CÁC DẠNG TOÁN BÀI THỂ TÍCH
Dạng 1: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
■ Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.
■ Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết , tam giác là tam giác vuông cân tại , . Tính theo thể tích của khối chóp
Lời giải
Diện tích tam giác vuông cân tại là .
Thể tích khối chóp là: .
Ví dụ 2: Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , hai mặt bên và cùng vuông góc với đáy và . Thể tích khối chóp bằng
Lời giải
Ta có .
Trong tam giác vuông tại có .
Diện tích tam giác là .
Thể tích khối chóp là .
Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Cạnh bên vuông góc với đáy và đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Thể tích khối chóp là
Lời giải
Vì ( 1)
Vì là hình vuông (2)
Từ (1) và (2) là hình chiếu của trên .
Vì vuông tại .
Ta có .
Xét tam giác vuông có .
Ta có .
Suy ra .
Ví dụ 4: Cho khối chóp có có đáy là hình thang, . Tam giác vuông tại , tam giác vuông tại . Thể tích khối chóp đã cho bằng
Lời giải
Ta có:
Suy ra, tam giác vuông tại
Suy ra, tam giác vuông tại
Ta có: .
Thể tích của khối chóp là: .
Ví dụ 5: Cho khối chóp có là hình chữ nhật tâm ; ; vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp biết rằng
Lời giải
Ta có:
Do là hình chữ nhật
Xét vuông tại có:
Xét vuông tại có:
Do suy ra là đường cao của khối chóp.
Thể tích khối chóp là
Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Để xác định đường cao của khối chóp, ta sử dụng định lý sau:
Ví dụ 6: Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , mặt bên là tam giác vuông cân tại và vuông góc với mặt phẳng . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Lời giải
Dựng , ta có
Do vuông cân ở , suy ra .
Vậy .
Ví dụ 7: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, Tam giác là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp bằng
Lời giải
Lấy sao cho (do tam giác đều nên cũng là trung điểm của )
.
Ta có ; . Vậy .
Ví dụ 8: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật; đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với . Biết tạo với một góc bằng . Tính thể tích của khối chóp .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Vì tam giác đều nên .
.
Suy ra .
Vì là đường cao của tam giác đều cạnh nên .
.
Trong tam giác vuông , ta có: .
Diện tích của hình chữ nhật là .
Vậy thể tích hình chóp là .
Ví dụ 9: Cho hình chóp có là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh nằm trong mặt phẳng vuông góc với biết góc giữa và mặt phẳng bằng . Thể tích hình chóp là
Lời giải
Gọi là trung điểm của cạnh . Mà và .
Tam giác đều cạnh nên .
Tam giác vuông cân tại
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 10: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết , , mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp
Lời giải
Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên .
Ta có: .
. Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng và là góc ,
, , .
Thể tích khối chóp .
Ví dụ 11: Trong không gian cho tam giác đều và hình chữ nhật với nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Biết . Thể tích của khối chóp là
Lời giải
Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với
Gọi lần lượt là trung điểm của
Trong mặt phẳng có
Vì
Ta có Do đó
Xét tam giác vuông có .
Xét tam giác đều có:
Thể tích khối chóp bằng .
Dạng 3: Thể tích khối chóp đều
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.Trong hình chóp đều:
■ Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy.
■ Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
■ Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
Chú ý:
■ Đề bài cho hình chóp tam giác đều (tứ giác đều) ta hiểu là hình chóp đều.
■ Hình chóp tam giác đều khác với hình chóp có đáy là tam giác đều vì hình chóp tam giác đều thì bản thân nó có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nói một cách khác, hình chóp tam giác đều thì suy ra hình chóp có đáy là tam giác đều nhưng điều ngược lại là không đúng.
■ Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có đáy là hình vuông.
Công thức tính thể tích khối chóp đều và một số công thức giải nhanh:
■ Chiều cao khối chóp xác định bởi , trong đó là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và là độ dài cạnh bên.
■ Khối tứ diện đều cạnh có và , trong đó là chiều cao khối tứ diện đều.  
■ Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng có
■ Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng  có 
■ Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng , có
■ Khối bát diện đều cạnh  là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng có
■ Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng  có
Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng . Thể tích của khối chóp tương ứng tính theo sẽ bằng
Lời giải
Gọi khối chóp tứ giác đều là như hình vẽ.
Gọi là tâm hình vuông , suy ra .
Do là hình vuông cạnh nên .
Ta có và .
Vậy .
Ví dụ 13: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và cạnh bên tạo với đáy một góc . Thể tích khối chóp đó bằng
Lời giải
Gọi là trung điểm và là trọng tâm tam giác . Ta có .
Tam giác đều cạnh nên và .
.
Trong tam giác vuông , ta có .
Vậy .
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng và độ dài cạnh bên bằng . Thể tích của khối chóp bằng
Lời giải
Ta có: .
.
Thể tích khối chóp .
Ví dụ 15: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng và là tâm của đáy. Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các mặt phẳng , , và . Thể tích của khối chóp bằng
Lời giải
Gọi theo thứ tự là trung điểm của .
Ta có: .
Mặt khác: đồng thời là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng nên tại .
Ta có: .
Khi đó tam giác vuông cân tại là trung điểm .
Chứng minh tương tự ta cũng có lần lượt là trung điểm của các cạnh .
Khi đó , .
Suy ra .
Vậy .
Ví dụ 16: Cho khối chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh gấp 2 lần diện tích đáy, diện tích đáy bằng . Thể tích của khối chóp tương ứng bằng
Lời giải
Diện tích hình vuông : .
Gọi là trung điểm cạnh .
Diện tích xung quanh của khối chóp : .
Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình vuông , trong tam giác vuông có.
.
Ví dụ 17: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Thể tích khối chóp là
Lời giải
là hình vuông có tâm và cạnh bằng .
Gọi là trung điểm của . Góc giữa và là góc bằng .
Ta có .
Và .
Suy ra .
Vậy .
Ví dụ 18: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và diện tích xung quanh bằng . Thể tích của khối chóp đó bằng
Lời giải
Xét hình chóp thỏa các giả thiết. Gọi là tâm của hình vuông và là trung điểm . Ta có .
Dễ thấy và tam giác vuông tại . Suy ra .
Dạng 4: Thể tích khối lăng trụ đứng
Ví dụ 19: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại . Biết và . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Lời giải
Trong có ; .
Trong có .
Thể tích của khối lăng trụ là .
Ví dụ 20: Cho khối lăng trụ tam giác đều, cạnh bên có độ dài gấp hai lần cạnh đáy. Biết tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ là . Tính theo thể tích của khối lăng trụ đã cho
Lời giải
Đặt độ dài một cạnh của tam giác đều là . Do độ dài của cạnh bên của hình lăng trụ gấp hai lần cạnh đáy nên hình chữ nhật có .Diện tích xung quanh của khối lăng trụ là
Diện tích hai đáy của khối lăng trụ là
Tổng diện tích các mặt của trụ tam giác đều là . Suy ra
Diện tích một đáy của khối lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 21: Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông cạnh . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích hình hộp theo .
Lời giải
Ta có: .
Gọi là hình chiếu của trên , suy ra .
Như vậy là khoảng cách từ đến mặt phẳng
Trong tam giác , ta có do vậy
Khi đó thể tích hình hộp là: .
Ví dụ 22: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là vuông tại , biết , và . Thể tích của khối lăng trụ bằng
Lời giải
Diện tích đáy là .
Tam giác vuông tại nên có .
Thể tích cần tính là .
Ví dụ 23: Cho hình hộp chữ nhật có ,,. Thể tích khối hộp chữ nhật bằng
Lời giải
Diện tích mặt đáy là .
Suy ra .
Ví dụ 24: Cho khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:
Lời giải
Gọi là tâm của hình vuông . Dễ thấy tại và
Suy ra .
Suy ra .
Vậy .
Ví dụ 25: Cho khối lăng trụ tam giác đều có , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Khi đó
Đặt . Ta có
Suy ra thể tích khối lăng trụ đã cho là .
Dạng 5: Thể tích khối lăng trụ đều
Ví dụ 26: Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
Lời giải
Ta có nên vuông cân tại suy ra .
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
Ví dụ 27: Tính thể tích của khối lập phương , biết
Lời giải
Gọi cạnh của hình lập phương là , khi đó ta có:
.
Vậy thể tích của hình lập phương là .
Ví dụ 28: Cho hình lập phương có . Tính thể tích hình lập phương .
Lời giải
Gọi cạnh hình lập phương có độ dài .
Xét tam giác vuông tại có .
Xét tam giác vuông tại có suy ra
Vậy thể tích hình lập phương là .
Ví dụ 29: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng . Đáy nội tiếp đường tròn bán kính . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Gọi là trung điểm là trung điểm của và Đặt .
Đáy là tam giác đều và nội tiếp đường tròn bán kính nên , suy ra
Khi đó, .
Vậy
Ví dụ 30: Cho khối lăng trụ đều có cạnh đáy bằng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ đã cho là
Lời giải
Gọi là trung điểm của và là hình chiếu của lên . Khi đó ta có
(1)
Mà
Từ (1) và (2) suy ra .
Xét tam giác vuông
Thể tích khối lăng trụ đã cho là .
Dạng 5: Thể tích khối lăng trụ xiên
Ví dụ 31: Cho lăng trụ có diện tích tam giác bằng 4, khoảng cách từ đến bằng 3, góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Thể tích khối lăng lăng trụ bằng
Lời giải
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và .
Khi đó .
Vậy .
Ví dụ 32: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng . Hình chiếu của xuống mặt phẳng trùng với trung điểm của . Tính thể tích khối lăng trụ .
Lời giải
Gọi là trung điểm .
Khi đó .
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 33: Cho khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh . Độ dài cạnh bên bằng 4. Mặt phẳng vuông góc với đáy và . Thể tích khối chóp bằng
Lời giải
Ta có (theo giả thiết).
Hạ và .
Suy ra chiều cao của lăng trụ là .
Do đáy là tam giác đều cạnh Diện tích đáy là .
Thể tích của khối lăng trụ là
Thể tích khối chóp là
Ví dụ 34: Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại và . Biết rằng và và mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn .
Nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và .
Do nên .
Ta có: ;
.
.
Tam giác vuông tại nên .
Vậy .
Ví dụ 35: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh . Hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với giao điểm của và , biết góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính thể tích khối lăng trụ .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và . Kẻ .
Theo giả thiết suy ra .
Ta có
Thể tích khối lăng trụ
Dạng 6: Tỉ số thể tích khối đa diện
Chú thích: Thể tích cũ; Thể tích mới (Dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy)
1. Kỹ thuật đổi đỉnh (Đáy không đổi)
a) Song song với đáy:
Khi đó:
b) Cắt đáy:
Khi đó:
2. Kỹ thuật chuyển đáy (Đường cao không đổi)
Ta có: với là diện tích đáy cũ; là diện tích đáy mới.
Chú ý:
■ Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
■ Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác) lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) lần.
3. Một số kết quả quan trọng
Kết quả 1: Cho tam giác . Gọi , lần lượt nằm trên các cạnh và . Khi đó:
Kết quả 2: Cho hình chóp . Gọi , lần lượt nằm trên các cạnh và .
Khi đó:
Kết quả 3: Cho khối lăng trụ tam giác . Trên các cạnh bên và lần lượt lấy các điểm
Giả sử: thì khi đó
Kết quả 4: Cho khối hộp . Trên các cạnh bên và lần lượt lấy các điểm sao cho đồng phẳng.
Giả sử: thì khi đó và
Ví dụ 36: Cho khối chóp . Trên ba cạnh lần lượt lấy ba điển sao cho . Mặt phẳng chia khối chóp thành hai khối. Gọi và lần lượt là thể tích các khối đa diện và . Khi đó tỉ số là:
Lời giải
Ta có .
Ví dụ 37: Cho hình chóp . Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp và .
Lời giải
Ta có .
Khi đó
Ví dụ 38: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng đi qua và trung điểm của . Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là với . Tính tỉ số .
Lời giải
Gọi , suy ra là trung điểm của .
Ta có .
Suy ra
Vậy , và
Ví dụ 39: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . . Mặt phẳng đi qua và trung điểm các cạnh , chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi là thể tích khối đa diện chứa đỉnh , là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh . Tỉ số bằng
Lời giải
Ta có: là đường trung bình của tam giác .
Mặt phẳng đi qua và chứa nên .
Do đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng là hình thang .
Ta có: .
. Do đó, .
Ví dụ 40: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy , cạnh bên . Gọi và lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng cắt tại .
Thể tích khối chóp bằng
Lời giải
Gọi , suy ra là trung điểm .
Gọi , suy ra
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác , cát tuyến .
.
.
.
.
Vậy .
Ví dụ 41: Cho lăng trụ , gọi , lần lượt là trung điểm của cạnh và . Biết khối tứ diện có thể tích là . Tính thể tích lăng trụ .
Lời giải
Gọi là thể tích lăng trụ
Ta có nên .
Ví dụ 42: Cho hình lăng trụ có thể tích bằng . Gọi là trung điểm cạnh , điểm thuộc cạnh sao cho . Khối chóp có thể tích là . Tính .
Lời giải
Diện tích hình thang:

Khi đó:
. Suy ra
Cách 2: Áp dụng công thức
Nếu thì
Khi đó: .
Ví dụ 43: Cho khối hộp có thể tích bằng . Thể tích của khối tứ diện bằng
Lời giải
Ta có
.
Ví dụ 44: Cho lăng trụ có thể tích là . là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh sao cho ,,. Biết thể tích khối đa diện bằng . Giá trị lớn nhất của bằng:
Lời giải
Ta có
Ta có .
Đẳng thức xảy ra khi
Ví dụ 45: Cho hình lập phương . Gọi là điểm thuộc đoạn thỏa mãn . Mặt phẳng chia khối lập phương thành hai phần có thể tích và . Gọi là phần có chứa điểm . Tính tỉ số .
Lời giải
Gọi và là thể tích của khối lập phương .
Ta có .
Ta có ; .
Suy ra .
Ta có .
Suy ra
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 LỰA CHỌN
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với đáy và . Tính thể tích của khối chóp .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn B
.
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với đáy và Thể tích của khối chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Thể tích khối chóp: .
Câu 3: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ; vuông góc với đáy và (tham khảo hình vẽ).
Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn B
Thể tích khối chóp đã cho .
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại Biết vuông góc với đáy, góc giữa và đáy bằng Tính thể tích khối chóp
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Tam giác vuông tại
.
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của biết Tính thể tích khối chóp theo
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vì là trung điểm của nên
.
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có ; Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp là
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng suy ra là đường cao của tam giác .
Mà
Vì tam giác đều cạnh nên
Diên tích tam giác :
Thể tích khối chóp : .
Câu 7: Cho hình chóp , đáy là tam giác vuông tại , có . Tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, tạo với đáy một góc . Thể tích khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo giả thiết, trong tam giác kẻ đường cao .
Khi đó .
Ta có.
Trong tam giác kẻ .
Xét tam giác , ta có .
Vậy .
Câu 8: Cho khối chóp có đáy là hình vuông, mặt bên là tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối chóp ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Đặt cạnh hình vuông là
Tam giác vuông cân tại suy ra chiều cao.
Mà
Gọi là trung điểm của . Lại có .
Gọi là hình chiếu của lên . Suy ra
.
Lại có: mà
Trong tam giác vuông tại có:
Thể tích của khối chóp là: .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Thể tích của khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm của suy ra
Theo đề ta có
Xét đều có đường cao suy ra
Vậy thể tích khối chóp là .
Câu 10: Cho khối chóp có đáy là hình thoi cạnh , , cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên tạo với đáy một góc . Thể tích khối chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Tam giác cân (do bởi là hình thoi) có nên nó đều.
Gọi là trung điểm cạnh suy ra ;
Ta có suy ra nên , với ta có .
Thể tích khối chóp là .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai The tich lop 11