CÁC DẠNG TOÁN BÀI LŨY THỪA VỚI MŨ SỐ THỰC
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa
Phương pháp: Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa. Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có:


A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức trong các trường hợp sau:
a) Cho hai số thực thỏa mãn . Tính
b) Cho là số thực dương thỏa mãn Tính
c) Tính
d) Biết rằng ; là các số thực thỏa mãn . Tính
Lời giải
a) .
b) Ta có:
c) Ta có: .
d) Ta có:
.
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức trong các trường hợp sau:
a) Tính giá trị của biểu thức
b) Tính giá trị biểu thức biết .
c) Tính giá trị của biểu thức
d) Tính .
e) Biết . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
a) Ta biến đổi .
b) Ta có:
.
Vậy .
c) .
d) Ta có.
.
e) Ta có:
(Do ). Vậy .
Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức trong các trường hợp sau:
a) Biết . Tính giá trị của biểu thức .
b) Tính giá trị của biểu thức
c) Cho . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
a) .
b) Ta có .
c) Ta có .
Do vậy . Vậy .
Dạng 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa
Phương pháp: Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa. Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có:


A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a) b) (với là hai số thực dương)
Lời giải
a) .
b)
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau với là các số thực dương:
a) b) với
c) với . d)
e) f)
Lời giải
a) Ta có .
b)
c) Ta có .
d) Ta có: .
e) Ta có: .
f)
.
Bài tập 3: Thực hiện các yêu cầu sau đây:
a) Rút gọn biểu thức
b) Cho là các số thực dương. Rút gọn biểu thức
c) Cho số thực và . Hãy rút gọn biểu thức
d) Cho x, y là các số thực dương và .Rút gọn biểu thức
Lời giải
a) Dựa vào hằng đẳng thức thứ ba ta có
.
b) Viết biểu thức K dưới dạng:
c) Ta có
d)
Dạng 3: So sánh các lũy thừa
Phương pháp: Sử dụng kiến thức cơ bản đề so sánh
■ Nếu thì khi và chỉ khi .
■ Nếu thì khi và chỉ khi .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
a) và b) và .
Lời giải
a) Nếu và , thì .
Áp dụng bất đẳng thức này với , và ta được:
Vậy .
b)
Với ta có thể viết lại thành .
Vậy .
Bài tập 2: Tìm điều kiện của để ?
Lời giải
Điều kiện
Trường hợp 1: nếu
Trường hợp 2: nếu
Vậy yêu cầu bài toán tương đương
Bài tập 3: Với những giá trị nào của thì
a) b) .
Lời giải
a) Điều kiện: . Vì nên .
b) Điều kiện: .
Vì nên .
Bài tập 4: Thực hiện các yêu cầu sau:
a) Cho ;. So sánh , .
b) Sắp theo ,và theo thứ tự từ lớn đến bé.
Lời giải
a)
Ta có nên nên ta suy ra .
b)
Ta có:
Lại có:
Vậy .
Bài tập 5: So sánh ba số sau: , và
Lời giải
Ta có: .
.
.
Do nên .
.
Dạng 4: Vận dụng vào các bài toán thực tế
Phương pháp: Bài toán lại kép
Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ. Công thức:
Trong đó:
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
: Số tiền gửi ban đầu;
: Số kỳ hạn tính lãi;
: Lãi suất định kỳ, tính theo %.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Nếu một khoản tiền gốc được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi lần trong một năm, thì tổng số tiền nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau kì gửi cho bởi công thức sau: Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?
Lời giải
Với số tiền gốc triệu đồng, lãi suất (vì lãi suất được biểu thị dưới dạng số thập phân), và số kỳ gửi trong một năm (vì một năm có 2 kỳ gửi 6 tháng), số kỳ gửi trong 2 năm là .
Áp dụng công thức tính lãi suất kép: triệu đồng.
Vậy sau 2 năm, bác An sẽ nhận được khoản tiền là khoảng 136.047 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
Bài tập 2: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số (triệu người) của quốc gia đó sau năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Lời giải
Sau 30 năm, dân số của quốc gia sẽ tăng gấp đôi, tức là sẽ đạt mức 38 triệu người. Ta có công thức tính tỉ số tăng trưởng dân số là:
Từ đó, ta có thể tìm được số năm tương ứng với tốc độ tăng dân số như vậy là:
.
Vậy sau 30 năm kễ từ năm 2021, tức là năm 2051, dân số của quốc gia này sẽ đạt mức 38 triệu người.
Để tính dân số sau 20 năm kể từ năm 2021, ta có thể tính tỉ số tăng trưởng dân số trong 20 năm nhur sau:
Vậy dân số của quốc gia này sau 20 năm, tức là năm 2041, sẽ đạt mức: triệu người
Bài tập 3: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức , trong đó là số lượng vi khuẩn ban đầu, là tỉ lệ tăng trưởng, là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ là
Lời giải
Số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con nên ta có
.
Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ là
(con).
Bài tập 4: Cho biết đầu năm 2018 dân số Việt Nam là 93,7 triệu và tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 1,2%. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số từ năm 2018 đến năm 2030 không thay đổi thì dân số nước ta đầu năm 2030 khoảng bao nhiêu ( Biết dân số Việt Nam được tính theo công thức trong đó là dân số của năm lấy làm mốc, là số dân sau năm, là tỉ lệ tăng dân số.
Lời giải
Ta có triệu dân.
Bài tập 5: Dân số Việt Nam được ước tính theo công thức , trong đó là dân số của năm lấy làm mốc, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm , Việt Nam có khoảng triệu người và tỉ lệ tăng dân số là . Hỏi năm Việt Nam sẽ có bao nhiêu triệu người nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Áp dụng công thức ta có dân số năm là:
(triệu người).
Bài tập 6: Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức; trong đó là dân số của năm lấy làm mốc tính, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2017 dân số Việt Nam là người Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là %, dự báo dân số Việt Nam năm 2030 là bao nhiêu người?
(Tổng cục thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr. 79).
Lời giải
Ta có .
Bài tập 7: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền bao nhiêu, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
Lời giải
Áp dụng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó lĩnh được số tiền:
Ta có:
Bài tập 8: Một học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha mẹ cho VNĐ. Số tiền này được bảo quản trong ngân hàng MSB với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi học xong 4 năm đại học. Biết rằng khi đủ 22 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi lãi suất kỳ hạn một năm của ngân hàng MSB là r. Áp dụng công thức lãi suất kép
trong đó ta có :
.
Bài tập 9: Ông Đại mới xin được việc làm nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ mỗi đầu tháng đóng vào 5 triệu đồng với lãi suất 0,33%/ tháng. Tính số tiền mà ông Đại thu được từ ngân hàng sau 5 năm.
Lời giải
Với là số tiền ông Đại đóng vào hằng tháng, lãi suất ông Đại gửi tiết kiệm hằng tháng.
Gọi là số tiền mà ông Đại thu được sau tháng .
Suy ra
.
……………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………
Xét cấp số nhân có số hạng đầu là và công bội thì .
Vậy số tiền ông Đại nhận được từ ngân hàng sau 5 năm là
triệu đồng.
Bài tập 10: Ông Bình vay vốn ngân hàng với số tiền đồng. Ông dự định sau đúng năm thì trả hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
Lời giải
Gọi lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng.
Sau khi hết tháng thứ nhất thì còn lại:
Sau khi hết tháng thứ hai thì còn lại:
Sau khi hết tháng thứ ba thì còn:
Sau khi hết tháng thứ thì còn lại:
Áp dụng công thức trên, ta có .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Với là số thực dương tùy ý, bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Với , ta có
Câu 2: Cho các số thực . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Theo tính chất của lũy thừa ta có: .
Câu 3: Cho và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Thay , vào ta được
.
Câu 4: Với là số thực dương, biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 5: Cho là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Câu 6: Giá trị viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: .
Câu 7: Cho là một số thực dương. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 8: Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 9: Cho là số thực dương khác , biểu thức viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Với là số thực dương ta có
Câu 10: Với là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Công thức đúng: .
Câu 11: Với là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: và .
Câu 12: Cho là số thực dương. Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 13: Nếu và thì
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Ta có: , lại có .
Ta có: , lại có .
Câu 14: Xét là hai số thực bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 15: Cho . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì nên .
Câu 16: So sánh hai số và nếu .
A. Không so sánh được. B. . C. . D. .
Lời giải
Vì nên ta có: .
Câu 17: Cho là số thực khác . Biết . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 18: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 19: Cho . Biểu thức có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Suy ra
Câu 20: Biết , tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có (vì ). Vậy .
Câu 21: Cho là một số thực dương, tính giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 22: Cho . Khi đó biểu thức với là phân số tối giản và . Tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: vì
.
Vậy .
Câu 23: Cho là một số thực dương. Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 24: Cho biểu thức . Khi thì giá trị của biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 25: Cho . Khi đó biểu thức với tối giản và . Tính tổng có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Suy ra: .

Suy ra: , .
Câu 26: Cho là số thực dương. Biết với , là các số tự nhiên và là phân số tối giản. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Khi đó ; nên .
Câu 27: Cho hai số thực dương . Rút gọn biểu thức ta thu được . Tích của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Suy ra
Câu 28: Biết biểu thức được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là . Khi đó, giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 29: Cho hàm số với . Giá trị của là
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Khi đó .
Câu 30: Cho là số thực dương. Rút gọn biểu thức về dạng trong đó là phân số tối giản và . Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Câu 31: Rút gọn biểu thức với ta được kết quả , trong đó và là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:.
Câu 32: Cho , là hai số dương không đồng thời bằng , biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 33: Cho là hai số nguyên thỏa mãn: . Tính ?
A. -445. B. -755. C. -450. D. -425.
Lời giải
Ta có:
Câu 34: Tại thời điểm ban đầu nếu đầu tư đô la với tỷ lệ lãi suất được tính gộp liên tục hàng năm không đổi là thì giá trị tương lai của khoản đầu tư này sau năm là đô la. Giả sử tỷ lệ lãi suất tính gộp hàng năm là . Hỏi sau bao nhiêu năm thì số tiền đầu tư ban đầu tăng thêm ít nhất .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo đề ra ta có: .
Câu 35: Trong khuôn viên một trường đại học có sinh viên, một sinh viên vừa trở về sau kì nghỉ và bị nhiễm virus cúm truyền nhiểm kéo dài. Sự lây lan này được mô hình hóa bởi công thức . Trong đó là tổng số học sinh bị nhiễm sau ngày. Các trường đại học sẽ cho các lớp học nghỉ khi có nhiều hơn hoặc bằng số sinh viên bị lây nhiễm. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì trường cho các lớp nghỉ học?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Vậy sau ít nhất ngày thì trường cho các lớp nghỉ học
Câu 36: Số người trong cộng đồng sinh viên đã nghe một tin đồn nào đó là trong đó là tổng số sinh viên của cộng đồng và là số ngày trôi qua kể từ khi tin đồn bắt đầu. Trong một cộng đồng 1000 sinh viên, cần bao nhiêu ngày để 450 sinh viên nghe được tin đồn?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Vậy cần 4 ngày để 450 sinh viên nghe được tin đồn.
Câu 37: Biết rằng năm , dân số Việt Nam là người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức (trong đó là dân số của năm lấy làm mốc tính, là dân số sau năm, là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức triệu người?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ công thức với ,,
Vậy (năm)
Vậy sau 25 năm thì dân số nước ta ở mức triệu người hay đến năm thì dân số nước ta ở mức triệu người.
Câu 38: Bác An gửi tiết kiệm số tiền triệu đồng kì hạn tháng với lãi suất kép một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác An thu được sau năm (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng công thức lãi kép với ta được số tiền bác An thu về cả vốn và lãi sau 5 năm là (triệu đồng).
Câu 39: Bác An gửi tiết kiệm số tiền triệu đồng kì hạn tháng với lãi suất kép một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Sau ba năm vì cần tiền nên bác An đến ngân hàng rút ra triệu đồng, phần còn lại vẫn tiếp tục gửi. Hết bốn năm tiếp theo, bác An lại đến ngân hàng rút toàn bộ tiền tiết kiệm (cả gốc và lãi) về, hỏi bác An sẽ thu về được bao nhiêu tiền? (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số tiền cả gốc và lãi bác An có được sau năm là với
Bác An rút về triệu đồng nên số tiền còn lại tiếp tục gửi tiết kiệm là .
Hết năm tiếp theo, số tiền cả gốc và lãi bác An thu được là (triệu đồng).
Câu 40: Dân số thế giới được dự đoán theo công thức , trong đó là các hằng số, là năm tính dân số. Theo số liệu thực tế, dân số thế giới năm 1950 là 2 tỉ 560 triệu người và năm 1980 là 4 tỉ 440 triệu người. Hãy dự đoán dân số thế giới năm 2030? (Làm tròn đến hàng triệu)
A. 19 tỉ 280 triệu. B. 10 tỉ 141 triệu. C. 15 tỉ 236 triệu. D. 11 tỉ 116 triệu.
Lời giải
Ta có: .
Khi đó: .
Vậy dự đoán dân số thế giới đến năm 2030 là 11 tỉ 116 triệu người.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho là các số thực dương. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Sai: .
b) Đúng: .
c) Đúng: .
d) Sai: .
Câu 2: Cho biểu thức và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) thì
c) thì
d) Phép toán thu được kết quả là một số tự nhiên
Lời giải
a) Đúng:
b) Sai: .
c) Sai: .
d) Đúng:
và
Khi đó
Câu 3: Cho các biểu thức ; với . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Sau khi rút gọn, thì chỉ chứa biến
b) Biểu thức luôn
c)
d)
Lời giải
Ta có:
a) Đúng: Sau khi rút gọn, thì chỉ chứa biến
b) Sai: Thu gọn
c) Sai:
d) Đúng: . Do
Câu 4: Với mọi và là các số thực tùy ý. Giả sử các biểu thức xuất hiện trong các công thức của mỗi mệnh đề đều có nghĩa. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) .
b) với là số nguyên dương.
c) Nếu thì .
d) Nếu thì .
Lời giải
a) Đúng: , với và là các số thực tùy ý.
b) Đúng: với là số nguyên dương.
c) Đúng: Do nên .
d) Sai: Do nên .
Câu 5: Với mọi số thực . Giả sử các biểu thức xuất hiện trong các công thức của mỗi mệnh đề đều có nghĩa. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải
a) Đúng: , với.
b) Sai: .
c) Sai: .
d) Đúng: .
Câu 6: Cho , và hàm số . Biết là các số thực thỏa mãn ,. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) .
b) .
c) .
d) Nếu thì .
Lời giải
a) Sai:
b) Đúng:
c) Đúng:
d) Đúng:

Suy ra:
Câu 2. Cho là số thực dương và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Nếu thì
c) Rút gọn ta được .
d) Nếu thì
Lời giải
a) Sai:
b) Sai:
c) Đúng :
d) Đúng:
Do đó
Câu 7: Một người gửi số tiền 500 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6,5% một năm theo hình thức lãi kép. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Lãi suất của ngân hàng là trong một năm
b) Sau khi gửi 1 năm, số tiền mà người đó có trong ngân hàng là đồng
c) Sau khi gửi 3 năm, số tiền mà người đó có trong ngân hàng nhiều hơn đồng.
d) Do thiếu tiền nên ở cuối năm thứ 3, người đó đã rút 100 triệu đồng từ ngân hang và tiếp tục gửi thêm 2 năm nữa thì rút toàn bộ số tiền. Lúc này người này có số tiền ít hơn đồng.

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Luy thua voi mu so thuc lop 11