CÁC DẠNG TOÁN BÀI DÃY SỐ
Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số
Phương pháp: Một dãy số có thể cho bằng:
■ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng)
■ Công thức của số hạng tồng quát
■ Phương pháp mô tả
■ Phương pháp truy hồi
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số có số hạng tồng quát cho bởi:
a) b) c)
Lời giải
a)
b)
c)
Bài tập 2: Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau:
a) b) .
Lời giải
a) Thay lần lượt vào công thức của ta có:
b) Thay lần lượt vào công thức của ta có:
Bài tập 3: Cho dãy số với . Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đó.
Lời giải
Năm số hạng đầu tiên của dãy số là:
Bài tập 4: Thực hiện các yêu cầu của bài toán trong các trường hợp dưới đây:
a) Cho dãy số biết hãy tìm số hạng .
b) Cho dãy số được xác định như sau: hãy tìm số hạng .
c) Cho dãy số được xác định như sau: hãy tìm số hạng .
d) Cho dãy số được xác định như sau: hãy tìm số hạng .
Lời giải
a)  ;  ;  ;  ;  ;
 ;  ;
b) Từ giả thiết ta có:
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: .
c) Ta có:
.
d)


Bài tập 5: Gọi là là số chấm ở hàng thứ trong hình dưới đây. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số .
Lời giải
Số chấm ở hàng thứ nhất là:
Số chấm ở hàng thứ hai là:
Số chấm ở hàng thứ ba là:
Số chấm ở hàng thứ tư là:
Vậy số chấm ở hàng thứ n là:
Bài tập 6: Gọi là tổng diện tích các hình vuông có ở hàng thứ trong Hình (mỗi ô vuông nhỏ là 1 đơn vị diện tích).
a) Tính .
b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của dãy số .
Lời giải
a) .
b) Ta có: .
Do đó, dự đoán .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho dãy số  xác định bởi: . Xác định công thức của số hạng tổng quát.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Dự đoán . Ta dễ dàng chứng minh được công thức dự đoán bằng quy nạp
Câu 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán
Câu 3: Cho dãy số với .Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Theo công thức truy hồi ta có . Khi đó
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được
Câu 4: Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Cộng hai vế ta được .
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là và số hạng đầu tiên là nên .
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có 5 số hạng đầu là nên .
Câu 7: Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: Dễ dàng dự đoán được .
Thật vậy, ta chứng minh được bằng phương pháp quy nạp như sau:
Với . Vậy đúng với
Giả sử đúng với mọi , ta có: . Ta đi chứng minh cũng đúng với , tức là:
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ta có: . Vậy đúng với mọi .
Câu 8: Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B. không xác định. C. . D. với mọi .
Lời giải
Ta có: ,. Dễ dàng dự đoán được .
Câu 9: Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Cộng hai vế ta được
Câu 10: Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Cộng hai vế ta được
Câu 11: Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: Dễ dàng dự đoán được .
Câu 12: Cho dãy số với. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Cộng hai vế ta được .
Câu 13: Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Nhân hai vế ta được
Câu 14: Cho dãy số biết . Số là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
Lời giải
Ta có
Câu 15: Cho dãy số biết Số là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 6. B. 8. C. 9. D. 10.
Lời giải
Ta có
Câu 16: Cho dãy số biết Số là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6.
Lời giải
Ta có
Câu 17: Cho dãy số biết Số là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 5. B. 6. C. 8. D. 9.
Lời giải
Ta có
Câu 18: Cho dãy số với . Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có.
Lời giải
Ta có . Để nhận giá trị nguyên thì là số nguyên hay . Vậy dãy số chỉ có một số hạng nhận giá trị nguyên.
Câu 19: Cho dãy số với Tìm số hạng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Câu 20: Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Nhân hai vế ta được
Câu 21: Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Nhân hai vế ta được
Câu 22: Cho dãy số xác định bởi .
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ
Đặt . Khi đó
.
Câu 23: Cho dãy số với .Công thức tổng quát nào dưới đây là của dãy số đã cho?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Dự đoán được .
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
Với .Vậy đúng với .
Giả sử đúng với , tức là ta có: .
Ta đi chứng minh cũng đúng với ,tức là cần chứng minh: .
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ta có: .
Vậy đúng với mọi .
Câu 24: Cho hai cấp số cộng và Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu số có mặt trong cả hai dãy số trên.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dãy có số hạng tổng quát là .
Dãy có số hạng tổng quát là .
Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại thỏa mãn điều kiện:
Ta có
Từ suy ra , mặt khác nên ta được tập các giá trị của là
Xét với thì , thỏa điều kiện .
Do tập có số nên có tất cả số có mặt trong cả hai dãy đã cho.
Câu 25: Cho dãy số thỏa . Tính tổng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
, đặt
Ta có dãy là một cấp số nhân với , công bội là
. Vậy
Vậy
. Vậy .
Câu 26: Cho dãy số với Tìm số hạng .
A. B.
C. D.
Lời giải
Ta có
Câu 27: Cho dãy số xác định bởi Tìm số hạng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Câu 28: Cho dãy số xác định bởi Mệnh đề nào sau đây sai?
A. B. C. D.
Lời giải
Vì
Câu 29: Cho dãy số xác định bởi khi đó bằng:
A. 317. B. 157. C. 77. D. 112.
Lời giải
Ta có
Câu 30: Cho dãy số xác định bởi . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có
Câu 31: Cho dãy số xác định bởi . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A. B. C. . D.
Lời giải
Ta có
Câu 32: Cho dãy số xác định bởi . Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng
A. 0. B. 93. C. 9. D. 34.
Lời giải
Ta có
Câu 33: Cho dãy số xác định bởi . Khi đó có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo công thức truy hồi ta có.
Câu 34: Cho dãy số với . Tìm số hạng thứ 6 của dãy số.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có số hạng thứ 6 của dãy là .
Câu 35: Cho dãy số xác định bởi . Giá trị là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 36: Cho dãy số có . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 37: Cho dãy số được xác định bởi . Tìm số hạng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Cách 1: Ta có:
Cách 2:
Xét dãy số có
Khi đó ta có là cấp số nhân có công bội bằng
Vậy .
Câu 38: Cho dãy số , biết . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
; ;
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho dãy số , biết . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Năm số hạng đầu tiên của dãy số là
b) Số hạng lần lượt là
c) là số hạng thứ 86 của dãy số
d) là một số hạng của dãy số
Lời giải
a) Đúng: Ta có: .
b) Đúng: Ta có: .
c) Sai: Xét .
Vậy là số hạng thứ 85 của dãy .
d) Sai: Xét (loại).
Vậy không phải là số hạng của dãy số .
Câu 2: Cho dãy số , biết với . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Bố số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là
b) Số hạng thứ năm của dãy là
c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: .
d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
Lời giải
a) Đúng: Ta có: .
b) Sai:
c) Sai: Từ giả thiết, ta có: .
Cộng theo vế toàn bộ các đẵng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:
Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là: .
Xét .
d) Đúng: Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
Câu 3: Cho dãy số có số hạng tổng quát . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số hạng đầu tiên của dãy số là
b) Số hạng
c) Số hạng
d) Số là số hạng thứ 252 của dãy số
Lời giải
a) Đúng:
b) Đúng:
c) Đúng: Ta có: .
d) Sai: Xét .
Vậy là số hạng thứ 250 của dãy số .
Câu 4: Cho dãy số được xác định như sau: . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: .
b) Số hạng tổng quát của dãy là
c) Số hạng bằng
d) 512 là số hạng thứ 102 của dãy
Lời giải
a) Đúng: Năm số hạng đầu của dãy số là: .
b) Đúng: Ta có: .
Cộng theo vế toàn bộ đẳng thức trên rồi triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta được: .
c) Đúng: Số hạng thứ 50 của dãy số là: .
d) Sai: Xét .
Vậy số 512 là số hạng thứ 103 của dãy số .
Câu 5: Cho dãy số xác định bởi: . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số hạng thứ 2021 là
b) Số hạng thứ 2022 là
c) Số hạng thứ 2023 là
b) Số hạng thứ 2024 là
Lời giải
Với là số nguyên dương, ta có:
.
Khi đó:
.
Vậy , với mọi .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có:
a) Sai: Số hạng thứ 2021 là
b) Sai: Số hạng thứ 2022 là
c) Đúng: Số hạng thứ 2023 là
b) Đúng: Số hạng thứ 2024 là
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho dãy số có . Số là số hạng thứ mấy của dãy?
Lời giải
Giả sử , .
Suy ra .
Vậy số là số hạng thứ của dãy.
Câu 2: Cho dãy số có . Biết số hạng thứ và số hạng thứ lần lượt bằng và bằng . Tìm số hạng đầu tiên của dãy là
Lời giải
Vì và nên .
Do đó . Suy ra .
Câu 3: Cho dãy số với với . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?
Lời giải
Ta có .
Vì nên .
Vậy số là số hạng thứ của dãy số đã cho.
Câu 4: Cho dãy số xác định bởi . Tìm giá trị
Lời giải
Ta có:
, .
Do đó: .
Câu 5: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho .
Lời giải
Ta có
Ta lại có
Suy ra
Theo giả thiết ta có mà là số nguyên dương nhỏ nhất nên .
Câu 6: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con; mỗi đôi thỏ con, khi tròn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau một năm sẽ có tất cả bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm có một đôi thỏ sơ sinh? Giả sử thời gian trong năm này không có con thỏ nào chết.
Lời giải
Số đôi thỏ tạo thành dãy Fibonacci, gọi là số đôi thỏ tại tháng thứ ta có dãy số cho bởi công thức truy hồi sau
Số lượng đôi thỏ là
Vậy sau một năm có 144 đôi thỏ.
Dạng 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số
Phương pháp:
■ là dãy số tăng với mọi

■ là dãy số giảm với mọi
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau, biết:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
k) l) m)
Lời giải
a) Ta có:
Suy ra dãy số đã cho là dãy tăng.
b) Ta có:
Giả sử: vô lý.
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
c) Ta có:
là dãy số giảm.
d)
Khi đó ta có:
Giả sử:
vô lý.
Vậy là dãy số giảm.
e)
Suy ra . Vậy dãy số là dãy số giảm.
f)
Khi đó:
. Vậy dãy số là dãy số tăng.
g)
Khi đó: .
Vậy là dãy số giảm.
h)
Khi đó là dãy số tăng
i)
Với
là dãy số tăng.
k)
Do nên
là dãy số giảm.
l)
Khi đó:
Với
là dãy số tăng.
m) Ta có:
Khi tăng thì dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của dãy số biết:
a) b)
Lời giải
a) Ta có
Xét tỉ số
Vậy là dãy số tăng
b) Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm
Ta có
Do đó, để chứng minh dãy giảm ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với
Giả sử
Theo nguyên lí quy nạp ta có
Suy ra hay dãy giảm
Bài tập 3: Với giá trị nào của thì dãy số , với
a) là dãy số tăng. b) là dãy số giảm
Lời giải
Ta có: .
a) Để là dãy số tăng thì .
b) Để là dãy số giảm thì .
Bài tập 4 : Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo hình thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hảng là một tháng. Gọi (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng.
a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của .
Lời giải
a) Số tiền cả gốc và lãi chị Mai có được sau 1 tháng (khi chưa gửi thêm 6 triệu đồng) là: (triệu đồng).
Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là: 100,5 + 6 = 106,5 (triệu đồng).
b) Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
(triệu đồng).
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
(triệu đồng).
c) Ta có: ;
Cứ như thế, ta dự đoán được công thức của :

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Cho các dãy số sau. Dãy số nào không là dãy số tăng?
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Xét đáp án A ta có dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Câu 2: Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có
Câu 3: Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có .
Vậy
Câu 4: Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có
Vậy
Câu 5: Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có
Vậy
Câu 6: Cho dãy số biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn
Lời giải

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Day so lop 11