CÁC DẠNG TOÁN BÀI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Dạng 1: Giải các phương trình mũ và logarit cơ bản
Phương trình mũ cơ bản
■ Nếu thì phương trình
■ Nếu thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình logarit có dạng
■ Nếu
Ví dụ 1: Giải các phương trình mũ sau:
a) b)
c) d)
e) f)
?Lời giải
a) Ta có:
b) Phương trình có nên theo định lý viet, tích các nghiệm của phương trình là 1.
c) Ta có .
d) Ta có .
e) Ta có : .
f) Ta có .
Ví dụ 2: Giải các phương trình logarit sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) k) .
? Lời giải
a) Điều kiện :
Ta có: (Thỏa mãn điều kiện ).
Vậy phương trình có nghiệm là .
b) Điều kiện của phương trình . Ta có .
c) Ta có: .
d) Điều kiện .
Ta có: .
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
e) Ta có .
f) Điều kiện xác định:
Với điều kiện thì phương trình
(Loại).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
g) Điều kiện: .
h) Điều kiện
Ta có
i) Điều kiện: .
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
k) Điều kiện xác định của phương trình là: .
Ta có: .
Kết hợp với điều kiện phương trình có 2 nghiệm .
Dạng 2: Phương pháp đưa về cùng cơ số giải phương trình mũ và logarit
Sử dụng tính chất
Cho . Khi đó:
Ví dụ 3: Giải các phương trình mũ sau đây:
a) b)
c) d)
e) f)
g)
? Lời giải
a)
b) Ta có .
c) Ta có:
d) Phương trình đã cho .
e) Ta có .
f) Điều kiện
Ta có:
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là .
g)
Ví dụ 4: Giải các phương trình logarit sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
l)
? Lời giải
a) Điều kiện xác định: .
Phương trình khi đó tương đương với . Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm.
b) Ta có .
c) Ta có:
. Vậy tập nghiệm của phương trình là .
d) Điều kiện:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
e) Điều kiện: .
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là .
f) Điều kiện .
Ta có:
So với điều kiện, suy ra . Vậy .
g) Điều kiên:
Ta có:
.Vì nên pt có 1 nghiệm .
h) Ta có:
. Vậy phương trình có nghiệm .
i) Phương trình đã cho xác định khi:
Khi đó:
(thỏa mãn điều kiện xác định)
k) Ta có:
l) Điều kiện: . Ta có
.
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ và logarit
Đặt ẩn phụ giải phương trình mũ: . Đặt
Đặt ẩn phụ giải phương trình logarit: . Đặt
Ví dụ 5: Giải các phương trình mũ sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
? Lời giải
a) Ta có: .
Đặt với điều kiện ta có phương trình .
Với .
b) Đặt , . Ta có
c) Ta có .
Khi đặt thì phương trình trở thành phương trình .
.
d) Phương trình tương đương .
Đặt . Phương trình trở thành .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
e) Ta có:
Đặt . Phương trình trở thành
Với .
f) Phương trình đã cho trở thành .
Đặt .
Với . Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
g) Ta có: .
Đặt , phương trìnhcó dạng:.
Với và với .
h) Phương trình tương đương .
Đặt . Phương trình trở thành .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
i)
Đặt , phương trình tương đương:
k) Đặt , phương trình trở thành: .
Với , ta có: .
Với , ta có: .
Ví dụ 6: Giải các phương trình logarit sau:
a) b)
c) d)
e) f)
? Lời giải
a) Điều kiện: .
Ta có .
Đặt thì phương trình trở thành
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
b) Điều kiện:
Đặt , phương trình đã cho về dạng:
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
c) Điều kiện: .
Khi đó:
Đặt thì phương trình trở thành
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
d) Điều kiện: .
Ta có: .
Đặt thì phương trình trở thành
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
e) Điều kiện xác định : .
Ta có
Do nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .
Ta có .
f) Điều kiện:
Ta có:
Đặt thì phương trình trở thành
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
Ví dụ 7: Tìm tham số để phương trình phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt ?
? Lời giải
Đặt . Phương trình trở thành .
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt một nghiệm bằng và một nghiệm dương. Khi đó .
Ví dụ 8: Tìm tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
? Lời giải
Đặt phương trình đã cho trở thành:
Ta có với là nghiệm của .
Đặt .
Vậy yêu cầu bài toán có hai nghiệm thỏa
.
Ví dụ 9: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
? Lời giải
Xét phương trình
Đặt , phương trình (1) trở thành
Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
. Khi đó trở thành .
Với và với .
Ví dụ 10: Tìm tham số để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn .
? Lời giải
Xét phương trình
Đặt , phương trình trở thành
Phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
Phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn
.
Dạng 4: Phương pháp mũ hóa và logarit hóa
1. Phương pháp logarit hóa:
■ Dạng 1: với .
■ Dạng 2: .
2. Phương pháp mũ hóa:
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau:
a) b) c)
? Lời giải
a) Ta có :  ; .
Vậy phương trình có nghiệm .
b) Điều kiện:
Ta có:
c) Ta có:
.
Ví dụ 12: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tính tỷ số .
? Lời giải
Đặt
.
Ví dụ 13: Cho phương trình với là số thực dương. Biết tích các nghiệm của phương trình là 32. Tìm giá trị của .
? Lời giải
Ta có:
Mặt khác: .
Dạng 5: Giải các bất phương trình mũ và logarit cơ bản
Phương trình mũ cơ bản
 Nếu thì phương trình
 Nếu thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình logarit có dạng
 Nếu
Ví dụ 14: Giải các bất phương trình mũ sau :
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
? Lời giải
a) Ta có
b) Bất phương trình đã cho tương đương với .
Vì , suy ra .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
c) Ta có : .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
d) Ta có .
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là .
e) Ta có
Vậy bất phương trình có tập nghiệm .
f) Ta có:
g) Ta có.
h) Ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
i) Ta có: .
Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là
k) Ta có: Vậy .
Ví dụ 15: Giải các bất phương trình logarit sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
? Lời giải
a) Điều kiện: .
Ta có:
b) Điều kiện: . Ta có: .
Kết hợp điều kiện ta được: .
c) Ta có: .Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
d) Ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
e) Điều kiện:
Ta có
.
Kết hợp với ta được .
Vậy nghiệm của bất phương trình là .
f) Điều kiện: . Ta có: .
g) Ta có: .
Vậy phương trình có tập nghiệm là .
h) Điều kiện: .
Bất phương trình
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: nên có nghiệm nguyên dương.
i) Điều kiện xác định: .
Ta có: .
Kết hợp với điều kiện, ta được: .
k) Ta có:
.
Dạng 6: Đưa về cùng cơ số giải bất phương trình mũ và logarit
Nếu gặp bất phương trình thì xét hai trường hợp:
 Trường hợp 1: Nếu thì bất phương trình
 Trường hợp 2: Nếu thì bất phương trình
Ví dụ 16: Giải các bất phương trình mũ sau :
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
? Lời giải
a) Ta có : .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
b) Ta có: .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
c) Ta có
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
d) Ta có: .
e) Ta có:
.
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên dương là
f) Ta có . Vậy .
g) Ta có: .
h) Ta có
i) Ta có .
k) Ta có .
Ví dụ 17: Giải các bất phương trình logarit sau :
a) b)
c) d)
e)
? Lời giải
a) Ta có: .
b) Ta có:
c) Điều kiện:
Ta có:
. Kết hợp điều kiện suy ra .
d) Ta có: .
e) Điều kiện xác định .
Ta có:
vì
Ví dụ 18: Tìm tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
? Lời giải
Điều kiện xác định: .
Ta có:
Ta thấy hoặc không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì
Ví dụ 19: Tìm các giá trị của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thuộc ?
? Lời giải
Yêu cầu bài toán
Mặt khác:
Lại có:
Từ và suy ra
Dạng 7: Đặt ẩn phụ giải bất phương trình mũ và logarit
Ta thường gặp các dạng: .
 Đặt đưa pt về dạng phương trình bậc 2: .
 Giải bất phương trình tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện sau đó tìm nghiệm .
 , trong đó . Đặt , suy ra .
 . Chia hai vế cho và đặt .
Ví dụ 20: Giải các bất phương trình mũ sau:
a) b)
c) d)
e) f)
? Lời giải
a) Đặt thì bất phương trình.
Kết hợp với ta được .
Vậy tập nghiệm bất phương trình là .
b) Đặt
Bất phương trình đã cho trở thành
c) Ta có .
Đặt . Ta được bất phương trình ẩn là: .
Đối chiếu điều kiện ta được .
d)
Đặt ta có bất phương trình
Với ta có
e) Đặt
Phương trình trở thành:
Kết hợp điều kiện:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
f) Ta có . .
Đặt với
.
Ví dụ 21: Giải các bất phương trình logarit sau:
a) b)
c) d)
? Lời giải
a) Điều kiện xác định: .
Ta có:
b) Điều kiện: . Khi đó: .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
c) Điều kiện . Ta có
.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là .
d) Điều kiện: .
Bất phương trình đã cho tương đương
Ta có: .
Khi đó:.
Ví dụ 22: Xét bất phương trình . Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
? Lời giải
Điều kiện: .
Ta có .
Đặt . Vì nên . Do đó .
Khi đó: trở thành .
Xét bất phương trình có: .
Do có nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tập nghiệm của bất phương trình là .
Yêu cầu bài toán tương đương tìm để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
Khi đó ta cần có
Nếu , do nên luôn đúng với .
Nếu , .
Kết hợp điều kiện ta có .
Tóm lại kết hợp cả 2 trường hợp ta có .
Ví dụ 23: Tìm tham số để bất phương trình có không quá nghiệm nguyên dương?
? Lời giải
Điều kiện:
Ta có: .
Xét: thì bất phương trình vô nghiệm.
Suy ra có giá trị nguyên dương của thỏa yêu cầu bài toán.
Xét: thì bất phương trình có nghiệm thỏa: .
Theo yêu cầu đề bài ta có: .
Kết hợp với điều kiện ta được: .
Ví dụ 24: Tìm tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
? Lời giải
Đặt . Vì nên
Bất phương trình trở thành:
Dạng 8: Mũ hóa, logarit hóa giải bất phương trình mũ và logarit
Ví dụ 25: Giải các bất phương trình mũ sau:
a) b)
c) d)
e)
? Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có .
c) Ta có: .
d) Điều kiện: .
Ta có .
Đối chiếu với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .
e) Ta có .
Ví dụ 26: Tìm để tập nghiệm của bất phương trình chứa đúng một số nguyên
? Lời giải
Điều kiện: . Ta có:
Nếu tập nghiệm của bất phương trình là:
Khi đó, bất phương trình có đúng một nghiệm nguyên khi:
Nếu tập nghiệm của bất phương trình là
Khi đó, bất phương trình có đúng một nghiệm nguyên khi:
Vậy với và thì tập nghiệm của bất phương trình chứa đúng một số nguyên.
Dạng 9: Vận dụng vào các bài toán thực tế
Ví dụ 27: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau năm là: (triệu đồng). Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
? Lời giải
Ta có:
Chia cả hai vế của bất phương trình cho 500:
Lấy logarit tự nhiên ở cả hai vế của bất phương trình:
Chia cả hai vế của bất phương trình cho :
Vậy thời gian tối thiểu cần gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng là 10 năm.
Ví dụ 28: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là mổi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn sau giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:. Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?
? Lời giải
Giải phương trình:
Chia cả hai vế của phương trình cho 500:
Logarit tự nhiên của cả hai vế:
Vậy sau khoảng 5.43 giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt mức 80000 con.
Ví dụ 29: Giả sử nhiệt độ của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức: trong đó thời gian được tính bằng phút.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại ?
? Lời giải
a) Nhiệt độ ban đầu của vật:
b) Để tìm thời gian mà nhiệt độ của vật còn lại .
Giải phương trình trên ta tìm được giá trị của :
Vậy sau khoảng 6,04 phút nhiệt độ của vật sẽ giảm còn .
Ví dụ 30: Tính nồng độ Ion Hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.
? Lời giải
Độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức .
. Do đó, nồng độ ion hydrogen của dung dịch có độ pH là 8 là:
lít).
Vậy, nồng độ ion hydrogen của dung dịch là lít.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình
? Lời giải

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai phuong trinh bat phuong trinh mu va logarit lop 11