b) Tính các góc của tam giác .
Lời giải
a) Ta có ;
b) Ta có: .
Suy ra và vì tam giác cân tại nên .
Bài tập 6: Cho các điểm , , .
a) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng.
b) Tính góc và diện tích tam giác .
Lời giải
a) Ta có , . Vì nên ba điểm không thẳng hàng.
b) Ta có , .
Do đó nên .
Hạ đường cao ta có .
Bài tập 7: Cho các điểm , .
a) Tìm tọa độ điểm nằm trên trục và cách đều hai điểm và .
b) Tính chu vi và điện tích tam giác .
Lời giải
a) Vì nằm trên trục nên .
Ta có
nên .
b) Chu vi tam giác :
Ta có và nên tam giác là tam giác vuông cân tại . Vậy diện tích tam giác là .
Bài tập 8: Cho ba điểm và . Tìm điểm nằm trên đường thẳng sao cho góc
Lời giải
Giả sử suy ra
Vì suy ra

Mặt khác thuộc đường thẳng nên hai vectơ cùng phương
Suy ra thế vào ta được
hoặc
Với ta có
Khi đó (không thỏa mãn)
Với ,
Khi đó . Vậy là điểm cần tìm.
Bài tập 9: Cho điểm .
a) Xác định toạ độ điểm trên trục hoành sao cho nhỏ nhất.
b) Xác định toạ độ điểm trên trục tung sao cho nhỏ nhất.
Lời giải
a) Gọi . Ta có
Biểu thức .
Dấu xảy ra .
b) Gọi
Ta có ; ; .
; .
Biểu thức
.
Nhận xét: nằm về hai phía so với trục nên dấu xảy ra nằm giữa
Gọi cùng phương
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hai vectơ và khác . Xác định góc giữa hai vectơ và biết .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Mà nên suy ra .
Câu 2: Tam giác có , , . Góc của tam giác gần với giá trị nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên .
Câu 3: Cho hai véctơ khác véctơ-không thỏa mãn . Khi đó góc giữa hai vectơ bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 4: Cho hai véctơ thỏa mãn: . Gọi là góc giữa hai véctơ . Chọn phát biểu đúng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 5: Cho hai vectơ và . Số đo góc giữa hai vectơ và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên .
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho , . Tính góc giữa hai véctơ và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ , cho và . Góc giữa hai vectơ và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 8: Cho hai vectơ ; khác vectơ thỏa mãn . Khi đó góc giữa hai vectơ ; là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Vậy .
Câu 9: Cho véc tơ . Với giá trị nào của thì véc tơ tạo với véctơ một góc
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Góc giữa hai véc tơ và bằng suy ra
.
Câu 10: Cho hai vecto , sao cho , và hai véc tơ , vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì hai véc tơ , vuông góc với nhau nên
.

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Tich vo huong cua hai Vecto Toan 10 giai chi tiet