CÁC DẠNG TOÁN BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Dạng 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng
Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng và ta có thể thực hiện tính thông qua góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Bước 1: Sử dụng tính chất sau:
Bước 2: Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc.
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta cần nhớ các công thức sau:
■ Định lý hàm số cosin trong tam giác :
■ Tương tự ta có: và .
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và . Gọi , lần lượt là trung điểm và . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Dựng hình bình hành suy ra .
Khi đó .
Mặt khác .
Do đều nên là hình chữ nhật.
Khi đó mà .
Tam giác vuông tại có đường trung tuyến .
Ta có: .
Ví dụ 2: Cho hình chóp có và . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm và .
Khi đó . Khi đó ta có: .
Mặt khác vuông tại .
.
Suy ra .
Khi đó .
Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Gọi là trung điểm và là trung điểm . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Do . Ta có: .
Gọi là trung điểm của và là trung điểm .
Dễ thấy là hình bình hành và là đường trung bình trong tam giác .
Khi đó: nên ta có:.
Mặt khác: .
Do vậy
Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có , và .
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .
b) Gọi là trung điểm của . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
a) Do
vuông tại .
b) Gọi lần lượt là trung điểm của và thì là đường trung bình của tam giác . Khi đó , mặt khác .
Suy ra .
Ta có: ; .
Khi đó .
Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng tạo với đáy một góc . Tính cosin của góc giữa
a) và .
b) và với là chân đường cao hạ từ xuống mặt đáy .
Lời giải
a) Do đều cạnh .
Gọi là trung điểm của , do tam giác tại nên .
Mặt khác .
đều nên
Ta có: .
Do .
Suy ra .
Mặt khác .
Do vậy .
b) Gọi là trung điểm
Gọi là trung điểm . Lại có .
Do đó .
Suy ra .
Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và có và . Biết rằng tạo với đáy một góc . Tính cosin góc giữa:
a) và .
b) và với là trung điểm
Lời giải
a) Ta có: . Do .
Khi đó . Do .
Mặt khác .
b) Gọi là trung điểm ,.
Khi đó .
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu của điểm xuống mặt đáy trùng với trung điểm của . Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .
a) Tính tan góc tạo bởi và .
b) Cosin góc tạo bởi và .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm . Ta có: .
Mặt khác .
Khi đó: .
Xét tam giác vuông ta có . Vậy tan.
b) Do . Ta có:
.
Vậy .
Ví dụ 8: Cho tứ diện có vuông góc với mặt phẳng . Biết tam giác vuông tại và . Gọi là trung điểm của (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là trung điểm của khi đó: .
Suy ra . Ta có:
nên .
Vậy .
Ví dụ 9: Cho tứ diện có vuông góc với mặt phẳng . Biết tam giác vuông tại và . Gọi là trung điểm của (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là trung điểm
Vậy , ta có
Suy ra
Lại có vuông cân tại
Do đó .
Ví dụ 10: Cho tứ diện có , góc giữa và là và điểm trên sao cho . Mặt phẳng qua song song với và cắt lần lượt tại . Diện tích bằng
Lời giải
Do , theo định lý Talet ta có
Tương tự
Lại có ,
Khi đó .
Ví dụ 11: Cho tứ diện có vuông góc với , . là điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng qua song song với và . Diện tích thiết diện của với tứ diện là
Lời giải
Mặt phẳng qua song song với và cắt lần lượt tại .
Do , theo định lý Talet ta có
Tương tự
Lại có ,
Khi đó .
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ tam giác đều có và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
Lời giải
Gọi là điểm thuộc sao cho
Ta có là hình bình hành nên
Lại có vuông tại
Khi đó là tam giác đều.
Do đó .
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Mối quan hệ giữa quan hệ song song và vuông góc:
Ví dụ 13: Cho hình chóp có , . Chứng minh vuông góc với .
Lời giải
Vì , nên , suy ra , nên hai tam giác và là tam giác cân. Gọi là trung điểm , ta có nên . Vậy
Ví dụ 14: Cho hình hộp có sáu mặt đều là các hình vuông. Gọi , lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh: , .
b) Tính góc giữa và .
Lời giải
a) Chứng minh: , .
Ta thấy: là đường trung bình của
mà: nên
b) Tính góc giữa và .
Ta có: .
Nhận thấy: .
đều nên .
Ví dụ 15: Cho hình chóp có và . Chứng minh rằng , và .
Lời giải
Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại và cắt tại .
Ta cần chứng minh . Ta có .
Vì nên là tam giác đều nên và . Xét hai tam giác và , ta có
nên . Suy ra .
Từ và , suy ra tam giác cân tại có là trung tuyến nên cũng là đường cao.
Do đó . Vậy .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật có , . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Ta có: nên và gọi là giao điểm của và .
Ta có: .
Suy ra: . Vậy .
Câu 2: Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Gọi là góc giữa hai đường thẳng Tính .
Lời giải
Gọi là trung điểm khi đó ta có .
Do đó góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa đường thẳng .
Tức là .
Trong tam giác vuông có: suy ra .
Vậy .
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều có . Tính góc giữa hai đường thẳng và
Lời giải
Ta có do đó góc giữa và bằng góc giữa và bằng góc
Do là hình chóp tứ giác đều có nên là tam giác đều, do đó .
Vậy góc giữa và bằng .
Câu 4: Cho hình chóp có là hình chữ nhật. Biết , , và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
Lời giải
Góc giữa đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và .
Mặt khác: nên hay tam giác vuông tại .
.
Suy ra góc nên góc giữa đường thẳng và bằng .
Câu 5: Cho hình lập phương . Tính góc giữa hai đường thẳng
a) và b) và .
Lời giải
Theo tính chất hình lập phương ta có: .
Do đó góc giữa hai đường thẳng và là: góc giữa hai đường thẳng và .
Mà tam giác là tam giác đều nên:
b) và .
Do nên góc giữa và bằng góc giữa và .
Do là hình lập phương nên tam giác là tam giác đều.
Suy ra .
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Cho là hình vuông cạnh . Gọi lần lượt là trọng tâm và . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Trong ta có: .
Vì là hình vuông nên .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và .
Vì vuông tại nên góc giữa hai đường thẳng và là .
Suy ra .
Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật , , và . Gọi là trung điểm . Tính với góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là trung điểm của , khi đó nên .
Ta có , .
Tam giác vuông tại nên ta có .
Câu 8: Hình chóp có đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa và .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Khi đó .
Ta có
Tam giác là tam giác đều nên .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Do nên góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và .
Xét tam giác ta có , , thỏa mãn nên tam giác vuông tại . Vậy góc hay góc giữa hai đường thẳng và bằng .
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng , cạnh bên có độ dài Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và khi đó là trung điểm của hai đường trên, gọi là trung điểm của
Ta có nên .
Ta có ; ; .
Do đó nên tam giác đều, suy ra .
Vậy
Câu 11: Cho tứ diện có ( lần lượt là trung điểm của và ). Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Khi đó song song với và song song với .
Khi đó .
Ta có .
Vậy .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có nên .
Vì là hình vuông nên .
Câu 2: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có là đường trung bình của nên .
Vì và nên (Do đều).
Câu 3: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy là tam giác đều. Do nên .
Câu 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều có . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Vì nên góc giữa và bằng góc giữa và và bằng góc
Với thì
Câu 5: Cho hình lập phương Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Câu 6: Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có , do đó góc giữa , bằng góc .
Do là các đường chéo hình vuông nên bằng nhau. Vậy đều,
Vậy góc bằng .
Câu 7: Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Vì nên
Câu 8: Cho hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh đều bằng . Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì .
Tam giác đều cạnh . Vậy .
Câu 9: Cho lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình vẽ)
Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có tam giác là tam giác đều suy ra .
Lại có .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
Câu 10: Cho hình lập phương . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Chọn C
Ta có (tính chất đường chéo hình vuông), (tính chất hình lập phương).
Suy ra . Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .
Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh bằng và cạnh bên bằng . Góc giữa đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Khi đó vuông tại C nên .
Vậy góc giữa đường thẳng và bằng .
Câu 12: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là tâm của hình thoi .
Suy ra là đường trung bình trong tam giác .
Vì .
Xét tam giác có đều.
Vậy .
Câu 13: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính góc tạo bởi đường thẳng và đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Xét có nên là tam giác đều.
Ta có .
Câu 14: Cho tứ diện đều . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm của .
Ta có lần lượt là đường trung bình của tam giác .
Do đó:,
, .
, .
Suy ra là tứ diện đều nên tam giác là tam giác đều nên .
Câu 15: Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: (do là hình vuông).
Câu 16: Cho tứ diện với đáy là tam giác vuông cân tại . Các điểm lần lượt là trung điểm của ,. Góc giữa và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Do song song và song song nên góc giữa và bằng góc giữa và và bằng góc ( do tam giác vuông cân tại ).
Câu 17: Cho hình chóp có độ dài các cạnh và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi lần lượt là trung điểm của .
Mặt khác, ta có .
Ta có ; .
Xét tam giác có .
Xét tam giác có .
.
Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , , góc giữa hai đường thẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: ; .
đều.
Suy ra .
Câu 19: Cho hình hộp chữ nhật . Biết , . Tính góc giữa và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì là chữ nhật nên .
Ta có .
Khi đó:
Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, , và vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ bên).
Góc giữa hai đường thẳng và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì nên nên ( nhọn vì vuông tại ).
là hình vuông có đường chéo
Tam giác vuông có , nên tam giác này vuông cân tại .
Vậy .
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Gọi là tâm của hình vuông
Ta có là chóp đều Mà nên
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng
Câu 22: Cho hình lập phương , gọi lần lượt là trung điểm của và (tham khảo hình bên dưới).
Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm của . Khi đó,.
Ta có vuông cân tại . Suy ra
Câu 23: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm cạnh và là trung điểm của . Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng và . Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm và là trung điểm .
Dễ thấy (vì là đường trung bình của tam giác )
(vì là đường trung bình của tam giác )
Nên suy ra .
Ta có ;
;
.
Khi đó
Mặt khác: .
Ta có: .
Vậy .
Câu 24: Cho hình chóp có đáy hình vuông, tam giác vuông tại và . Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt .
Ta có nên tam giác cân tại .
Gọi là hình chiếu của lên , do và nên hay là trung điểm của .
Gọi là trung điểm của , khi đó và .
Khi đó
.
Ta có:.
Câu 25: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Biết vuông góc với đáy và . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Do
Ta có , suy ra .
Câu 26: Cho tứ diện có . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Xác định độ dài đoạn thẳng để góc giữa hai đường thẳng và bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm của cạnh thì ta có và , . Do đó tam giác cân tại . Khi đó , suy ra
Xét tam giác có , do đó .
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , cạnh bên , là trung điểm (minh họa như hình dưới). Cosin góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm , ta có nên .
Ta có: và
;
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ta có:
Vậy
Câu 28: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . Tam giác vuông cân tại và . Gọi là trung điểm cạnh , là góc giữa đường thẳng và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt . Suy ra và .
Lại có . Suy ra tam giác đều nên .
Suy ra (Với là trung điểm của ) hay song song với .
Khi đó . Áp dụng định lí cosin vào tam giác ta có:
.
Câu 29: Cho tứ diện có . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Xác định độ dài đoạn thẳng để góc giữa hai đường thẳng và bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm của . Khi đó lần lượt là đường trung bình của nên và .
Vì nên
Mặt khác: cân tại và có góc ở đáy nên góc ở đỉnh bằng .
Áp dụng định lý Cosin cho , ta có:
Câu 30: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, Gọi là trung điểm của Góc giữa và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Xét tam giác vuông tại có: .
Gọi là trung điểm của , ta có:
Khi đó: .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Hai duong thang vuong goc lop 11