CÁC DẠNG TOÁN BÀI HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Dạng 1: Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với mặt phẳng .
Cụ thể:
Ngoài ra, dựa vào phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, ta còn có thể chứng minh hai mặt phẳng song song như sau: chứng minh hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này, song song với hai đường thẳng (cắt nhau) nằm trong mặt phẳng kia.
Cụ thể:
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng .
Lời giải
Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có đường thẳng chung .
Vì nên hoặc trùng với .
Tương tự, do nên hoặc trùng với mà điều này là không thể xảy ra vì cắt tại .
Bài tập 2: Cho hình chóp tứ giác . Lấy các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh , .
a) Chứng minh rằng .
b) Giả sử mặt phẳng cắt tại . Chứng minh rằng là trung điểm của .
Lời giải
a) Vì là đường trung bình của tam giác nên .
Vì nên . Chứng minh tương tự ta có: mà cắt nên ta có: .
b) Vì là giao điểm của và là điểm chung của hai mặt phẳng và nên là giao tuyến của và .
Do nên ta có: .
Trong tam giác là trung điểm của và nên là trung điểm của .
Bài tập 3: Cho hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng .
Lời giải
Vì là hình bình hành nên mà không thuộc mặt phẳng suy ra . Tương tự, do là hình bình hành nên suy ra . Mà cắt nhau và nằm trong mặt phẳng nên ta có .
Bài tập 4: Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và là điểm bất kỳ trên cạnh . Chứng minh rằng . Từ đó suy ra .
Lời giải
Ta có là đường trung bình của nên .
Khi đó
Tương tự .
Vậy . Mặt khác do nên .
Bài tập 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của , .
a) Chứng minh .
b) Gọi là điểm bất kỳ trên . Chứng minh .
Lời giải
a) Chứng minh .
Ta có là đường trung bình của nên .
Khi đó . Tương tự .
Vậy
b) Chứng minh . Ta có .
Bài tập 6: Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn gấp đôi đáy bé . Gọi thuộc cạnh sao cho và thuộc cạnh sao cho
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
a) Chứng minh rằng .
Ta có và .
Xét và có
Trong tam giác có nên .
Trong tam giác có nên .
Như vậy
b) Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Ta có
Xét tứ giác có là hình bình hành.
Bài tập 7: Cho hình chóp với đáy là hình thang mà và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh: từ đó suy ra
Lời giải
Ta có: lần lượt là trung điểm của và là đường trung bình của . Ta có
Mà có và nên suy ra là hình bình hành .
Ta có: Khi đó:
Mặt khác do nên .
Bài tập 8: Cho hình lăng trụ . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và
a) Chứng minh .
b) Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Lời giải
a) Chứng minh .
Ta có:
b) Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Ta có suy ra .
Trong , gọi .
Suy ra là đường trung bình tam giác .
Mà là đường trung bình tam giác nên và .
Lại do và nên và .
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Bài tập 9: Cho hình chóp , trên cạnh lấy hai điểm sao cho . Gọi và là hai mặt phẳng lần lượt đi qua , đồng thời cùng song song với . Mặt phẳng cắt các cạnh , lần lượt tại ; mặt phẳng lần lượt cắt các cạnh lần lượt tại . Chứng minh và .
Lời giải
Áp dụng định lý Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song và hai cát tuyến ta được
Vì (do ) nên .
Chứng minh tương tự ta được .
Bài tập 10: Cho tứ diện . Lấy lần lượt là trọng tâm của các tam giác
a) Chứng minh rằng .
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng .
Lời giải
a) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .
Ta có suy ra
Mà nên suy ra .
b) Từ suy ra .
Ta có với qua .
Bài tập 11: Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng . Lấy là giao điểm của và . Tính .
Lời giải
a) Ta có , suy ra . Tương tự .
Khi đó .
b) Ta có nên với và .
Vì là trọng tâm của tam giác nên với là tâm hình bình hành .
Vì là hình bình hành nên . Suy ra . Do đó .
Khi đó (vì ) mà nên với và.
Do đó .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua một điểm có vô số mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước.
B. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
D. Qua một điểm tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước.
Lời giải
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Câu 2: Cho hai mặt phẳng song song và , là đường thẳng bất kì. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Nếu cắt mp thì cắt mp.
B. Nếu thì song song với mp.
C. Nếu thì song song với mp.
D. Nếu song song với mp thì song song với mp.
Lời giải
Nếu song song với mp thì song song với mp.
Câu 3: Cho một đường thẳng song song với mặt phẳng . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với .
A. . B. . C. . D. Vô số.
Lời giải
Có duy nhất một mặt phẳng chứa và song song với .
Câu 4: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong đều song song với .
B. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong đều song song với mọi đường thẳng nằm trong .
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt và thì và song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
Lời giải
Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong đều song song với .
Câu 5: Cho hai mặt phẳng song song và , đường thẳng . Có bao nhiêu vị trí tương đối của và ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Vì nên và chỉ có thể có 2 vị trí tương đối: hoặc nằm trên .
Câu 6: Cho các mệnh đề sau:
1) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
2) Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
3) Bất kì đường thẳng nào cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại.
Số mệnh đề sai là
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải
Mệnh đề Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. là một khẳng định sai vì chúng có thể cắt nhau.
Mệnh đề Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. là một mệnh đề sai vì hai mặt này có thể trùng nhau.
Mệnh đề Bất kì đường thẳng nào cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại. là một mệnh đề đúng.
Câu 7: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong dều song song với .
B. Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong .
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt và song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và phân biệt thì
D. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong .
Lời giải
Mệnh đề: Nếu hai mặt phẳng và song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong dều song song với .’là đúng.
Câu 8: Chọn khẳng định sai:
A. Hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
B. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng thì và song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng và (Q) song song nhau thì mặt phẳng đã cắt đều phải cắt và các giao tuyến của chúng song song nhau.
D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
Lời giải
Theo định lý 1 ( dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song): Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng thì song song với .
Câu 9: Đặc điểm nào sau đây là đúng với hình lăng trụ?
A. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
B. Đáy của hình lăng trụ là hình bình hành.
C. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên là hình bình hành.
D. Hình lăng trụ có tất cả các mặt là hình bình hành.
Lời giải
Hình lăng trụ là một đa diện có hai mặt đáy là các đa giác bằng nhau và những mặt bên là các hình bình hành.
Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm , gọi , lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì là đường trung bình của tam giác .
Ta có .
Tương tự .
Ta có
Câu 11: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận ?
A. và với là hai đường thẳng cắt nhau thuộc .
B. và với là hai đường thẳng phân biệt thuộc .
C. và với là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với .
D. và là mặt phẳng nào đó.
Lời giải
Ta có .
Câu 12: Cho hình tứ diện . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác và , lần lượt là trung điểm của các cạnh . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có nên và .
Khi đó suy ra .
Câu 13: Cho hình hộp cắt tại còn cắt tại . Khi đó sẽ song song mặt phẳng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Câu 14: Cho hình hộp có các cạnh bên . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. . B. .
C. là hình bình hành. D. là một tứ giác.
Lời giải
Ta có .
Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình thang và . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì lần lượt là trung điểm của và nên .
Do là trung điểm và nên .
Mà nên là hình bình hành nên .
Ta có:
Câu 16: Cho hình lăng trụ , gọi lần lượt là trọng tâm và . Mặt phẳng nào sau đây song song với ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm và .
Ta có suy ra và .
Khi đó suy ra hay .
Câu 17: Cho hình lăng trụ . Gọi là 3 điểm lần lượt nằm trên ba đoạn sao cho . Để thì bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi .
Ta có suy ra , do đó là đường thẳng qua và song song với cắt lần lượt tại .
Vậy chính là mặt phẳng .
Để thì cần suy ra mà .
Do đó ta có .
Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm và . Tam giác dều. Gọi là mặt phăng di động đi qua điểm trên đoạn , song song với . Đặt , cắt các cạnh lần lượt tại . Diện tích tam giác bằng
A. B. . C. D. .
Lời giải
Ta có suy ra .
Chứng minh tương tự ta được suy ra .
Lại do nên hay tam giác đều.
Ta có .
Vậy .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong mặt phẳng cho hình bình hành . Vẽ các nửa đường thẳng song song nhau, nằm về một phía đối với mặt phẳng và đi qua các điểm ,. Một mặt phẳng cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Mặt phẳng song song với mặt phẳng .
b)
c) Tứ giác là hình thang
d) Gọi và lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của và . Khi đó.
Lời giải
a) Đúng: Ta có và nên .
b) Đúng: Chứng minh là hình bình hành:
Ta có:
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
c) Sai: Từ và suy ra là hình bình hành.
d) Đúng: Ta có hay
Câu 2: Cho lăng trụ tam giác có lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là hình bình hành
b)
c) Mặt phẳng cắt
d) .
Lời giải
là đường trung bình của hình bình hành nên
a) Đúng: là hình bình hành
Vì theo thứ tự là trọng tâm các tam giác nên
mà nên là hình bình hành.
Suy ra .(1)
b) Sai: Gọi là trung điểm của tam giác có (tính chất trọng tâm)
Suy ra mà nên
c) Sai: Từ và suy ra .
Vì ta cần chứng minh .
Dễ thấy là hình bình hành nên mà nên
Ta có: là hình bình hành
Suy ra .(4)
d) Đúng: Từ và suy ra hay .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) .
c) và chéo nhau
d) cắt
Lời giải
a) Đúng: Vì là đường trung bình của nên mà

b) Đúng: Tương tự ta có:
Mặt khác:
Từ và suy ra .
c) Sai:
Khi đó:
Vì
Khi đó ta có:
Mặt khác ba điểm không thẳng hàng
d) Đúng: Từ suy ra .
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) .
c) Gọi là trung điểm đoạn và là một điểm thuộc đoạn . Khi đó cắt với mặt phẳng .
d) Gọi là một điểm trên mặt phẳng cách đều và . Khi đó cắt
Lời giải
a) Đúng: Vì là đường trung bình của tam giác nên
b) Đúng: Tương tự ta có theo thứ tự là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác
Từ và suy ra .
c) Sai: Ta có là đường trung bình của tam giác nên .
Do đó mà .
Ta có: .
d) Sai: Vì thuộc mặt phẳng và cách đều nên thuộc đường trung bình của hình bình hành (ứng với hai cạnh ).
Gọi là trung điểm thì thẳng hàng.
Ta có là đường trung bình của nên
Tương tự ta có
Từ suy ra mà nên .
Câu 5: Cho hình hộp . Gọi là trọng tâm của các tam giác . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là hình bình hành
b)
c) cùng thuộc
d)
Lời giải
a) Đúng: Vì là hình hộp nên là hình bình hành.
Suy ra
Tương tự ta có: là hình bình hành.
Suy ra
b) Đúng: Từ và suy ra .
c) Đúng: Gọi theo thứ tự là tâm của các hình bình hành , .
Vì là trọng tâm tam giác nên là trọng tâm tam giác nên suy ra
Tương tự, là trọng tâm tam giác nên
là trọng tâm tam giác suy ra
Từ và suy ra cùng thuộc .
Ta có: .
d) Sai: Do vậy .
Vậy cùng thuộc , đồng thời chia thành ba phần bằng nhau.
Câu 6: Cho hình bình hành và nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi là trọng tâm . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với mặt . Gọi là giao điểm của và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là hình thang
b)
c) .
d)
Lời giải
a) Sai: Cho hình bình hành và nằm ở hai mặt phẳng khác nhau
b) Đúng: Ta có là hình bình hành .
c) Đúng: Ta có
d) Sai: Tính .
Vẽ mặt phẳng chứa và cắt lần lượt tại .
Ta có: và
Mặt khác: (tứ giác là hình bình hành)
Ta có:
Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) chéo nhau với
b) .
c) Gọi và là trung điểm của và . Khi đó cắt
d) Gọi là trung điểm . Khi đó .
Lời giải
a) Sai: Ta có (đường trung bình tam giác ). Ta có (đường trung bình tam giác ).
b) Đúng: Ta có
c) Sai: Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh:
Ta có là hình thang .
Ta có
d) Đúng: Gọi là trung điểm . Chứng minh .
Ta có (đường trung bình của tam giác)
Ta có
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác thỏa mãn Mặt phẳng song song với cắt đoạn tại sao cho Gọi là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh Tính tỉ số (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Diện tích tam giác là
Gọi lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh
Vì // nên theoo định lí Talet ta có :
Câu 2: Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới và mâm tầng trên song song với nhau. Bác thợ mộc đo được ,và muốn đóng thêm mâm tầng giữa song song với hai mâm tầng trên, tầng dưới và . Tính độ dài đoạn thẳng
Lời giải
Áp dụng định lý Thales trong không gian, ta có
Vậy .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, các điểm , lần lượt thuộc các cạnh , sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác . Tìm để .
Lời giải
Gọi các giao điểm của với các cạnh hình chóp như hình vẽ.
Ta có nên lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, suy ra . Do đó .
Vậy với thì .
Câu 4: Cho hình bình hành . Qua , , , lần lượt vẽ các nửa đường thẳng , , , ở cùng phía so với mặt phẳng , song song với nhau và không nằm trong . Một mặt phẳng cắt , , , tương ứng tại , , , sao cho , , . Tính .
Lời giải
Do cắt mặt phẳng theo giao tuyến ; cắt mặt phẳng theo giao tuyến , mà hai mặt phẳng và song song nên .
Tương tự có nên là hình bình hành.
Gọi , lần lượt là tâm và . Dễ dàng có là đường trung bình của hai hình thang và nên .
Từ đó ta có .
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang, // và . Gọi là giao điểm của và . Lấy thuộc cạnh , thuộc cạnh sao cho . Gọi là mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng . Gọi là giao điểm của với . Tính tỉ số (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Vì nên đường thẳng // . Mà , nên song song với mặt phẳng .
Vì qua và song song với mặt phẳng nên .
Trong , gọi , trong , gọi . Suy ra là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
Hai mặt phẳng song song và bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là theo hai giao tuyến lần lượt là và nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là // .
Trong , cắt tại . Khi đó là giao điểm của với .
Trong hình thang , do // và nên .
Trong tam giác , có // nên .
Xét tam giác với cát tuyến , ta có: .
Suy ra: và ta lại có nên suy ra .
Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật có , , lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh , , , sao cho , , . Gọi là giao điểm của mặt phẳng với đường thẳng . Khi đó tỉ số bằng bao nhiêu?(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Lấy , lần lượt trên các cạnh và sao cho , .
Ta có:
Khi đó:
Vậy .
Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng cách kẻ song song
Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta sử dụng tính chất
■ Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Ta cần tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường thẳng . Khi đó giao điểm của đường thẳng và chính là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình chóp đáy là hình bình hành tâm . Mặt phẳng đi qua và song song với . Tìm giao tuyến của:
a) Mặt phẳng và mặt phẳng .
b) Mặt phẳng và mặt phẳng .
Lời giải
a) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng .
Ta có: với
b) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng .
Ta có: với
Bài tập 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là điểm bất kỳ trên . Gọi là măt phẳng qua và song song với . Tìm giao tuyến của với cắt mặt của hình chóp.
Lời giải
Ta có: với .
Mặt khác với .
Hơn nữa với .
Suy ra .
Bài tập 3: Cho hình hộp chữ nhật . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh ,. Xác định giao tuyến của và các mặt .
Lời giải
Ta có lần lượt là trung điểm các cạnh .
Khi đó: với .
Bài tập 4: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Biết mặt phẳng chứa và song song với đường thẳng . Tìm giao điểm của và mặt phẳng .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Ta có .
Trong mặt phẳng gọi . Ta có
Bài tập 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang có đáy lớn là. Gọi là một điểm trên và là mặt phẳng qua và song song với và . Tìm giao điểm của và .
Lời giải
Ta có và .
Gọi là giao điểm của và ta có .
Trong mặt phẳng gọi là giao điểm của và .
Ta có .
Bài tập 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .
a) Chứng minh .
b) Tìm giao điểm của với .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
a) có là đường trung bình nên và
Ta có:
b) Trong dựng
Ta có
c) Gọi ta có .
Ta có:
Vậy là đường thẳng qua và song song với .
Gọi ta được .
Bài tập 7: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn là cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Xác định giao điểm của cạnh với .
b) Chứng minh cùng song song với .
c) Chứng minh và cắt nhau. Chứng minh giao điểm của và , giao điểm của và và điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có nên mà
Khi đó giao tuyến của và là đường thẳng qua , song song với , cắt tại là giao điểm của và .
b) Tam giác có là đường trung bình nên do đó .
Theo cách dựng điểm suy ra là trung điểm của .
Do đó là đường trung bình của tam giác suy ra . Suy ra .
c) Ta có (vì cùng song song với ).
Mặt khác ta có , nên là hình thang.
Vậy và có thể cắt nhau tại .
Theo cách dựng thì là một điểm chung của và . Tương tự, giao điểm của và cũng là điểm chung của và . Do đó và cùng thuộc giao tuyến của và . Vậy thẳng hàng.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
A. Nếu đường thẳng song song mặt phẳng thì trong có duy nhất một đường thẳng song song với d.
B. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng nằm trong .
C. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì trong tồn tại đường thẳng song song với .
D. Nếu đường thẳng song song mặt phẳng , đường thẳng bất kỳ nằm trong thì và chéo nhau.
Lời giải
Khẳng định đúng là Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì trong tồn tại đường thẳng song song với .
Câu 2: Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng nếu
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi không nằm trong , đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong .
Câu 3: Cho hình chóp , đáy là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song với nhau là đường thẳng đi qua 1 điểm chung của 2 mặt phẳng đó và song song với 2 đường thẳng song song trên.

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Hai mat phang song song lop 11