CÁC DẠNG TOÁN BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng và thường được tìm như sau:
■ Tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc và , đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng nào đó; giao điểm là điểm chung của và .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm thuộc cạnh . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:
a) và b) và
c) và d) và
Lời giải
a) Gọi
Lại có .
b) .
Và .
c) Trong gọi
Và
d) Trong gọi ta có .
Bài tập 2: Cho tứ diện . là trọng tâm tam giác . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
Ta có: là điểm chung thứ nhất của và
Mặt khác: là trọng tâm tam giác , là trung điểm nên nên là điểm chung thứ hai của và .
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là .
Bài tập 3: Cho hình chóp . Gọi là trung điểm của , là điểm trên và không trùng trung điểm . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
Ta có: là điểm chung thứ nhất của và
Hai đường thẳng và cắt nhau tại , còn không cắt , , nên là điểm chung thứ hai của và .
Vậy giao tuyến của và là .
Bài tập 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung điểm và . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lời giải
Ta có: là điểm chung thứ nhất của và .
Mặt kh là giao điểm của và nên do đó là điểm chung thứ hai của và .
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là .
Bài tập 5: Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và
Lời giải
là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng và
Vì lần lượt là trung điểm của nên suy ra là hai trung tuyến của tam giác Gọi
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng và Vậy
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó. B. Ba điểm mà nó đi qua.
C. Ba điểm không thẳng hàng. D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Lời giải
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng.
Câu 2: Trong các tính chất sau, tính chất nào không đúng?
A. Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
B. Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
C. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
D. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Lời giải
Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước là không đúng.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cheo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Lời giải
Đáp án C đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.
Câu 4: Cho hai đường thẳng và chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với
A. . B. Vô số. C. . D.
Lời giải
Trong không gian hai đường thẳng và chéo nhau, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua và song song với .
Câu 5: Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số cạnh là
A. cạnh. B. cạnh. C. cạnh. D. cạnh.
Lời giải
Hình chóp có số cạnh bên bằng số cạnh đáy nên số cạnh của hình chóp là:
Câu 6: Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là
A. mặt, cạnh. B. mặt, cạnh. C. mặt, cạnh. D. mặt, cạnh.
Lời giải
Hình chóp có đáy là ngũ giác có:
mặt gồm mặt bên và mặt đáy.
cạnh gồm cạnh bên và cạnh đáy.
Câu 7: Hình chóp có cạnh thì có bao nhiêu mặt?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hình chóp , có cạnh bên và cạnh đáy nên có cạnh.
Ta có: .
Vậy khi đó hình chóp có mặt bên và mặt đáy nên nó có mặt.
Câu 8: Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta thấy cùng thuộc mặt phẳng nên bốn điểm đồng phẳng.
Câu 9: [1H2-0.0-1] Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trong không gian, bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một hình tứ diện. Vì vậy xác định nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt.
Câu 10: Cho hình chóp với là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là
A. Đường thẳng . B. Đường thẳng . C. Đường thẳng . D. Đường thẳng .
Lời giải
Ta thấy .
Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Giao tuyến của và là
A. ( là trung điểm của ).
B. ( là tâm của hình bình hành ).
C. ( là trung điểm của ).
D. .
Lời giải
Gọi là tâm hbh .
Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn, . Gọi là giao điểm của và Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: suy ra .
Nên .
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác Giao tuyến của hai mặt phẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Câu 14: Cho hình chóp có đáy là hình thang. Gọi là trung điểm của . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là:
A. với là giao điểm của và . B. với là giao điểm của và .
C. với là giao điểm của và . D. với là giao điểm của và .
Lời giải
Giao tuyến của hai mặt phẳng và là với là giao điểm của và .
Câu 15: Cho hình chóp , biết cắt tại , cắt tại . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Lại có: . Khi đó .
Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Khẳng định nào sau đây sai?
A. . B. là hình thang.
C. . D. ( là tâm ).
Lời giải
Ta có: .
Câu 17: Cho hình chóp có , . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng và .
Vì nên .
Do đó là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng trên.
Vậy là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Câu 18: Cho tứ diện, là trung điểm của, là điểm trên mà , là điểm trên đoạn mà . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Khi đó giao tuyến của và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Lại có .
Từ và .
Câu 19: Cho bốn điểm không đồng phẳng. Gọi lần lượt là trung điểm hai đoạn thẳng và . là giao tuyến của cặp mặt phẳng nào sau đây ?
A. và . B. và . C. và . D. và .
Lời giải
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng và .
là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng và .
Vậy .
Câu 20: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm và . Gọi là trọng tâm tam giác . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng:
A. qua và song song với . B. Qua và song song với .
C. qua và song song với . D. qua và song song với .
Lời giải
Ta có là đường trung bình tam giác nên .
Ta có , hai mặt phẳng và lần lượt chứa và nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình thang Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hình chóp có 4 mặt bên.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là là giao điểm của và
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là là giao điểm của và
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường trung bình của
Lời giải
a) Đúng: Hình chóp có 4 mặt bên:
b) Đúng: là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng và
là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng và
c) Đúng: Tương tự, ta có
d) Sai: mà không phải là đường trung bình của hình thang
Câu 2: Cho hình chóp , biết cắt tại cắt tại trong mặt phẳng đáy. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
b) là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
c) là giao tuyến của hai mặt phẳng và , là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
d) Gọi khi đó, giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng .
Lời giải
a) Đúng: Ta có: .
Tương tự: . Vậy .
b) Đúng: Dễ thấy là điểm chung của hai mặt phẳng và , cũng là điểm chung của hai mặt phẳng và . Suy ra .
c) Sai: Tìm giao tuyến của và :
Dễ thấy là điểm chung của hai mặt phẳng và .
Ta có: . Vậy .
Tìm giao tuyến của và :
Dễ thấy là điểm chung của hai mặt phẳng và .
Ta có: . Vậy .
d) Đúng: Tìm giao tuyến của với :
Dễ thấy là điểm chung của hai mặt phẳng và .
Trong mặt phẳng , gọi .
Ta có: . Vậy .
Câu 3: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của , là một điểm trên cạnh là một điểm trên cạnh . Khi đó:
a) là giao tuyến của hai mặt phẳng .
b) là giao tuyến của hai mặt phẳng .
c) là giao tuyến của hai mặt phẳng .
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng song song với đường thẳng .
Lời giải
a) Đúng: Ta có: ; . Vậy .
b) Đúng: là giao tuyến của hai mặt phẳng .
c) Đúng: là giao tuyến của hai mặt phẳng .
d) Sai: Gọi (trong ) và (trong ).
Tương tự: .
Từ và suy ra . Khi đó cắt
Câu 4: Cho tứ diện . Gọi là điểm trên cạnh là điểm thuộc cạnh sao cho không song song với . Gọi là điểm nằm trong . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng cắt
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng cắt và
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng cắt và
Lời giải
a) Đúng:
b) Đúng: Trong gọi .
Ta có:
Lại có:
Từ và suy ra
c) Sai: Trong gọi
Ta có:
Lại có:
Từ và suy ra .
d) Sai: Trong gọi .
Trình bày tương tự như hai câu trên ta được
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Số điểm chung của hai mặt phẳng và là bao nhiêu?
Lời giải
Ta có lần lượt là trung điểm các cạnh . Nên là đường trung bình tam giác suy ra . Mặt khác:
Từ (1) và (2) suy ra với là đường thẳng qua và song song với các đường thẳng .
Vậy Số điểm chung của hai mặt phẳng và là vô số.
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trọng tâm . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và
Lời giải
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng và . Khi đó và đi qua và song song với .
Câu 3: Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi . Điểm M thuộc cạnh , tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng và
Lời giải
Ta có: .
Câu 4: Cho hình chóp , có đáy là hình thang, đáy lớn Gọi lần lượt là các điểm trên các cạnh Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng với mặt phẳng .
Lời giải
Ta có
Tương tự . Vậy
Câu 5: Trong mặt phẳng cho hình bình hành tâm , là một điểm không thuộc . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường thẳng cắt lần lượt tại . Nối cắt tại , nối cắt tại , nối cắt tại . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng với
Lời giải
Ta có .
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng .
Câu 6: Cho tứ diện có các cạnh bằng nhau và bằng . Gọi là trung điểm là điểm thuộc cạnh sao cho là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là giao điểm của với mặt phẳng . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng theo .
Lời giải
Trong mặt phẳng ta gọi , trong mặt phẳng ta gọi
Khi đó:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng ta có:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng ta có:
Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ta có:
Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta cần lưu ý một số trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu trong có sẵn một đường thẳng cắt tại , khi đó:
Trường hợp 2: Nếu trong chưa có sẵn cắt thì ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Chọn một mặt phẳng chứa
 Bước 2: Tìm giao tuyến
 Bước 3: Trong gọi thì chính là giao điểm của .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho tứ giác (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng . là điểm không nằm trên .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và và
b) Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
c) Gọi và lần lượt là trung điểm của và Chứng minh rằng bốn điểm đồng phẳng.
Lời giải
a) Giao tuyến của mặt phẳng và Gọi là giao điểm của hai đường chéo và
Ta có:
Từ suy ra là điểm chung thứ nhất của và
Từ suy ra là điểm chung thứ hai của và
Vậy .
Giao tuyến của và : Gọi là giao điểm của và Ta có:
Từ suy ra là điểm chung thứ nhất của và
Từ suy ra là điểm chung thứ hai của và
Vậy .
b) Trong , hai đường thẳng cắt nhau tại , ta có:
là giao điểm của và
Vậy là giao điểm cần tìm.
c) Chứng minh bốn điểm đồng phẳng:
Trong , gọi là giao điểm của và . Ta có là đường trung bình của tam giác nên . Xét tam giác , ta có:
là trung điểm của .
Tương tự, là đường trung bình của tam giác nên . Xét tam giác , ta có:
đi qua trung điểm của .
Như vậy, bốn điểm nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và nên chúng đồng phẳng.
Bài tập 2: Trong mặt phẳng , cho tứ giác Gọi là điểm không thuộc , là điểm nằm trong tam giác .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
b) Xác định giao điểm của và mặt phẳng
Lời giải
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
Gọi là giao điểm của và , gọi là giao điểm của và .
Rõ ràng . Ta có:
Mặt khác:
Từ và suy ra: .
b) Xác định giao điểm của và mặt phẳng Ta có:
Bài tập 3: Cho tứ diện . Trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm , sao cho không song song vói . Cho điểm nằm trong tam giác . Tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng và .
Lời giải
Trong mặt phẳng mà nên .
Trong mặt phẳng , mà nên .
Ta có: , mà nên .
Bài tập 4: Cho hình chóp có đáy là hình thang Gọi và là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh và .
a) Tìm giao điểm của với mặt phẳng
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng và .
Lời giải
a) Ta có .
Trong mặt phẳng : suy ra .
Trong mặt phẳng mà suy ra .
b) Trong mặt phẳng mà suy ra .
Khi đó: .
Trong mặt phẳng mà suy ra .
Bài tập 5: Cho hình chóp , đáy có và không song song với nhau. Lấy thuộc sao cho , thuộc và là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và
b) Tìm giao điểm của và
c) Tìm giao điểm của và
d) Tìm giao điểm của và
e) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng thẳng hàng.
Lời giải
a) là giao điểm của và nên là giao tuyến của và .
b) Trong kẻ giao với tại nên là giao điểm của và .
c) Trong : giao với tại nên là giao điểm của và .
d) Trong : giao với tại .
Trong : giao với tại nên là giao điểm của và .
e) là giao điểm của và . Dễ thấy 3 điểm đồng thời nằm trên hai mặt phẳng và nên 3 điểm này thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng trên hay 3 điểm đó thẳng hàng.
Bài tập 6: Cho hình chóp , có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn . Gọi là ba điểm lần lượt trên .
a) Tìm giao điểm của và .
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng với và .
Lời giải
a) Trong có giao tại .
Trong có giao tại là giao điểm của và .
b) Lấy là trung điểm của .
Dễ dàng chứng minh được và song song với nhau (song song và bằng ) nên là giao điểm của với mp.
Trong có cắt tại .
Trong có cắt tại là giao điểm của với mp.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, giao điểm của và là . Gọi là trung điểm của . Gọi là giao điểm của với mặt phẳng . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trong , gọi , mà .
Vậy là giao điểm của với mặt phẳng .
Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng qua và song song với , mặt phẳng cắt tại . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là tâm của hình bình hành , khi đó là một điểm chung của mặt phẳng và mặt phẳng .
Mặt khác song song với mặt phẳng nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua và song song với .
Trong mặt phẳng : song song với và cắt tại , suy ra là đường trung bình của tam giác nên là trung điểm của . Vậy .
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình thang có đáy lớn Gọi là trung điểm của Giao điểm củavới mặt phẳnglà:
A. Giao điểm của và B. Giao điểm của và
C. Giao điểm của và D. Giao điểm của và
Lời giải
Gọi là giao điểm cuả và . Khi đó:
Vậy
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trọng tâm của tam giác . là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là trung điểm của cạnh , là giao điểm của và . Tìm giao điểm của đường thẳng và .
A. Giao điểm của và B. Giao điểm của và
C. Giao điểm của và D. Giao điểm của và
Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Trong mặt phẳng gọi và trong mặt phẳng gọi.
Ta có: .
.
Từ (1) và (2) ta có .
Trong mặt phẳng gọi .
Khi đó.
Vậy là giao điểm của đường thẳng và .
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là các điểm trên các đoạn sao cho . Mặt phẳng cắt đoạn tại điểm . Khi đó tỉ số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của và tại . Ta kẻ
Hai tam giác
Theo định lí Talet ta có: ;
Suy ra
Chứng minh tương tự ta có:
Từ và ta được:
Từ giả thiết ta có: .
4 điểm cùng thuộc một mặt phẳng, nên ta có đẳng thức:
.
Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là điểm thuộc đoạn là trọng tâm . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm sao cho Tính tỉ số
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: .
Trong mặt phẳng kéo dài cắt tại điểm
Xét tam giác ta có: và là hai đường trung tuyến của tam giác .
Từ và ta suy ra là trọng tâm tam giác thẳng hàng.
Mặc khác: và là trung điểm
Câu 7: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm và là điểm trên cạnh sao cho Biết mặt phẳng cắt tại Tỉ số bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo định lý Menelaus ta có:
Câu 8: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm . là điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại N. Tỉ số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi suy ra .
Gọi . Xét tam giác có
Và
Xét tam giác có .
Câu 9: Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của đoạn Gọi là giao điểm của và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là tâm đường tròn tam giác .
B. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
C. là trực tâm tam giác .
D. là trọng tâm tam giác .
Lời giải
Mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến
Mà suy ra cắt tại điểm
Qua dựng với
Có là trung điểm của suy ra là trung điểm
Tam giác có và là trung điểm của
Suy ra, là trung điểm của
Từ suy ra mà là trung điểm của
Do đó, là trọng tâm của tam giác
Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại . Mặt phẳng cắt tại . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Ba điểm thẳng hàng. B. Ba điểm thẳng hàng.
C. . D. là trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải
Trong mặt phẳng , mà nên .
Vậy ba điểm thẳng hàng.
Trong mp , . Mà nên .
Vậy ba điểm thẳng hàng.
Ta có là trọng tâm nên . Mà có đường trung tuyến và nên là trọng tâm .
Vậy là trung điểm của do đó .
Vì là trọng tâm nên . Do đó không phải là trung điểm của đoạn thẳng
Ngoài ra, ta có thể lập luận giao tuyến của và là đường thẳng đi qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .
Do đó suy ra và là trung điểm của .
Câu 11: Cho tứ diện , là trọng tâm tam giác , là trung điểm , là điểm trên đoạn thẳng , cắt mặt phẳng tại . Khẳng định nào sau đây sai?
A. là trung điểm . B. .
C. . D. thẳng hàng.
Lời giải
Vì di chuyển trên nên cũng di chuyển trên
Ta có: là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng và .
Do
là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng và .
hay .
.
đồng phẳng thẳng hàng.
Câu 12: Cho bốn điểm không đồng phẳng. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trên đoạn lấy điểm sao cho Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là giao điểm của
A. và . B. và . C. và . D. và .
Lời giải
Ta có suy ra đồng phẳng
Gọi là giao điểm của và mà
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho tứ giác có và giao nhau tại và một điểm không thuộc mặt phẳng . Trên đoạn lấy một điểm không trùng với và ,. Khi đó:
a) là giao tuyến của hai mặt phẳng và
b) là giao tuyến của hai mặt phẳng và
c) Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là điểm
d) Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là điểm thuộc đường thẳng
Lời giải
a) Sai: là giao tuyến của hai mặt phẳng và
b) Đúng: là giao tuyến của hai mặt phẳng và
c) Đúng: Tìm giao điểm của và . Trong mặt phẳng gọi .
d) Sai: Tìm giao điểm của và . Xét mặt phẳng phụ chứa .
Dễ thấy là điểm chung của hai mặt phẳng và .
Ta có: do đó .
Trong mặt phẳng gọi .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Duong thang va mat phang trong khong gian lop 11