CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian
Loại 1: Cho là: Khi đó:
■ Tâm (đổi dấu số trong dấu ngoặc)
■ Bán kính (rút căn vế phải)
Loại 2: Cho là: . Khi đó:
■ Điều kiện để phương trình trên là mặt cầu là
■ Tâm (đổi dấu hệ số của và chia đôi)
■ Bán kính .
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho phương trình mặt cầu , bán kính của mặt cầu là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Phương trình tổng quát của mặt cầu trong không gian là:
Khi đó: .
Câu 2: Trong không gian , cho mặt cầu . Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu .
A. B. C. D.
Lời giải
Mặt cầu có tâm và bán kính
Câu 3: Trong không gian , cho mặt cầu . Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu .
A. B.
C. D.
Lời giải
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Câu 4: Trong không gian , cho mặt cầu : . Tọa độ tâm và bán kính của lần lượt là
A. ; . B. ; . C. ; . D. ; .
Lời giải
Mặt cầu đã cho có tâm và bán kính .
Câu 5: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Phương trình: là phương trình mặt cầu có tâm , bán kính .
Ở đáp án A và B không đúng dạng phương trình mặt cầu vì hệ số của không bằng nhau nên phương trình ở đáp án A, B không là phương trình mặt cầu.
Trong đáp án D ta có: nên phương trình ở đáp án D không là phương trình mặt cầu.
Trong đáp án C ta có: nên phương trình ở đáp án C là phương trình mặt cầu.
Câu 6: Trong không gian , phương trình là phương trình của mặt cầu có tâm . Xác định tọa độ tâm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình: .
.
Vậy tâm của mặt cầu là
Câu 7: Trong không gian , cho phương trình mặt cầu . Tọa độ tâm của mặt cầu là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình:
Từ phương trình mặt cầu đề bài cho . Vậy tâm mặt cầu là .
Câu 8: Trong không gian , mặt cầu có phương trình . Tính bán kính của mặt cầu .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tạo độ tâm của mặt cầu là: và hệ số .
Bán kính . Vậy bán kính mặt cầu là:
Câu 9: Trong không gian , mặt cầu có phương trình: đi qua hai điểm và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì mặt cầu đi qua nên: .
Vì mặt cầu đi qua nên: .
.
Thay vào .
Thay vào Có tồn tại mặt cầu thỏa mãn đề bài. Vậy .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Đáp án A thỏa mãn vì .
Đáp án B vì không có số hạng .
Đáp án C loại vì có số hạng .
Đáp án D loại vì .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu .
Đáp án D không phải là phương trình mặt cầu vì
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Phương trình có hệ số trước không bằng nhau nên không phải là phương trình mặt cầu
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ , trong các mặt cầu dưới đây, mặt cầu nào có bán kính ?
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có mặt cầu có bán kính là
Trong đáp án C ta có: .
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Phương trình
Có nên đó là phương trình mặt cầu.
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu .
Đáp án B là phương trình mặt cầu vì
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Đáp án A không phải là phương trình mặt cầu vì hệ số trước bằng
Đáp án B là phương trình mặt cầu vì .
Đáp án C không phải là phương trình mặt cầu vì .
Đáp án D không phải là phương trình mặt cầu vì hệ số trước bằng
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
A. B.
C. . D.
Lời giải
Đáp án D không phải là phương trình mặt cầu vì có số hạng
Câu 18: Trong không gian , cho điểm và mặt cầu đi qua , tiếp xúc với mặt phẳng . Gọi là bán kính của mặt cầu , giá trị nhỏ nhất của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Vì mặt cầu tiếp xúc và luôn đi qua nên ta có đánh giá:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là: .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đường kính mặt cầu bằng .
b) Mặt cầu đi qua điểm .
c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng .
d) Mặt phẳng có phương trình tiếp xúc với mặt cầu .
Lời giải
a) Sai: Mặt cầu có tâm và bán kính .
Đường kính mặt cầu bằng .
b) Sai: Ta có: nên mặt cầu không đi qua điểm .
c) Đúng: Mặt phẳng có phương trình: . Khi đó
d) Sai: Ta có: nên mặt phẳng không tiếp xúc với mặt cầu .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ, cho hai điểm . Mặt cầu có tâm thuộc trục và đi qua hai điểm . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ tâm của mặt cầu có dạng .
b) Bán kính của mặt cầu là .
c) Mặt cầu có phương trình là .
d) Điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức.
Lời giải
a) Đúng: Vì tâm nên toạ độ điểm .
b) Sai: Vì nên ta có:
.
Ta có bán kính .
c) Đúng: Vì nên ta có: .
,tâm ,
Ta có mặt cầu có phương trình là
d) Đúng: Gọi là điểm thõa mãn
Mà đạt giá trị nhỏ nhất là hình chiếu của lên mặt phẳng . Vậy .
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí với bán kính phủ sáng là km. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là
.
b) Người đi biển ở vị trí nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
c) Người đi biển ở vị trí nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
d) Nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá km.
Lời giải
a) Đúng: Mặt cầu tâm , bán kính km = m có phương trình
b) Đúng: Ta có nên điểm nằm trong mặt cầu nên người đi biển ở vị trí nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
c) Sai: Ta có nên điểm nằm ngoài mặt cầu nên người đi biển ở vị trí không nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.
d) Đúng: Vì bán kính phủ sáng là km nên đường kính phủ sáng là km nên nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì hai người đó nằm trong mặt cầu, do đó khoảng cách giữa hai người đó không quá km.
Câu 4: Trong không gian hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa . Một máy bay đang chuyển động với vận tốc km/h theo đường thẳng có phương trình và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng .
b) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là .
c) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng đến vị trí điểm . Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
d) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là giờ.
Lời giải
a) Sai: Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa km nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng km.
b) Đúng: Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm có bán kính bằng có phương trình là:
c) Đúng: Ta có .
Vậy, tại vị trí điểm máy bay nằm ngoài vùng kiểm soát không không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.
d) Sai: Thay vào phương trình mặt cầu
Quãng đường máy bay di chuyển trong vùng kiểm soát không lưu là:
km.
Vậy thời gian máy bay di chuyển theo đường thẳng và trong phạm vi kiểm soát không lưu của sân bay là: giờ.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ , cho . Tính bán kính mặt cầu tâm tiếp xúc với trục .
Lời giải
Gọi hình chiếu vuông góc của lên trục .
Mặt cầu tâm tiếp xúc với trục nên mặt cầu có bán kính .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , gọi là mặt cầu đi qua hai điểm , và có tâm thuộc trục . Bán kính của mặt cầu là . Giá trị bằng?
Lời giải
Gọi tâm của mặt cầu là . Vì nên .
Mặt cầu đi qua nên có .
Bán kính mặt cầu .
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức là một mặt cầu . Tìm bán kính của mặt cầu .
Lời giải
Gọi tọa độ điểm . Khi đó
là phương trình của mặt cầu , có tâm và bán kính .
Câu 4: Cho hai điểm cố định trong không gian có độ dài là . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian sao cho là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng
Lời giải
Ta có:
Gọi thỏa mãn nên .
Từ suy ra suy ra thuộc mặt cầu có tâm là và bán kính .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và là hình chiếu vuông góc của trên trục . Gọi là mặt cầu có tâm và đi qua điểm . Độ dài bán kính mặt cầu bằng bao nhiêu?
Lời giải
Hình chiếu vuông góc của trên trục là
Câu 6: Trong không gian , mặt cầu có tâm là điểm và đi qua điểm . Gọi là điểm thuộc mặt cầu biết . Tung độ điểm có giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải
Mặt cầu đi qua nên bán kính
Vậy phương trình của mặt cầu là: .
Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu , ta có:
Vì nên nhận .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm và tiếp xúc với trục . Bán kính của mặt cầu trên bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi là bán kính của mặt cầu và là hình chiếu của trên trục suy ra và .
Mặt cầu có tâm và bán kính là .
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu có bán kính bằng tiếp xúc với mặt phẳng và có tâm nằm trên tia Hoành độ của tâm mặt cầu bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi là tâm mặt cầu . Vì tâm nằm trên tia nên
Vì mặt cầu có bán kính bằng tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có:
.
Do nên ta nhận , loại suy ra mặt cầu có tâm .
Câu 9: Mặt cầu có tâm và có đúng một điểm chung với mặt phẳng . Gọi một giao điểm của mặt cầu với trục là . Tổng bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có .
Mặt cầu có đúng một điểm chung với mặt phẳng .
Suy ra . Cho .
Vì nên .
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình Xác định tâm và bán kính của .
Lời giải
Mặt cầu có tâm , bán kính
Bài tập 2: Trong không gian , cho mặt cầu . Xác định tâm, bán kính của .
Lời giải
Mặt cầu có tâm với nên .
Mặt cầu có bán kính là .
Bài tập 3: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) . b) .
c) . d) .
e) f)
g) h)
Lời giải
a) Ta có . Do nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
b) Ta có . Do nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. Khi đó mặt cầu có tâm và bán kính .
c) Do phương trình có chứa nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
d) Ta có . Do nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
e) Phương trình không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của và khác nhau.
f) Phương trình không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức .
g) Ta có:
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm bán kính .
h) Ta có:
.
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm bán kính .
Bài tập 4: Trong không gian , một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí . Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng . Hỏi vị trí có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Lời giải
Vùng phủ sóng của thiết bị là khối cầu có tâm và bán kính .
Do nên vị trí không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.
Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là kilomet), một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trívà được thiết kế bán kinh phủ sóng mét.
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian?
b) Nhà bạn Diệp Chi, và Tuệ Nhi có vị trí tọa độ lần lượt là và . Hỏi Diệp Chi và Tuệ Nhi dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
Lời giải
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là:
b) Do nên điểm nằm trong mặt cầu đó.
Vậy bạn Diệp Chi có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Mặt khác nên điểm nằm ngoài mặt cầu đó.
Vậy bạn Tuệ Nhi không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là kilomet), một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa kilomet.
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian?
b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ và . Hỏi hai chiếc máy bay đó có bị rađa phát hiện hay không?
Lời giải
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian là:
b) nên điểm nằm trong mặt cầu đó.
Vậy chiếc máy bay do thám của Mỹ có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.
Do nên điểm nằm trong mặt cầu đó.
Vậy chiếc máy bay do thám của Anh có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu
Phương pháp: Cần xác định được tọa độ tâm và độ dài bán kính .
Các bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Mặt cầu có tâm và đi qua điểm thì bán kính
Bài toán 2: Mặt cầu có đường kính thì
■ Tâm là trung điểm của hay
■ Bán kính
Bài toán 3: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với thì bán kính
Bài toán 4: Mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng (hay gọi là ngoại tiếp tứ diện ).
Gọi có dạng
■ Thay tọa độ 4 điểm vào thì ta được hệ phương trình với 4 ẩn số
■ Giải tìm .
■ Suy ra tâm , bán kính .
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt cầu đường kính có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu có tâm . Mặt cầu có bán kính
Vậy mặt cầu có phương trình: .
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Bán kính mặt cầu .
Vậy mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là .
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Bán kính mặt cầu .
Vậy mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là .
Câu 4: Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là
A. . B.
C. . D. .
Lời giải
Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là: .
Câu 5: Trong không gian , mặt cầu đường kính với có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Mặt cầu đường kính có tâm , bán kính .
Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là .
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ , viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu có tâm và bán kính thì phương trình chính tắc của là .
Câu 7: Trong không gian , mặt cầu có tâm và đi qua gốc tọa độ có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu tâm có bán kính bằng .
Vậy .
Câu 8: Trong không gian , phương trình mặt cầu có tâm và đi qua điểm là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có . Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là .
Câu 9: Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng . Phương trình của là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Vậy phương trình cầu có tâm và bán kính là:
Câu 10: Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là:
Phương trình dạng khai triển:
Câu 11: Trong không gian tọa độ mặt cầu có tâm và bán kính có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính là
Câu 12: Trong không gian , phương trình của mặt cầu có đường kính với và là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có tọa độ tâm mặt cầu là , bán kính bằng .
Phương trình mặt cầu cần tìm là .
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ , phương trình mặt cầu tâm , bán kính là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Phương trình mặt cầu tâm bán kính là .
Câu 14: Trong không gian , mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có phương trình mặt cầu tâm và bán kính có dạng:
.
Mặt khác mặt cầu đó đi qua điểm nên: .
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm là: .
Câu 15: Trong không gian , cho điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm bán kính ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Vì là hình chiếu vuông góc của trên trục nên .
Bán kính: .
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là .
Câu 16: Trong không gian , phương trình mặt cầu có tâm và đi qua điểm là
A. B.
C. D. .
Lời giải
Ta có bán kính
Câu 17: Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . Phương trình của là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu có tâm và nên có phương trình: .
Câu 18: Trong không gian , cho tứ diện với , , , . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có dạng
Ta có , , , .
Suy ra
Vậy phương trình mặt cầu là
Câu 19: Trong không gian , cho bốn điểm , , , . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng
A. 3. B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Phương trình có dạng: .
Vì đi qua bốn điểm , , , nên ta có hệ phương trình
.
Vậy bán kính mặt cầu là: .
Câu 20: Mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình
A. B.
C. D. .
Lời giải
Bán kính
Mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là
Câu 21: Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng . Phương trình mặt cầu là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Bán kính mặt cầu là .
Mặt cầu có tâm , bán kính có phương trình là:
.
Câu 22: Trong không gian , cho hai điểm , . Mặt cầu đường kính có phương trình
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là . Độ dài đoạn thẳng là .
Mặt cầu đường kính có tâm và bán kính có phương trình là
.
Câu 23: Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình mặt cầu đường kính là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của , ta có:.
Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của và bán kính
.
Vậy phương trình mặt cầu đường kính là: .
Câu 24: Trong không gian hệ trục tọa độ , cho điểm . Phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có phương trình mặt phẳng: nên khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu là .
Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình: .
Câu 25: Trong không gian hệ trục tọa độ , cho điểm . Phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục , suy ra .
Mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục có bán kính .
Vậy mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục có phương trình: .
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu có đường kính với tọa độ các điểm , . Phương trình mặt cầu là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Suy ra mặt cầu có tâm là và bán kính
Phương trình mặt cầu đường kính là: .
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ , , . Viết phương trình mặt cầu tâm , bán kính .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Phương trình mặt cầu tâm bán kính : .
Câu 28: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho hai điểm , . Viết phương trình mặt cầu đường kính .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Gọi là tâm mặt cầu đường kính , suy ra là trung điểm của đoạn
Bán kính mặt cầu là .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Phuong trinh mat cau