onthicaptoc.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Dạng 1: Xác định tích của một vectơ với một số
Phương pháp:
■ Sử dụng khái niệm tích của vectơ với một số
■ Sử dụng tính chất tích vectơ với một số
■ Sử dụng quy tắc trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình bình hành . Gọi là giao điểm của và là trung điểm của . Tìm vectơ trong các trường hợp sau:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Vì là giao điểm giữa nên là trung điểm của.
b) Vì là giao điểm giữa nên là trung điểm của
c) Vì là trung điểm của nên .
d) Vì là trung điểm của nên .
Bài tập 2: Thực hiện các phép toán sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j)
Lời giải
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) .
Bài tập 3: Cho hình chữ nhật tâm có . Tính
Lời giải
Gọi là trung điểm của thì ta có
.
Bài tập 4: Cho tam giác .
a) Tìm điểm sao cho
b) Tìm điểm sao cho
Lời giải
a) Ta có:
là trọng tâm của tam giác .
b) Gọi là trung điểm của .
Ta có: là trung điểm của .
Bài tập 5: Cho vuông tại có , . Gọi là trung điểm của . Hãy tính:
a) b)
Lời giải
Ta có: ,
a) .
b) .
Bài tập 6: Cho tam giác đều cạnh . Tính
a) b)
Lời giải
a) .
b) Gọi là trung điểm của .
Ta có:
Bài tập 7: Cho tam giác .
a) Hãy xác định điểm để .
b) Chứng minh rằng với mọi điểm , ta có .
Lời giải
a)
b) .
Bài tập 8: Cho hai điểm phân biệt và .
a) Hãy xác định điểm sao cho .
b) Chứng minh rằng với mọi điểm ta luôn có .
Lời giải
a)
b) Ta có:
Bài tập 9: Cho tam giác với , , lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác. Chứng minh .
Lời giải
Gọi là điểm đối xứng của qua nên ta có (cùng vuông góc với )
Mặt khác (cùng vuông góc với )
Từ và suy ra tứ giác là hình bình hành
Vậy ba điểm , , thẳng hàng.
Ta có .
Do là trọng tâm của tam giác nên .
Bài tập 10: Cho tứ giác , là giao điểm của hai đường chéo và . Gọi , theo thứ tự là trọng tâm của tam giác và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có:
Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có
Từ và
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho đoạn thẳng , gọi là trung điểm của . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có mà và cùng hướng .
Câu 2: Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có mà và ngược hướng .
Câu 3: Cho . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo định nghĩa ta có
Câu 4: Cho tam giác , gọi là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do là trung điểm của nên ta có:.
Câu 5: Cho vectơ Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai vectơ ngược hướng. B.
C. Hai vectơ cùng phương. D. Hai vectơ cùng hướng.
Lời giải
Ta có nên hai vectơ ngược hướng.
Câu 6: Cho tam giác , gọi là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Điểm là trọng tâm của tam giác .
Câu 7: Gọi là giao điểm hai đường chéo và của hình bình hành . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có suy ra sai.
Ta có
Câu 8: Cho hình bình hành. Tổng các vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do hình bình hành nên ta có .
Câu 9: Cho tam giác , gọi là trung điểm của . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Do là trung điểm của nên ta có:
.
Câu 10: Cho tam giác , điểm thuộc cạnh thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Do điểm thuộc cạnh thỏa mãn nên ta có:
Câu 11: Cho tam giác đều cạnh . Tính độ dài của vectơ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựng điểm thỏa mãn .
Dựng hình bình hành nên khi đó
Dựng điểm thỏa mãn
Suy ra
Câu 12: Biết rằng hai vec tơ và không cùng phương nhưng hai vec tơ và cùng phương. Khi đó giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có và cùng phương nên có tỉ lệ:.
Câu 13: Tam giác vuông cân tại . Độ dài vectơ bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vẽ và hình bình hành
Ta có:
Do đó:.
Câu 14: Cho tam giác có là trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho. Gọi là giao điểm của . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi thỏa mãn
Xét ta có:
Xét ta có:
Từ và suy ra
Câu 15: Cho tam giác có là trung điểm thuộc cạnh thỏa mãn thuộc đường thẳng sao cho cắt tại trung điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt .
Ta có là trung điểm (2)
Ta có thẳng hàng nên .
Câu 16: Cho vectơ . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Khi hai vectơ luôn cùng hướng
B. Hai vectơ không cùng phương .
C. Hai vectơ có độ dài bằng nhau .
D. Khi hai vectơ luôn ngược hướng.
Lời giải
Khi hai vectơ luôn ngược hướng.
Câu 17: Cho tam giác . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của và . Khẳng định nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 18: Cho hình bình hành . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
Câu 19: Cho tam giác có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 20: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
.
Câu 21: Cho ba điểm thỏa mãn . Với điểm O bất kì, đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có .
.
Câu 22: Cho tam giác . Nếu điểm M thỏa mãn thì ta có
A. là hình bình hành. B. là hình bình hành.
C. là trung điểm . D. là trung điểm .
Lời giải
Ta có: ABMC là hình bình hành.
Câu 23: Cho tam giác và điểm M thỏa mãn . Tìm vị trí điểm M.
A. M là trung điểm của .
B. M là trung điểm của .
C. M là trung điểm của .
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành
Lời giải
(với là trung điểm của ).
là trung điểm của .
Câu 24: Cho tam giác. Lấy điểm đối xứng với qua và lấy điểm trên đoạn sao cho . Nếu thì giá trị là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 25: Cho hình chữ nhật có hai cạnh . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 26: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác . Biết và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có là phân giác trong của tam giác ABC nên .
.
Tương tự nên .
Câu 27: Cho hình thang có 2 đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm . Khi đó là đường trung bình của tam giác
là đường trung bình của hình thang .
.
Câu 28: Cho tam giác , lần lượt là các điểm thỏa . Khi đó phát biểu nào dưới đây là phát biểu sai?
A. .
B. Hai tam giác và có cùng trọng tâm.
C. .
D.
Lời giải
Ta có:
Ta có: (đúng)
Ta có:
(đúng)
Gọi và lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và .
Suy ra và
Ta có:
Vậy và trùng nhau (đúng)
Câu 29: Cho hình bình hành Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho . Gọi G là trọng tâm của . Hãy phân tích theo hai vectơ .
A. B. C. D. .
Lời giải
Ta có mà và
.
Câu 30: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: là:
A. Một đường tròn có bán kính là B. Một đường tròn có bán kính là
C. Một điểm. D. Một đường thẳng qua A và song song với BC
Lời giải
Chọn điểm sao cho:
Ta có:
Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình bình hành có tâm là một điểm bất kỳ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) .
b) .
c) .
d) Nếu thìlà trọng tâm .
Lời giải
a) Đúng: Theo quy tắc hình bình hành ta có :.
b) Sai : Dohình bình hành tâm nên là trung điểm của .
c) Đúng: Ta có:
d) Đúng :
Mặt khác là trung tuyến của nên suy ra là trọng tâm .
Câu 2: Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Gọi là trung điểm . Gọi là điểm bất kì. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau :
a) .
b) .
c) .
d) .
Lời giải
a) Đúng : Do là trung điểm các cạnh nên
Do lần lượt là trung điểm các cạnh nên .
b) Đúng: .
c) Mặt khác: .
d) Đúng: .
Câu 3: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Vectơ vận tốc của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc của máy bay A.
b) (km/h); (km/h)
c) .
d) .
Lời giải
Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.
a) Đúng: vectơ vận tốc của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc của máy bay A
b) Đúng: Theo đề bài ta có (km/h); (km/h)
c) Đúng: Khi đó suy ra .
d) Sai: .
Câu 4: Cho tam giác với trung tuyến và trọng tâm . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng .
b) Biểu diễn .
c) Với mọi điểm thì
d) Phân tích theo hai vectơ ta được
Lời giải
a) Đúng:Vì là trung điểm của nên .
b) Sai: Ta có Mặt khác và ngược hướng .
c) Đúng : Vì là trọng tâm tam giác nên
d) Đúng: Ta có .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Một người đi xe máy từ Tây sang hướng Đông với vận tốc 40 km/h được biểu thị bởi vectơ và một người khác đi xe máy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 60 km/h được biểu thị bởi vectơ . Biết rằng là phân số tối giản. Tính .
Lời giải
Ta có: ngược hướng với và có độ lớn bằng lần độ lớn vectơ .
Vì vậy .
Câu 2: Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Biết rằng biểu thức . Tìm giá trị của
Lời giải
Ta có
Cộng theo vế và ta được:
Suy ra
Câu 3: Nếu và lần lượt là trọng tâm tam giác và thì . Tìm giá trị của .
Lời giải
Ta có:
suy ra
Câu 4: Một vật đang ở vị trí chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là và , trong đó độ lớn
lực lớn gấp đôi độ lớn lực . Người ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào vật hai
lực có phương hợp với lực các góc như hình vẽ, chúng có độ lớn bằng nhau và
bằng . Tìm độ lớn của lực (kết quả làm tròn đến một chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải
Ta có: . Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng .
.
Đặt .
Ta có: do đó là hình bình hành.
Mặt khác: và nên là hình vuông.
Khi đó: N.
Câu 5: Cho hình bình hành . Gọi và là 2 điểm thỏa , . Khi đó . Tính
Lời giải
Ta phân tích và theo 2 vectơ và .
; .
Xét hệ:
Khi đó:
Câu 6: Cho tam giác . Gọi là trọng tâm của . Biết rằng tập hợp các điểm sao cho là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Lời giải
Ta có
Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính bằng 2.
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Tich cua mot vecto voi mot so Toan 10 giai chi tiet