CÁC DẠNG TOÁN BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Dạng 1: Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Ta sẽ sử dụng một trong các cách sau:
■ Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (Đường trung bình, Định lí Ta-lét đảo,.)
■ Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
■ Áp dụng định lí về giao tuyến song song.
■ Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của . Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) và
b) và
c) và .
Lời giải
a) Trong mặt phẳng ta có là đường trung bình của tam giác
b) Trong mặt phẳng ta có cắt tại điểm .
c) Giả sử và cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng nằm trong suy ra chứa điểm . Tương tự ta cũng có nằm trong suy ra chứa điểm . Suy ra chứa cả bốn đỉnh của tứ diện (vô lý)
Vậy hai đường thẳng và không nằm trong cùng bất kỳ mặt phẳng nào suy ra chéo với .
Bài tập 2: Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Quan sát bốn đường thẳng . Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau, các cặp đường thẳng song song.
b) Trong ba đường thẳng có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?
Lời giải
a) Các cặp đường thẳng cắt nhau là và và và và . Các cặp đường thẳng song song là và và .
b) Các đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng nên trong ba đường thẳng đó không có hai đường thẳng nào chéo nhau.
Bài tập 3: Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Lời giải
Ta có hai mép ngoài của cánh cửa sổ là và , hai cạnh bản lề của cánh cửa là và
Với 4 đường thẳng phân biệt ta luôn có
Điều này chứng tỏ hai mép ngoài của hai cánh cửa sổ hình chữ nhật luôn song song với nhau.
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang thì có một vị trí của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau, đó là khi mặt phẳng chứa mỗi cánh cửa trùng với mặt phẳng khung cửa sổ.
Bài tập 4: Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng . Lấy các điểm lần lượt thuộc các đoạn thẳng sao cho . Chứng minh rằng song song với .
Lời giải
Ta có là đường trung bình của tam giác nên .
Xét tam giác có . Theo định lí Ta-lét đảo ta có .
Từ và suy ra .
Bài tập 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung diểm của các cạnh và là một điểm nằm trên cạnh ( khác và . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Chứng minh rằng đường thẳng song song với đường thẳng .
Lời giải
Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến .
Trong tam giác ta có là đường trung bình nên do đó theo định lí ta suy ra ba đường thẳng đôi một song song.
Vậy đường thẳng song song với đường thẳng .
Bài tập 6: Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như hình bên. Giải thích tại sao đường mép nước song song với cạnh của bể nước.

Lời giải
Ta có ba mặt phẳng lần lượt là cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt .
Mặt khác: nên .
Bài tập 7: Cho hình chóp có đáy làhình thang . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng tứ giác là hình thang.
Lời giải
Ta có . Vậy tứ giác là hình thang.
Bài tập 8: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên . Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Ta có: và ; và .
và và là hình bình hành.
Bài tập 9: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Gọi là trung điểm của , ta có: .
Do đó: (tính chất trọng tâm tam giác) (định lý Ta-lét đảo).
Bài tập 10: Cho tứ diện . Gọi là một điểm bất kì trên cạnh , là mặt phẳng qua và song song với và cắt các cạnh lần lượt tại . Chứng minh rằng là hình bình hành.
Lời giải
Ta có // . Tương tự ta có .
Lại có . Tương tự ta có .
Từ và suy ra là hình bình hành.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Lời giải
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Lời giải
A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Lời giải
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Lời giải
A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Lấy thuộc và thuộc . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng và ?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.
Lời giải
Theo giả thiết, và chéo nhau và không đồng phẳng.
Giả sử và đồng phẳng.
Nếu . Mà và không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm .
Nếu và đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó và chéo nhau.
Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt có ; ; . Khi đó ba đường thẳng :
A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song.
C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy.
Lời giải
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , biết , và chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng và :
A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau.
Lời giải
Giả sử (mâu thuẫn với giả thiết).
Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt trong đó . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu thì .
B. Nếu cắt thì cắt .
C. Nếu và thì ba đường thẳng cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua và .
Lời giải
Nếu cắt thì cắt hoặc chéo .
Câu 9: Trong không gian, cho 3 đường thẳng chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.
Lời giải
Gọi là điểm bất kì nằm trên .
Giả sử là đường thẳng qua cắt cả và . Khi đó, là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi và với mặt phẳng tạo bởi và .
Với mỗi điểm ta được một đường thẳng .
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng .
Câu 10: Cho tứ diện Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. song song với B. song song với
C. chéo D. cắt
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
lần lượt là trọng tâm các tam giác và
Từ và suy ra
Câu 11: Cho hình chóp có không song song với Gọi lần lượt là trung điểm Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A. và B. và C. và D. và
Lời giải
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Từ suy ra:
Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có (tính chất đường trung bình trong tam giác ) và (tính chất đường trung bình trong tam giác ).
Mà (đáy là hình bình hành)
Câu 13: Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó
A. đồng quy. B. tạo thành tam giác.
C. trùng nhau. D. cùng song song với một mặt phẳng.
Lời giải
Đặt
Ta thấy, ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giáo tuyến phân biệt và ba giao tuyến đôi một cắt nhau nên chúng đồng quy tại .
Câu 14: Cho tứ diện , gọi và lần lượt là trung điểm các cạnh và . Gọi là trọng tâm tam giác . Đường thẳng cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Do và cùng nằm trong mặt phẳng nên hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 15: Cho hình hộp . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. và chéo nhau. B. và chéo nhau.
C. song song với . D. cắt .
Lời giải
Do và không cùng nằm trong một mặt phẳng nên hai đường thẳng này chéo nhau.
Câu 16: Cho tứ diện , gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và . Đường thẳng song song với đường nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
lần lượt là trọng tâm các tam giác và
Từ và suy ra:
Câu 17: Cho tứ diện . Gọi là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng ; là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng . Xác định vị trí tương đối của và .
A. cắt . B. . C. . D. chéo nhau.
Lời giải
Xét mặt phẳng Ta có: thuộc thuộc mặt phẳng
Mặt khác:
Mà không đồng phẳng và chéo nhau.
Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Đường thẳng song song với đường thẳng nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dễ dàng thấy được: là đường trung bình của tam giác .
Câu 19: Trong mặt phẳng , cho hình bình hành . Vẽ các tia song song với nhau, nằm cùng phía với mặt phẳng , đồng thời không nằm trong mặt phẳng . Một mặt phẳng đi qua , cắt tương ứng tại sao cho , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: là hình bình hành. và là đường trung bình của tam giác .
là hình thang có là đường trung bình .
Vậy .
Câu 20: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. . B. cắt .
C. cắt . D. và chéo nhau.
Lời giải
Ta có: mà .
Câu 21: Cho tứ diện . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Mệnh đề nào sau đây đúng
A. Tứ giác là một hình thang.
B. Tứ giác là hình bình hành.
C. Bốn điểm không đồng phẳng.
D. Tứ giác không có các cặp cạnh đối nào song song.
Lời giải
Xét tam giác có :
Xét tam giác có : là đường trung bình của tam giác
Vậy là hình thang.
Câu 22: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Lấy thuộc và thuộc . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng và ?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.
C. Song song nhau. D. Chéo nhau.
Lời giải
Theo giả thiết, và chéo nhau và không đồng phẳng.
Giả sử và đồng phẳng.
Nếu . Mà và không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm .
Nếu và đồng phẳng.
Vậy điều giả sử là sai. Do đó và chéo nhau.
Câu 23: Cho tứ diện với lần lượt là trung điểm của . Tìm điều kiện để là hình thoi.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét tam giác có:
Xét tam giác có:
Chứng minh tương tự, ta có: . Vậy là hình bình hành
Để là hình thoi .
Câu 24: Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do và không đồng phẳng nên và không song song nhau.
Câu 25: Cho tứ diện . Các điểm lần lượt là trung điểm . Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác . Đường thẳng chéo với đưởng thẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do . Xét tam giác có:
Ta lại có: nên và chéo nhau.
Câu 26: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. song sonng với . B. chéo với .
C. cắt với . D. trùng với .
Lời giải
Ta có:
Tương tự: . Vậy .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho biết tính đúng sai của mỗi phát biểu sau (xét trong không gian):
a) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau.
b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo nhau.
c) Hai đường thẳng có điểm chung thì chúng cắt nhau.
d) Hai đường thẳng không thể cùng nằm trên một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
Lời giải
a), b) Sai: hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể là chúng chéo nhau hoặc song song với nhau.
c) Sai: hai đường có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
d) Đúng: Hai đường thẳng không thể cùng nằm trên một mặt phẳng thì chúng chéo nhau theo tính chất cơ bản.
Câu 2: Trong không gian cho ba đường thẳng và phân biệt. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
b) Nếu hai đường thẳng cùng chéo nhau với đường thẳng thứ ba thì chúng chéo nhau.
c) Nếu đường thẳng song song với đường thẳng , đường thẳng và đường thẳng chéo nhau thì đường thẳng và đường thẳng chéo nhau hoặc cắt nhau.
d) Nếu đường thẳng cắt , hai đường thẳng và chéo nhau thì và chéo nhau hoặc song song với nhau.
Lời giải
a) Đúng: Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
b) Sai:Vì nếu hai đường chéo nhau và hai đường chéo nhau thì đường thẳng và đường thẳng có đến ba khả năng: chéo nhau, song song hoặc cắt nhau.
c) Đúng: Nếu đường thẳng song song với đường thẳng , đường thẳng và đường thẳng chéo nhau thì đường thẳng và đường thẳng chéo nhau hoặc cắt nhau.
d) Sai: vì đường thẳng có thể cắt cả hai đường chéo nhau là và , tức là đường thẳng có thể cắt đường thẳng .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) song song
b) cắt
c) song song .
d) chéo nhau .
Lời giải
a) Đúng: Ta có và cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nên song song với (hai cạnh đối của hình bình hành thì song song với nhau).
b) Đúng: Hai đường thẳng và cắt nhau tại .
c) Sai: Hai đường thẳng và không đồng phẳng, vì vậy và là hai đường thẳng chéo nhau.
d) Đúng: chéo nhau .
Câu 4: Cho tứ diện có theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , . Gọi là mặt phẳng qua và cắt các cạnh lần lượt tại hai điểm . Khi đó:
a)
b) cắt
c) là một hình thang.
d) Để là hình bình hành thì là trung điểm của đoạn .
Lời giải
a) Đúng: Ta có là đường trung bình của tam giác nên .
b) Sai: Khi đó: nên song song với
c) Đúng: Khi đó: vì vậy là một hình thang.
d) Đúng: Theo câu a) ta có: vì vậy là hình bình hành khi và chỉ khi .
Khi đó .
Suy ra là đường trung bình của tam giác hay là trung điểm của đoạn .
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Gọi lần lượt là trung điểm của . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai đường thẳng và song song với nhau.
b) Hai đường thẳng và chéo nhau với nhau.
c) Hai đường thẳng và chéo nhau với nhau.
d) Tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
a) Đúng: Ta có .
b) Sai: Tương tự và
Từ và suy ra
c) Đúng: Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có nên
d) Sai: Tứ giác có nên là hình bình hành.
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai đường thẳng và song song với nhau
b) Điểm nằm trên đường thẳng
c) Hai đường thẳng và chéo nhau
d) Hai đường thẳng và song song với nhau
Lời giải
a) Đúng: Ta có nên
b) Đúng: và
c) Sai: Tương tự nên
d) Đúng: và suy ra .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, và cắt nhau tại . Gọi là trung điểm của . Mặt phẳng cắt lần lượt tại và . Cho khi đó hãy tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
Trong mặt phẳng ta kéo dài cắt tại ; trong mặt phẳng ta kéo dài cắt tại .
Từ kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .
Tam giác có là trung điểm và nên là đường trung bình của
Suy ra là trung diểm hay .
Tương tự: là đường trung bình của tam giác nên là trung điểm của
Suy ra .
Từ đó ta được nên .
Chứng minh tương tự ta cũng được: .
Áp dụng định lý Talet trong tam giác ta được và .
Câu 2: Cho tứ diện và ba điểm lần lượt lấy trên ba cạnh Cho // và Gọi giao điểm của và là Khi đó Tìm giá trị của .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và Nối với cắt tại
Ta có mà suy ra
Vì song song với suy ra
Lại có nên .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung điểm của , và là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng cắt tại điểm . Tính
Lời giải
Trong mặt phẳng gọi .
Trong mặt phẳng gọi .
Ta có: .
Gọi , lần lượt là trung điểm của và .
Ta có ,, thẳng hàng
Xét có .
Lại có nên . Vậy .
Câu 4: Cho hình chóp . Bên trong tam giác ta lấy một điểm bất kỳ. Từ ta dựng các đường thẳng lần lượt song song với và cắt các mặt phẳng theo thứ tự tại . Khi đó tổng tỉ số bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi lần lượt là giao điểm của và , và , và .
Ta có
.
Từ đó .
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Gọi là giao điểm của và mặt phẳng . Khi đó tỉ số với là phân số tối giản và . Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Trong gọi .
Trong gọi .
Trong kẻ là đường trung bình của .
Trong kẻ nên từ và .
Mà và .
là trung điểm của và .
Xét có .
Từ và nên .
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là điểm trên sao cho . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Mặt phẳng chứa cắt các cạnh , lần lượt tại , . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Gọi là giao của và thì ta có là trung điểm của đoạn thẳng và .
Các đoạn thẳng ,, đồng quy tại .
Ta có:
.
Tương tự:
Ta có: .
Dạng 2: Xác định giao tuyến và thiết diện của hình chóp
Phương pháp xác định giao tuyến: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ngoài phương pháp “Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng”, ta còn có thể tìm bằng cách sau:
■ Bước 1: Chỉ ra rằng mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song và .
■ Bước 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
■ Bước 3: Khi đó .
Phương pháp xác định thiết diện:
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
■ Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và .
■ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng mà .
Khi đó giao tuyến của và là đường thẳng song song với .
b) Tìm thiết diện của mặt phẳng với hình ta tìm giao điểm của các cạnh của hình với mặt phẳng . Đa giác tạo bởi các giao điểm tìm được chính là thiết diện cần tìm.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình chóp có đáy là hình thang với . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
Hai mặt phẳng và có điểm chung là và lần lượt chứa hai đường thẳng và song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng đi qua và song song với và .
Bài tập 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
Hai mặt phẳng và có điểm chung và chứa hai đường thẳng song song là và . Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .
Bài tập 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
Hai mặt phẳng và có điểm chung và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song và , suy ra theo hệ quả của định lí 2 , giao tuyến của và là đường thẳng đi qua và song song với và .
Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Bài tập 4: Cho hình chóp có đáy là hình thang . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng và .
b) Gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Chứng minh rằng là đường trung bình của tam giác .
Lời giải
a) Ta có và và ta có
Vậy .
b) Theo đề bài, ta có là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng (MAB).
Suy ra và mà .
Suy ra hay .
Xét tam giác ta có .
Vậy là đường trung bình của tam giác .
Bài tập 5: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và là một điểm thuộc cạnh . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và và chứng minh giao tuyến đó song song với .
Lời giải
Trong gọi . Khi đó .
Trong gọi . Khi đó .
Từ và suy ra .
Xét tam giác , có lần lượt là trung điểm của và
Mặt khác: và
Vậy .
Bài tập 6: Cho tứ diện là điểm thuộc cạnh . Gọi là mặt phẳng qua song song với và . Tìm giao tuyến của với mặt phẳng .
Lời giải
Ta có .
Gọi mà .
Gọi . Vậy .
Bài tập 7: Cho hình chóp , đáy là hình bình hành có là giao điểm hai đường chéo; là trung điểm của .
a) Chứng minh đường thẳng song song với hai mặt phẳng và
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
a) Chứng minh đường thẳng song song với hai mặt phẳng và .
Xét tam giác , ta có lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình của tam giác mà và .
Vậy và .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Ta có và mà và .
Vậy .
Bài tập 8: Cho tứ diện . Điểm tùy ý trên cạnh . Mặt phẳng đi qua và song song với cạnh , . Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng .
Lời giải
Ta có nên giao tuyến của mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt tại .
Tương tự, giao tuyến của và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt tại .
Vì nên thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là tam giác .
Bài tập 9: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm là trung điểm cạnh . Mặt phẳng đi qua và song song với cạnh , . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Lời giải
Ta có nên giao tuyến của mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt tại .
Lại có nên giao tuyến của mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt và tại và .
Tương tự, giao tuyến của và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt tại .
Mặt khác nên giao tuyến của mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt tại .
Ta có nên thiết diện của hình chóp cắt bởi là ngũ giác .
Bài tập 10: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , .
a) Chứng minh .
b) Tìm giao điểm của với .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
d) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Lời giải
a) Tam giác có là đường trung bình nên và .
Ta có .
b) Trong dựng ta có .
c) Ta có .
Mặt khác nên giao tuyến của mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , song song với , cắt tại . Vậy .
d) Trong dựng , giao tuyến của với các mặt phẳng , , , , lần lượt là , , , , .
Vậy thiết diện của hình chóp với là ngũ giác .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho tứ diện và theo thứ tự là trung diểm của là trọng tâm tam giác . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng
A. Qua và song song với . B. Qua và song song với .
C. Qua và song song với . D. Qua và song song với .
Lời giải

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Hai duong thang song song lop 11