CÁC DẠNG TOÁN BÀI LÔGARIT
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa logarit
Phương pháp: Giả sử là số thực dương khác , và là các số thực dương, là số thực tuỳ ý.
Khi đó:
Đổi cơ số của Logarit:
Với các cơ số lôgarit và bất kì và là số thực dương tuỳ ý, ta luôn có:
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức trong các trường hợp sau:
a) b)
c) d) .
Lời giải
a) .
b) .
c) .
d)
Bài tập 2: Cho là số thực dương và . Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) . b) Tính với .
c) . d) .
e) . f) .
Lời giải
a) Ta có .
b) .
c) Ta có .
d) Ta có: .
e) Ta có
f) Ta có: .
Bài tập 3: Tính giá trị các biểu thức:
a) b) .
c) d) .
e) f) .
Lời giải
a) .
b) .
c)
d)
e) .
f) .
Bài tập 4: Cho các số thỏa mãn: . Tính giá trị của .
Lời giải
Ta có:
Ta có
.
Baì tập 5: Cho các số thực dương thỏa mãn và tích . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Đặt và
.
Bai tập 6: Cho thỏa mãn . Tính giá trị của
Lời giải
Đặt
.
Ta có:
.
Bai tập 7: Cho các số dương khác thoả mãn và . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Ta có .
.
Dạng 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa logarit
Phương pháp: Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của logarit
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tính .
Lời giải
Đặt .
Suy ra
Đặt
Khi đó phương trình (1) trở thành
Do đó, .
Bài tập 2: Đặt . Hãy biểu diễn theo và .
Lời giải
Ta có
vì .
Vậy
Bài tập 3: Đặt , . Hãy biểu diễn theo và .
Lời giải
Ta có và .
Suy ra: .
Bài tập 4: Cho hai số thực thỏa mãn: và . Tính
Lời giải
Ta có:
.
Bài tập 5: Đặt , khi đó được biểu diễn dưới dạng , với là các số nguyên. Tính
Lời giải
Ta có: .
Vậy .
Bài tập 6: Cho các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn biểu thức dưới đây. Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Ta có:
Do các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau nên
Giá trị của biểu thức .
Bài tập 7: Cho hai số thực dương khác thỏa mãn . Tìm
Lời giải
Vì dương khác nên ta có:

Vì hai số thực dương khác nên nên từ suy ra .
Dạng 3: So sánh các logarit
Phương pháp: Sử dụng kiến thức cơ bản đề so sánh
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho các số dương . Tìm điều kiện của để và .
Lời giải
Ta có : và do nên .
Vì và nên .
Bài tập 2: Cho các số dương . Tìm điều kiện của để và
Lời giải
Ta có: .
Mặt khác: .
Bài tập 3: Cho hai số thực , biết . Hãy so sánh và
Lời giải
Do nên ta có ; . Vậy ta có .
Bài tập 4: Xét và là hai số thực dương tùy ý. Đặt ; . Hãy so sánh và
Lời giải
Ta có .
.
.
Với thì .
Suy ra .
Ta thấy , khi và chỉ khi . Do vậy .
Bài tập 5: Cho hai số thực dương , thỏa mãn . Tìm mối quan hệ giữa và .
Lời giải
Ta có:
.
Bài tập 6: Cho các số thực dương khác thoả mãn và . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có: .
Mặt khác: .
Khi đó: =.
Bài tập 7: Cho các số dương khác thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Ta có:
. Vậy .
Bài tập 8: Cho biết hai số thực dương và thỏa mãn ; với . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Với ta có :
Vì nên . Khi đó :
.
Bài tập 9: Cho thỏa mãn . Tính giá trị
Lời giải
.
Bài tập 10: Cho các số thực thoả mãn . Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giá trị của biểu thức bằng
Lời giải
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi: . Khi đó .
Dạng 4: Vận dụng vào các bài toán thực tế
Phương pháp: Bài toán lại kép
Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ. Công thức:
Trong đó:
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
: Số tiền gửi ban đầu;
: Số kỳ hạn tính lãi;
: Lãi suất định kỳ, tính theo %.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1:Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là:trong đó là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và là áp suất không khí (tính bằng pascal).Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao so với mực nước biển.
Lời giải
Để tính áp suất không khí ở độ cao , ta thay a vào công thức và giải phương trình để tìm giá trị của .
Ta có:
Suy ra:
Vậy áp suất không khí ở độ cao so với mực nước biển là khoảng 245,37 Pa.
Bài tập 2: Mức cường độ âm đo bằng decibel ( của âm thanh có cường độ (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là ) được định nghĩa như sau: trong đó là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe). Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ .
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ .
Lời giải
a) Áp dụng công thức:
b) Thay các giá trị ta có:
Bài tập 3: Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được . Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?
(Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com)
Lời giải
Độ pH của đầm đó không thích hợp để tôm sú phát triển.
Bài tập 4:a) Nước cất có nồng độ là . Tính độ của nước cất.
b) Một dung dịch có nồng độ gấp 20 lần nồng độ của nước cất. Tính độ của dung dịch đó.
Lời giải
a) Độ pH của nước cất là: .
b) Nồng độ của dung dịch đó là:
Độ của dung dịch đó là: .
Bài tập 5: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần. Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
(Nguồn: Câu hỏi và Câu tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008)
Lời giải
Số lượng tế bào đạt tới khối lượng của Trái Đất là:
Số lần phân chia:
Thời gian cần thiết là:(giờ)
Bài tập 6: Gia đình bác An gửi tiết kiệm triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất /năm. Biết rằng tiền lãi của kì trước được cộng vào gốc tính lãi kì sau (lãi kép).
a) Hỏi sau ba năm, gia đình bác nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Nếu tính theo thể thức lãi kép liên tục thì số tiền cả vốn lẫn lãi của gia đình bác An thu được là bao nhiêu (sau ba năm)?
b) Vẫn với 500 triệu đồng, gia đình bác An gửi tiết kiệm với lãi kép /năm theo kì hạn tháng. Hỏi để nhận được cả gốc và lãi là tỉ đồng thì gia đình bác An cần gửi bao nhiêu năm?
Lời giải
a) Ta có: triệu đồng là số tiền gốc ban đầu.
/năm là lãi suất một kỳ.
(năm) là số kỳ hạn gửi.
là số tiền cả vốn và lãi nhận được sau kỳ gửi.
Sau ba năm, gia đình bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là:
triệu đồng.
Với thể thức lãi kép liên tục thì số tiền gia đình bác An thu được sau ba năm là: triệu đồng.
b) Ta có: triệu đồng là số tiền gốc ban đầu.
/năm là lãi suất một kỳ.
là số năm cần gửi.
tỉ đồng là số tiền cả vốn và lãi nhận được sau năm gửi.
Do kì hạn là tháng, tức là mỗi năm là kì tính lãi nên:
Số kì gửi là , lãi suất mỗi kì gửi là .
Khi đó: .
(năm).
Vậy, gia đình bác An cần gửi ít nhất năm để nhận được số tiền như dư định.
Bài tập 7: Người ta sử dụng công thức để dự báo dân số của một quốc gia, trong đó là số dân của năm lấy làm mốc tính, là số dân sau năm và là tỉ lệ gia tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm , dân số của Việt Nam là người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là , hỏi dân số nước ta đạt triệu người vào năm nào?
Lời giải
Theo công thức tăng trưởng mũ:
Sau năm thì dân số Việt Nam năm nào sau đây đạt triệu người.
Vậy dân số đạt triệu người vào năm
Bài tập 8: Một học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha mẹ cho VNĐ. Số tiền này được bảo quản trong ngân hàng MSB với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi học xong 4 năm đại học. Biết rằng khi đủ 22 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
Bài tập 9: Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức , với là biên độ rung chấn tối đa và là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở gần đó đo được độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu trận động đất này.
Lời giải
Xét trận động đất ở San Francisco, ta có
Xét trận động đất khác gần đó, ta có:
Từ đó ta tính tỉ lệ:
Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp trận động đất khác gần đó.
Bài tập 10: Trong nuôi trồng thuỷ sản , độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản . Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất trong khoảng từ 7,8 đến 8,5 . Phân tích nồng độ trong một đầm nuôi tôm sú thu được = . Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho nuôi tôm sú phát triển không ?
Lời giải
Độ pH của đầm là : pH == 7,1
Ta thấy 7,1 < 7,2 nên độ pH của đầm chưa thích hợp để cho tôm sú phát triển.
Bài tập 11: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng gam và cứ sau 20 phút vi khẩn đó tự nhân đôi một lần . Giả sử được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại ít nhất là 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đât là gam ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ).
Lời giải
Gọi (gam) là khối lượng ban đầu của vi khuẩn .
Sau 20 phút đầu tiên, khối lượng của vi khuẩn là : .
Sau 20 phút thứ 2, khối lượng của vi khuẩn là :
Sau 20 phút thứ 3, khối lượng của vi khuẩn là :.
Sau 20 phút thứ n, khối lượng vi khuẩn là : .
Gỉa sử : =
Vậy sau khoảng 100.20 = 2000 phút 33,3 (giờ) thì khối lượng của tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Tính giá trị biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 2: Tính giá trị biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 3: Cho . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: .
Câu 4: Với mọi số thực dương, bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Có .
Câu 5: Với mọi thỏa mãn , khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện:
Câu 6: Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Câu 7: Cho và , khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 8: Cho và . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: .
Câu 9: Cho và là hai số thực dương thỏa mãn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 10: Cho là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Câu 11: Cho = và = . Tính theo và
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 12: Cho . Tính theo ?
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 13: Cho , , và . Tính theo , , .
A. B. C. D.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra .
Ta có:
Câu 14: Cho số thực dương khác . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 15: Cho và là các số thực dương tùy ý. Nếu và thì
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: mà nên
Mặt khác: mà nên .
Câu 16: Cho là các số thực dương và khác , thỏa mãn . Giá trị của biểu thức bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có .
Câu 17: Cho số thỏa mãn . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 18: Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 19: Với là các số thực dương, khác . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 20: Giá trị của biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 21: Cho là số thực dương khác . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 22: Với mọi dương thỏa mãn , khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 23: Cho và , khi đó bằng
A. . B. . C. 5. D. .
Lời giải
Ta có: = =
Câu 24: Cho và , khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Với và ta có: .
Câu 25: Cho là số thực dương khác . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 26: Cho là số thực dương khác . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 27: Xét các số thực dương thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:.
Câu 28: Cho là các số thực dương và khác , thỏa mãn . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 29: Cho là các số thực dương khác thỏa mãn Giá trị của là
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Câu 30: Cho số thực ; và số thực thỏa mãn . Tính theo .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 31: Cho Khi đó bằng bao nhiĉu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 32: Cho là hai số thực dương, thỏa mãn Tính giá trị của
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Vậy
Câu 33: Cho là các số thực dương, trong đó và thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra và .
Khi đó,
Câu 34: Với mọi thoả mãn . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 35: Cho , . Khi đó tính theo và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Câu 36: Với mọi số thực dương thỏa mãn , khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 37: Đặt và . Rút gọn biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 38: Cho . Biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Câu 39: Cho , . Nếu thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Câu 40: Cho là hai số thực dương, thỏa mãn Tính giá trị của
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Vậy
Câu 41: Cho số thực dương thỏa mãn . Tỉ số thuộc khoảng nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt
Suy ra
Vậy
Câu 42: Cho là hai số thực dương, thỏa mãn Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Từ suy ra . Vậy
Câu 43: Với hai số thực dương tùy ý và . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Câu 44: Cho các số thực , thỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do nên , và .
Ta có:
(*)
Khi đó,
Suy ra: .
Câu 45: Cho , và là các số thực lớn hơn và gọi là số thực dương sao cho , và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
; .
Lại do:
.
Câu 46: Cho các số thực dương thỏa mãn đồng thời và . Tính
A. . B. . C. 2020. D. .
Lời giải
Đặt .
Ta có và
Vì vai trò như nhau nên giả sử và .
Câu 47: Cho hàm số và hai số thực thuộc khoảng sao cho . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
, vì
.
Câu 48: Cho , , là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; , , lập thành cấp số cộng, với là số thực dương khác 1. Giá trị của là
A. 13. B. 3. C. 12. D. 10.
Lời giải
, , là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có (1).
, , lập thành cấp số cộng nên:
(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra .
Vậy .
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên dương để là một số nguyên dương?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
là số nguyên dương.
Vậy có số nguyên dương.
Câu 50: Giả sử . Hãy biểu diễn theo ?
A. . B. . C. . D. .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Logarit lop 11