CÁC DẠNG TOÁN BÀI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh:
■ Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong .
■ Đường thẳng song song với đường thẳng mà vuông góc với .
Ví dụ 1: Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác cân có chung đáy . Điểm là trung điểm của cạnh .
a) Chứng minh .
b) Gọi là đường cao trong tam giác . Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Do các tam giác và là hai tam giác cân nên tại và ta có: (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Do đó .
b) Do là đường cao trong tam giác nên .
Mặt khác .
Do đó .
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . Gọi và lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng và .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng và .
d) Gọi là giao điểm của với mặt phẳng . Chứng minh rằng tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Lời giải
a) Do .
Mặt khác ABCD là hình vuông nên . Khi đó .
Tương tự chứng minh trên ta có: .
b) Do . Mặt khác
Tương tự ta có: .
c) Do .
Hai tam giác vuông và bằng nhau có các đường cao tương ứng là và nên . Mặt khác tam giác cân tại đỉnh nên .
d) Do là hình vuông nên , mặt khác .
Do .
Ví dụ 3: Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc.
a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng trùng với trực tâm của tam giác .
b) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn.
Lời giải
a) Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng thì .
Ta có: .
Mặt khác
Tương tự chứng minh trên ta có:
Do đó là trực tâm của tam giác .
b) Gọi , do .
Xét vuông tại A có đường cao AE ta có: .
Lại có: (đpcm).
c) Đặt và . Ta có:
Khi đó
Tương tự chứng minh trên ta cũng có tam giác có 3 góc nhọn.
Ví dụ 4: Cho hình chóp có , các tam giác và là các tam giác nhọn. Gọi và lần lượt là trực tâm của các tam giác và . Chứng minh rằng:
a) đồng quy.
b) .
c) .
Lời giải
a) Giả sử tại . Ta có:
Mặt khác thẳng hàng do đó đồng quy tại điểm .
b) Do là trực tâm tam giác nên
Mặt khác .
Lại có: .
c) Do . Mặt khác .
Do đó .
Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm và có .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng và
Lời giải
a) Do cân tại có trung tuyến đồng thời là đường cao
Suy ra . Tương tự ta có: .
b) Do là hình thoi nên
Mặt khác
Do vậy .
Suy ra là đường trung bình trong tam giác nên
Mà .
Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác đều, là tam giác vuông cân đỉnh . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Tính các cạnh của tam giác , suy ra tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng .
c) Gọi là hình chiếu của lên . Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Ta có: đều cạnh nên nên tứ giác là hình chữ nhật
Suy ra .
là tam giác vuông cân đỉnh .
Do đó vuông tại .
b) Do cân tại nên và do .
Mặt khác .
Chứng minh tương tự ta có: .
c) Do
Mặt khác .
Do .
Ví dụ 7: Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , điểm và lần lượt là trung điểm của và . Trên đoạn và lần lượt lấy hai điểm sao cho , . Biết . Chứng minh .
Lời giải
Do điểm thuộc đường trung tuyến và là trọng tâm tam giác . Ta có: .
Mặt khác: .
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng , ta đi tìm mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho việc chứng minh dễ thực hiện.
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều . Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.
Lời giải
Gọi là trung điểm của
Tứ diện đều nên và là các tam giác đều
Do đó .
Chứng minh tương tự ta cũng có .
Ví dụ 9: Hình chóp có cạnh vuông góc với mặt phẳng và đáy là hình thang vuông tại và với .
a) Gọi là trung điểm của đoạn . Chứng minh và .
b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
Lời giải
a) Đặt .
Do .
Khi đó là hình vuông cạnh .
Do .
Mặt khác .
b) Do vuông tại .
Mặt khác nên vuông tại
Xét có trung tuyến vuông tại C .
Mặt khác vuông tại
Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy và .
a) Gọi là trung điểm của Chứng minh .
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh .
c) Gọi là điểm trên đoạn sao cho và là trung điểm của . Chứng minh rằng: và .
Lời giải
a) Do là tam giác đều và là trung điểm của nên .
Mặt khác .
b) Dễ thấy là hình vuông nên .
Mặt khác là đường trung bình trong tam giác nên suy ra .
Lại có: .
c) Ta có:
Suy ra .
Do đó .
Mặt khác . Suy ra .
Dạng 3: Thiết diện
Giả sử thiết diện là một phần của mặt phẳng và . Khi đó ta tìm mặt trung gian dễ thấy và và quy về thiết diện có yếu tố song song đã biết.
Ví dụ 11: Cho tứ diện có đều, gọi là đường cao của , là trung điểm của và , trên lấy điểm sao cho , mặt phẳng đi qua và vuông góc . Dựng và tính diện tích thiết diện của tứ diện tạo bởi .
Lời giải
Vì
Qua kẻ .
Tam giác đều , qua kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cắt lần lượt tại
Qua kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cắt lần lượt tại
Suy ra mặt phẳng cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác
Diện tích hình thang là .
Tam giác có: .
Tam giác có: .
Tam giác có: .
Vậy diện tích hình thang là:.
Ví dụ 12: Hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh , . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Xác định và tính diện tích thiết diện của với hình chóp.
Lời giải
Kẻ và
Ta có , qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại .
Suy ra mp cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác
Tam giác có Tam giác đều N là trung điểm của là trọng tâm tam giác .
Vậy diện tích tứ giác là .
Ví dụ 13: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , các cạnh bên đều bằng . Gọi là trung điểm của , là mặt phẳng qua và vuông góc với . Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Lời giải
Gọi là tâm của tam giác ABC .
Qua kẻ đường thẳng vuông góc với tại
Ta có , qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại cắt khối chóp theo thiết diện là tam giác cân
Ví dụ 14: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh có vuông góc với đáy, . Kẻ vuông góc với
a) Chứng minh .
b) Mặt phẳng qua vuông góc với cắt tại Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi và tính thiết diện đó.
Lời giải
a) Tam giác SAB vuông tại A, có .
Tam giác vuông tại có:
Suy ra .
b) Ta có mà
Suy ra .
Kẻ song song với BC cắt khối chóp đã cho theo thiết diện là tứ giác
Dễ thấy và là hình thang vuông.
Lại có .
Diện tích hình thang vuông AHMD là .
Ví dụ 15: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và Cạnh , , .
a) Chứng minh .
b) Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi . Tính diện tích thiết diện ấy.
c) Mặt phẳng đi qua trung điểm của và , , vuông góc với . Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng theo và .
Lời giải
a) Gọi là trung điểm của
Suy ra vuông tại mà .
Điều phải chứng minh.
b) Vì là hình vuông nên thiết diện cắt bởi mặt phẳng và hình chóp là tam giác .
Tam giác có (đvdt).
c) Dễ thấy và .
Qua lần lượt kẻ đường thẳng song song với và cắt tại suy ra là hình thang vuông.
Do đó, là thiết diện cắt bởi mặt phẳng và hình chóp
Tam giác vuông tại có: .
Vì ;
.
Vậy diện tích hình thang là .
Ví dụ 16: Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh tâm và . Gọi là điểm thuộc đoạn (). Mặt phẳng đi qua và vuông góc với Đặt . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình chóp
Lời giải
Vì là hình chóp đều nên ( là tâm của tam giác ).
Do đó mà suy ra .
Tương tự ta cũng có .
Qua kẻ với ;
Kẻ với .
Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác KIJ.
Diện tích tam giác là .
Trong tam giác ta có: .
Tương tự trong tam giác ta có:
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 17: Cho hình chóp có vuông cân tại , và , . Điểm , mặt phẳng đi qua vuông góc với
a) Dựng thiết diện được tạo bởi hình chóp với mặt phẳng .
b) Tính thiết diện của thiết diện theo và . Tìm để diện tích thiết diện lớn nhất.
Lời giải
Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại .
Vì kẻ song song với ().
Vì kẻ song song với ().
Suy ra mặt phẳng cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác
Dễ thấy là hình chữ nhật
.
.
Mà . Vậy .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Mặt phẳng đi qua trung điểm của và vuông góc với và cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng .
Lời giải
Vì và nên .
Ta có
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên , . Chứng minh rằng ?
Lời giải
Ta có .
Lại có suy ra .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy làsKO| hình vuông cạnh . Gọi là tâm của hình vuông . Biết và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có:
Ta lại có là hình vuông
Từ và .
Mà .
Câu 4: Cho tứ diện có . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh rằng
Lời giải
Gọi là trung điểm của
Vì và là tam giác đều nên
Ta có , lần lượt là trung điểm của , nên
Mặt khác
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và, và vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có hình chóp có đáy là hình vuông, nên .
Do và lần lượt là hai đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh huyền của hai tam giác vuông nói trên nên, từ đó suy ra .
Ta lại có:
Từ và suy ra: .
Câu 6: Cho hình chóp có tất cả cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và là hình vuông tâm . Chứng minh rằng ?
Lời giải
Theo giả thiết ta có: Cho hình chóp có tất cả cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau do đó: cân tại
Lại có là hình vuông là trung điểm của
vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của
Tương tự vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của
Từ và ta có:
Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm . Biết rằng , .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Chứng minh .
Từ giả thiết , suy ra là các tam giác cân tại đỉnh .
Ta có .
b) Gọi , lần lượt lả trung điểm của , . Chứng minh rằng .
Ta có .
Mà .
Mặt khác do là đường trung bình của .
Từ và suy ra .
Câu 8: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Chứng minh: .
Lời giải
Trước hết ta chứng minh . Do là hình vuông nên

Từ và ta suy ra: , mà nên
Mặt khác theo giả thiết ta có:
Từ và ta suy ra: , mà nên .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Biết cạnh bên . là mặt phẳng qua và vuông góc với . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Lời giải
Dựng hình chữ nhật thì , do
Kẻ vuông góc với tại và thì
Trong mp kẻ thì .
Suy ra chính là thiết diện cần tìm
vuông tại có và
Tam giác vuông tại có
Tam giác vuông tại có
Tam giác vuông tại có
Khi đó thiết diện có nên có .
Câu 10: Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh , tâm đường cao . Gọi là điểm thuộc đoạn . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Đặt . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình chóp
Lời giải
Dựng , qua dựng đường thẳng song song với cắt các cạnh lần lượt tại và .
Ta có:
Qua dựng đường thẳng song song với cắt các cạnh tại .
Thiết diện là hình thang
Lại có:
Do đó , diện tích thiết diện là:
.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho điểm và mặt phẳng có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ?
A. . B. Vô số. C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều . Gọi là trọng tâm của . Đường thẳng . Khi đó
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 3: Cho điểm và đường thẳng có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng ?
A. . B. Vô số. C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
Câu 4: Cho hình chóp có vuông góc với mặt đáy . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Câu 5: Cho tam giác có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng ?
A. . B. Vô số. C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
Câu 6: Cho hình bình hành tâm có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ?
A. . B. Vô số. C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 8: Cho hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng , trong đó . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu thì . B. Nếu thì .
C. Nếu thì . D. Nếu thì .
Lời giải
Chọn D
Theo định lý ta có: D sai vì đường thẳng có thể nằm trong mặt phẳng .
Câu 9: Cho hình chóp có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau và là hình vuông tâm . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Hình chóp có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau suy ra
Câu 10: Cho hình chóp tam giác có và . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm của , vì tam giác cân tại và tam giác cân tại nên suy ra .
Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông và vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Vì là hình vuông nên và nên .
Vậy .
Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm và . Khi đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Mặt khác: là hình thoi .
Suy ra:
Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình vuông và . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. B. C. . D.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Mặt khác:
Từ đó suy ra
Câu 14: Cho hình chóp có và đáy là hình bình hành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông,  vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: và .
Vậy .
Câu 17: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 18: Cho hình chóp có và là hình chiếu vuông góc của lên . Hãy chọn khẳng định đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình vuông. Từ kẻ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:.
Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình vuông. là hình chiếu vuông góc của lên . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:.
Câu 21: Cho hình chóp có và đáy là tam giác vuông tại Gọi lần lượt là trung điểm của ; . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. Tam giác vuông ở .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Mà (Vì là đường trung bình của ).
Suy ra: .
Câu 22: Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau. Kẻ vuông góc với mặt phẳng tại . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo đề bài ta có (1). Vậy B đúng.
Ta lại có (2). Từ (1) và (2) suy ra .
Giả sử mà suy ra thẳng hàng (vô lý)
Câu 23: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là đường cao của tam giác và tam giác Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Vì vuông góc với mặt phẳng
Mà nên suy ra
Tam giác có đường cao mà
Tương tự, ta chứng minh được . Do đó
Câu 24: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Câu 25: Cho hình chóp có vuông góc với mặt đáy, tứ giác là hình vuông. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:(do là hình vuông), .Suy rá
Câu 26: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng .
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
Lời giải
Chọn C
C có thể sai vì: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Đường thẳng vuông góc với có thể song song với nếu nó nằm trong cùng một mặt phẳng với đường thẳng .
Câu 27: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi , lần lượt là hình chiếu của lên , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Ta lại có
Suy ra (*) mà nên (**) nên C đúng.
Ta có và phân biệt; cắt nhau và từ (*) suy ra B sai.
Ta có và phân biệt; cắt nhau và từ (*) suy ra A sai.
Ta có và phân biệt; cắt nhau và từ (**) suy ra D sai.
Câu 28: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có tam giác đều cạnh nên .
Mặt khác tam giác có .
Suy ra tam giác vuông cân tại . Hay
Mà . Suy ra . Do đó A đúng.
Từ .
Tam giác đều mà là trung điểm của nên .
Từ và suy ra . Do đó B đúng.

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Duong thang vuong goc voi mat phang lop 11