CÁC DẠNG TOÁN BÀI CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Dạng 1: Quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
■ Nếu và là hai biến cố độc lập thì.
■ Nếu thì và là hai biến cố không độc lập.
Ví dụ 1: Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:
“Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng;
“Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen.
a) Tính và .
b) So sánh và .
Lời giải
a) Ta có: Xác suất để bạn Long lấy được quả bóng màu trắng từ hộp I là .
Xác suất để bạn Hải lấy được quả bóng màu đen từ hộp II là .
Xác suất để cả hai bạn đều lấy được quả bóng như mô tả là xác suất để bạn Long lấy được quả bóng màu trắng và bạn Hải lấy được quả bóng màu đen là:
b). Vậy ta thấy 
Do đó, việc lấy hai quả bóng từ hai hộp là độc lập.
Ví dụ 2: Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống và . Xác suất để hai loại hạt giống và nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt và hạt là độc lập với nhau. Dựng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:
a) Hạt giống nảy mầm còn hạt giống không nảy mầm;
b) Hạt giống không nảy mầm còn hạt giống nảy mầm;
c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.
Lời giải
a) Xác suất để hạt giống nảy mầm còn hạt giống không nảy mầm là:
b) Xác suất để hạt giống không nảy mầm còn hạt giống nảy mầm là :
c) Xác suất để ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm là bù của xác suất để cả hai loại hạt giống đều không nảy mầm, tức là 
Ví dụ 3: Cho và là hai biến cố độc lập.
a) Biết và. Hãy tính xác suất các biến cố và .
b) Biết và. Hãy tính xác suất các biến cố và .
Lời giải
Vì hai biến cố và là hai biến cố độc lập nên và ; và ; và cũng độc lập.
a)
.
b)
Ví dụ 4: Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là và . Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau
a) “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
b) “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.
c) “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.
d) “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.
Lời giải
Gọi biến cố : “ Lần bắn thứ không trúng đích” với .
Biến cố : “ Lần bắn thứ trúng đích” với .
Ta có
a) Gọi biến cố : “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
Ta có và là hai biến cố độc lập.
b) Gọi biến cố : “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.
Ta có và là hai biến cố độc lập.
c) Gọi biến cố : “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.
Ta có và là hai biến cố độc lập.
d) Gọi biến cố : “Có ít nhất một lần bắn trúng đích ”.
biến cố : “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
Ví dụ 5: Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là . Nếu một người chơi ván thì xác suất để người này thắng ít nhất một ván là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi là biến cố Người ấy thắng ít nhất một ván khi chơi ván .
là biến cố Người ấy chơi ván mà không thắng ván nào cả.
Xác suất thua mỗi ván là
Ví dụ 6: Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó trong mỗi trường hợp sau.
a) Anh Bình tiếp xúc người bệnh lần đều không mang khẩu trang.
b) Anh Bình tiếp xúc người bệnh lần, trong đó có lần không mang khẩu trang và có lần mang khẩu trang.
Lời giải
a) Gọi biến cố : “Anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả lần đều không mang khẩu trang ”.
Biến cố : “Anh Bình không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả lần đều không mang khẩu trang ”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là .
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là
b) Gọi biến cố : “ Anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh lần, trong đó có lần không mang khẩu trang và có lần mang khẩu trang ”.
Biến cố : “ Anh Bình không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả lần, trong đó có lần không mang khẩu trang và có lần mang khẩu trang ”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không khẩu trang là
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là
Ví dụ 7: Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:
a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;
b) Hai viên bi được lấy có cung màu đỏ;
c) Hai viên bi được lá́y có cùng màu;
d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.
Lời giải
a) Xác suất để lấy được hai viên bi màu xanh từ hai túi là tích của hai xác suất đó:
Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh ( bi xanh từ túi I). ( bi xanh túi II)
b) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ:
Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ (bi đổ từ túi I). bi đỏ túi
c) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu.
Hai viên bi được lấy có cùng màu ( bi đỏ từ túi bi đỏ túi
d) Xác suất Hai viên bi được lấy không cùng màu.
Hai viên bi được lấy không cùng màu ( bi xanh từ túi bi đỏ túi II). bi đỏ từ túi ( bi đỏ túi II)
Ví dụ 8: Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.
Lời giải
Ta có
Xác suất lấy ra quả cầu không có số 1 hoặc số 5 từ túi đầu tiên:
Xác suất lấy được quả cầu không có số 1 hoặc số 5 từ túi thứ hai là:
Vậy xác suất để trong hai quà cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là:

Ví dụ 9: Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có học sinh tỉnh đạt yêu cầu; học sinh tỉnh đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh và một học sinh của tỉnh . Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:
a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;
b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;
c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cằu;
d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.
Lời giải
a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:
b)Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:
c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:
d) Xác suất để ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:
Ví dụ 10: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2024 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với bốn phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm; mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác suất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên.
Lời giải
Để được 4 điểm thì học sinh Hoa phải trả lời được 30 câu đúng, và 20 câu sai
Theo đó, xác suất trả lời đúng ở 1 câu là ; xác suất trả lời sai ở mỗi câu là
Vậy xác suất để học sinh Hoa được 4 điểm bằng .
Dạng 2: Bài toán kết hợp quy tăc cộng, quy tắc nhân tính xác suất
Ví dụ 11: Một lớp có đoàn viên trong đó có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại tháng. Tính xác suất để trong đoàn viên được chọn có cả nam và nữ.
Lời giải
Ta có .
Gọi biến cố “Chọn đoàn viên có cả nam và nữ.”
Có cách chọn nam, nữ
Có cách chọn nam, nữ
Suy ra
Do đó xác suất biến cố là: .
Ví dụ 12: Hai người cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người lần lượt là và . Tìm xác suất của biến cố : “ Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu ”.
Lời giải
Gọi là biến cố “ Người 1 bắn trúng mục tiêu ”.
Gọi là biến cố “ Người 2 bắn trúng mục tiêu ” ( là các biến cố độc lập). Từ giả thiết ta có
Mà
.
Ví dụ 13: Hộp thứ nhất chứa 3 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp thứ hai chưa 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Chuyển ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai ra. Tính xác suất để viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ.
Lời giải
Xảy ra hai trường hợp:
TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Xác suất để lấy ra 1 bi đỏ từ hộp thứ hai là: .
TH2: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu xanh và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 6 bi xanh. Xác suất để lấy ra 1 bi đỏ từ hộp thứ hai là: .
Vậy xác suất cần tìm là .
Ví dụ 14: Chọn ngẫu nhiên số trong tập hợp . Biết xác suất để số chọn ra thỏa mãn chia hết cho bằng với và là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Gọi là tập hợp các phần tử thuộc mà chia hết cho , có phần tử.
là tập hợp các phần tử thuộc mà chia cho dư hoặc dư , có phần tử.
là tập hợp các phần tử thuộc mà chia cho dư hoặc dư , có phần tử.
Ta có nhận xét
Với thì chia hết cho .
Với thì chia cho dư .
Với thì chia cho dư .
Số phần tử của không gian mẫu là .
Để chọn được số thỏa mãn bài toán, ta có hai trường hợp
Trường hợp 1: số được chọn đều thuộc , có cách chọn.
Trường hợp 2: số được chọn có mỗi số thuộc mỗi tập , có cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố là .
Xác suất của biến cố là . Suy ra .
Ví dụ 15: Bạn Nam có một hộp bi gồm viên bi màu đỏ và viên bi màu trắng. Bạn Định cũng có một hộp bi giống như của bạn Nam. Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên viên bi. Xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là
Lời giải
Ta có: .
Gọi là biến cố trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau. Khi đó, có các trường hợp xảy ra như sau:
TH1: Mỗi bạn chọn được 1 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu trắng. Khi đó số cách chọn có thể xảy ra là .
TH2: Mỗi bạn chọn được 2 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu trắng. Khi đó số cách chọn có thể xảy ra là .
Vậy . Do đó
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỌN ĐÁP ÁN
Câu 1: Một hộp đựng 7 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu màu đỏ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số cách chọn 4 quả cầu từ 10 quả cầu là .
Gọi là biến cố ‘‘trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu màu đỏ’’.
Số cách chọn ra 2 quả cầu màu đỏ là . Số cách chọn ra 2 quả cầu màu trắng là .
Suy ra .
Xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu màu đỏ là .
Câu 2: Trong một nhóm học sinh có nam và nữ, chọn ngẫu nhiên học sinh. Xác suất chọn học sinh gồm nam và nữ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn học sinh từ học sinh có cách.
Gọi là biến cố: “Chọn được học sinh gồm nam và nữ”
Số khả năng xảy ra biến cố là:
Vậy xác suất của biến cố là: .
Câu 3: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là và Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử ta có hai xạ thủ A,B.
Ta có: Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ A, B tương ứng là
Gọi biến cố D:”có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia”
:”Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia ”, khi đó
Suy ra = .
Câu 4: Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ 2. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ nhất màu trắng và viên bi thứ hai màu đen?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Gọi A là biến cố “Lần thứ nhất lấy được bi màu trắng”.
Gọi B là biến cố “Lần thứ hai lấy được bi màu đen”.
⇒ AB là biến cố “lần thứ nhất lấy được viên bi màu trắng và lần thứ hai lấy được viên bi màu đen”. Ta thấy 2 biến cố A và B độc lập với nhau.
Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: .
Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen là .
Áp dụng quy tắc nhân xác suất; xác suất cần tìm là:
. (dấu chấm)
Câu 5: Hai bệnh nhân và bị nhiễm khuẩn suy đa tạng. Biết rằng xác suất bị biến chứng nặng của bệnh nhân là 0,2 và của bệnh nhân là 0,9. Khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập. Xác suất của biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng” là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Vì khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập nên xác suất của biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng” là 0,2. 0,9 = 0,18.
Câu 6: Cho là hai biến cố độc lập. Biết và . Xác suất của biến cố là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Vì là biến cố đối của nên .
Do và là hai biến cố độc lập nên .
Câu 7: Một xạ thủ lần lượt bắn hai viên đạn vào một bia. Xác suất trúng đích của viên đạn thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,8 và 0,7. Biết rằng kết quả các lần bắn là độc lập với nhau. Xác suất của biến cố “Cả hai lần bắn đều không trúng đích” là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Xác suất bắn không trúng đích của viên đạn thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,3.
Vì các kết quả các lần bắn là độc lập với nhau nên xác suất suất của biến cố “Cả hai lần bắn đều không trúng đích” là 0,2. 0,3 = 0,06.
Câu 8: Cho và là 2 biến cố độc lập với nhau, Khi đó bằng
A. 0,58 B. 0,7 C. 0,1 D. 0,12
Lời giải.
Do và là 2 biến cố độc lập với nhau nên
Câu 9: Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn hai lần, biết xác suất sút vào cầu môn là . Tính xác suất để cầu thủ sút bóng hai lần đều không vào cầu môn?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xác suất để cầu thủ sút không vào cầu môn là
Vì hai lần sút độc lập nhau nên xác suất để cầu thủ sút bóng hai lần đều không vào cầu môn là
Câu 10: Có ba chiếc hộp: hộp I có 4 bi đỏ và 5 bi xanh, hộp II có 3 bi đỏ và 2 bi đen, hộp III có 5 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi lấy được màu đỏ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Lấy ngẫu nhiên một hộp.
Gọi là biến cố lấy được hộp I;
Gọi là biến cố lấy được hộp II;
Gọi là biến cố lấy được hộp III.
Suy ra .
Gọi là biến cố “lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi màu đỏ”.
Ta có:
.
Câu 11: Một nhà máy sản xuất được hai lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là và . Tính xác suất để trong hai sản phẩm được lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi các biến cố:“ Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất ’’và :“ Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai ’’.
Gọi biến cố :“ trong hai sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt ’’.
Ta có:
Vì và xung khắc đồng thời các cặp biến cố và độc lập nên ta có
.
Câu 12: Hai xạ thủ mỗi người một viên đạn bắn vào bia với xác suất bắn trúng của người thứ nhất là và của người thứ hai là . Tính xác suất để có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng đích.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi : “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia.” .
: “Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia.”.
Khi đó: : “Xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia.” .
: “Xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia.” .
Gọi biến cố :“ có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng đích ’’, suy ra
Vì độc lập nên ta có:
Câu 13: Một nhà máy sản xuất được 4 lô hàng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng 1 sản phẩm, biết xác suất để sản phẩm rút ra từ mỗi lô hàng là sản phẩm xấu lần lượt là . Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm tốt.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Gọi là biến cố “lấy 1 sản phẩm xấu ở lô hàng thứ ” với .
Khi đó: .
Gọi là biến cố “trong 4 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm tốt”, suy ra là biến cố “trong 4 sản phẩm lấy ra không có sản phẩm tốt nào”.
Vì là các biến cố độc lập nên
.
Suy ra .
Câu 14: Có chiếc hộp, mỗi hộp đựng viên bi xanh và viên bi đỏ. Lẫy ngẫu nhiên từ mỗi hộp viên bi. Tính xác suất để trong viên bi lấy được ít nhất viên bi xanh.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Xác suất lấy được bi xanh ở mỗi hộp là .
Xác suất lấy được bi đỏ ở mỗi hộp là .
Gọi : “ viên bi lấy được ít nhất viên bi xanh”
Suy ra : “ viên bi lấy được không có viên bi xanh”
Ta có . Suy ra .
Câu 15: Trong một kì thi có thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Gọi A là biến cố “ bạn A thi đỗ”, B là biến cố “bạn B thi đỗ”, C là biến cố “chỉ có một bạn thi đỗ”.
Trường hợp 1: A thi đỗ, B thi không đỗ.
.
Trường hợp 2: A thi không đỗ, B thi đỗ.
.
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có: .
Câu 16: Một người gọi điện thoại nhưng quên mất chữ số cuối. Tính xác suất để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần ta có trường hợp:
TH1: Người đó gọi đúng ở lần thứ nhất.
TH2: Người đó gọi đúng ở lần thứ hai.
Gọi người đó gọi đúng ở lần thứ nhất xác suất người đó gọi đúng là và xác suất người đó gọi không đúng là .
Gọi người đó gọi đúng ở lần thứ hai xác suất người đó gọi đúng là .
Gọi người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần ta có
.
Câu 17: Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn. Xác suất sút thành công của cầu thủ đó là . Xác suất để trong hai lần sút, cầu thủ sút thành công ít nhất một lần là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Cách 1:
Gọi là biến cố: “Lần đầu cầu thủ sút thành công”, là biến cố: “Lần thứ hai cầu thủ sút thành công”, là biến cố: “Trong hai lần sút, cầu thủ sút ít nhất một lần thành công”.
Suy ra là biến cố: “Trong hai lần sút đầu cầu thủ sút không thành công lần nào”.
Ta có: . Vậy:.
Cách 2:
Gọi là biến cố: “Lần đầu cầu thủ sút thành công”, là biến cố: “Lần thứ hai cầu thủ sút thành công”, là biến cố: “Trong hai lần sút, cầu thủ sút ít nhất một lần thành công”.
Khi đó, và là hai biến cố độc lập nhau và ta có .
Vậy: .
Câu 18: Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”.
Suy ra là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” “ xe không chạy được nữa”.
Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên và là hai biến cố độc lập.
Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là.
Vậy xác suất để xe đi được là .
Câu 19: Trong một trò chơi, người chơi cần gieo cùng lúc ba con súc sắc cân đối đồng chất; nếu được ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn thì người chơi đó thắng. Tính xác suất để trong lần chơi, người đó thắng ít nhất lần.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là biến cố trong lần chơi, người đó thắng ít nhất lần.
Khi đó: là biến cố trong lần chơi, người đó toàn thua.
Tính xác suất để một lần chơi người đó thua:
Để chơi thua, thì ít nhất 2 trong ba con súc sắc người đó gieo xuất hiện số chấm bé hơn hoặc bằng 4. Suy ra xác suất để người đó chơi thua một lần là:
.
Câu 20: Ba xạ thủ , , độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của , , tương ứng là ; và . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi : “Xạ thủ thứ bắn trúng mục tiêu” với .
Khi đó : “Xạ thủ thứ bắn không trúng mục tiêu”.
Ta có ; ; .
Gọi : “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”.
Và : “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Ta có .
Khi đó .
Câu 21: Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng và 10 câu mức độ vận dụng cao. Xác suất để bạn An làm hết 20 câu mức độ nhận biết là ; 20 câu mức độ vận dụng là ; và 10 câu mức độ vận dụng cao là . Xác suất để bạn An làm trọn vẹn 50 câu là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là biến cố “bạn An làm trọn vẹn 50 câu”
là biến cố “ bạn An làm hết 20 câu nhận biết”
là biến cố “ bạn An làm hết 20 câu vận dụng”
là biến cố “ bạn An làm hết 10 câu vận dụng cao”
Khi đó: . Vì các biến cố là độc lập nhau nên theo quy tắc nhân xác suất ta có:
Câu 22: Túi I chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh. Túi II chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên cùng màu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là biến cố bi rút được từ túi I là trắng, đỏ, xanh.
Gọi lần lượt là biến cố bi rút được từ túi II là trắng, đỏ, xanh.
Các biến cố độc lập với .
Vậy xác suất để lấy được hai bi cùng màu là
Câu 23: Có hai hộp. Hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con súc sắc, nếu được mặt 6 chấm thì lấy một gói quà từ hộp I, nếu được mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Tính xác suất để lấy được gói quà màu đỏ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có xác suất để gieo con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là và xác suất để gieo con súc sắc không xuất hiện mặt 6 chấm là .
Xác suất lấy từ hộp I được gói quà màu đỏ là .
Xác suất lấy từ hộp được gói quà màu đỏ là .
Vậy xác suất để lấy được gói quà màu đỏ là .
Câu 24: Ba cầu thủ sút phạt đền, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là , và (với ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là . Tính xác suất để có ít nhất hai cầu thủ ghi bàn.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Gọi là biến cố “người thứ ghi bàn” với .
Ta có các độc lập với nhau và .
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có ít nhất hai cầu thủ ghi bàn”
Ta có: .
Nên .
Suy ra (1).
Tương tự: hay là (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: , giải hệ này kết hợp với ta tìm được
và .
Ta có: .
Nên .
Câu 25: Hai cầu thủ đá luân lưu. Xác suất cầu thủ thứ nhất đá trúng lưới là . Xác suất cầu thủ thứ hai không đá trúng lưới là . Xác suất để có đúng một cầu thủ đá trúng lưới là:
A. Đáp án khác. B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi biến cố Cầu thủ thứ nhất đá trúng lưới và Cầu thủ thứ hai đá trúng lưới
biến cố có đúng một cầu thủ đá trúng lưới là: .
Vì và là hai biến cố xung khắc nên .
Vì là hai biến cố độc lập nên .
Tương tự .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1: Từ tập hợp có thể lập được
a) Có thể lập được số tự nhiên có bốn chữ số
b) Có thể lập được số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau
c) Có thể lập được số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau là số chẵn
c) Có thể lập được số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau là số chẵn và nhỏ hơn
Lời giải
a) Đúng: Gọi số có dạng
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho mỗi vị trí , ,
Theo quy tắc nhân, ta có số thỏa.
b) Sai: Gọi số có dạng
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Theo quy tắc nhân, ta có số thỏa.
c) Sai: Gọi số có dạng
TH1:
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Theo quy tắc nhân, ta có: số thỏa.
TH2: suy ra có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Theo quy tắc nhân, ta có: số thỏa.
Vậy theo quy tắc cộng, ta có số thỏa.
d) Đúng: Gọi số có dạng
TH1: suy ra có cách chọn
Có cách chọn cho
Có cách chọn cho
Theo quy tắc nhân, ta có: số thỏa
TH2: có cách chọn
Theo quy tắc nhân, ta có: số thỏa
Vậy theo quy tắc cộng, ta có số thỏa.
Câu 2: Một hộp có 18 viên bi, trong đó có 7 viên bi mầu đỏ được đánh số từ 1 đến 7, 6 viên bi mầu xanh được đánh số từ 1 đến 6 và 5 viên bi mầu vàng được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 3 viên bi.
a) Xác suất để lấy được 3 viên bi mầu đỏ là .
b) Xác suất để lấy được 3 viên bi cùng mầu là .
c) Xác suất để lấy được 3 viên bi đủ cả ba mầu là .
d) Xác suất để lấy được 3 viên bi khác mầu và khác số là .
Lời giải
Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 3 viên bi từ 18 viên bi nên có
a) Đúng: Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi màu đỏ. Ta có
Nên xác suất để lấy được 3 viên bi màu đỏ là .
b) Sai: Gọi B là biến cố lấy được 3 viên bi cùng mầu. Ta có .
c) Đúng: Gọi C là biến cố lấy được 3 viên bi đủ cả ba mầu. Tức mỗi màu có 1 viên nên ta có xác suất xảy ra biến cố C là .
d) Sai: Gọi D là biến cố lấy được 3 viên bi khác mầu và khác số. Khi đó xác suất xảy ra biến cố D là .
Câu 3: Hai bạn An và Hà của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nữ do nhà trường tổ chức. Hai bạn đó nằm ở hai bảng đấu loại khác nhau, mỗi bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua vòng loại để vào vòng chung kết của An và Hà lần lượt là 0,6 và 0,7.
a) Biến cố “Bạn An lọt vào vòng chung kết” và biến cố “Bạn Hà lọt vào vòng chung kết” là hai biến cố độc lập.
b) Xác suất cả hai bạn lọt vào vòng chung kết là 0,42.
c) Xác suất có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết là 0,8.
d) Xác suất chỉ có bạn Hà lọt vào vòng chung kết là 0,7.
Lời giải
Xét các biến cố : “Bạn An lọt vào vòng chung kết”, : “Bạn Hà lọt vào vòng chung kết”.
a) Đúng: Vì bạn An và Hà nằm ở hai bảng đấu loại khác nhau nên biến cố và độc lập.
b) Đúng: Ta có .
c) Sai: Ta có .
d) Sai: Xác suất bạn An không lọt vào vòng chung kết là: .
Xác suất chỉ có bạn Hà lọt vào vòng chung kết là:
Câu 4: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9.
a) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là .
b) Xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là .
c) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là
d) Xác suất để một trong hai động chay tốt là
Lời giải
Gọi A là biến cố Động cơ I chạy tốt; B là biến cố Động cơ II chạy tốt; C là biến cố Cả hai động cơ đều chạy tốt; D là biến cố “Cả hai động cơ đều không chạy tốt”; E là biến cố “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”; F là biến cố “Chỉ một trong hai động cơ chạy tốt”.
a) Đúng: Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và
Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có:
b) Sai:. . là hai biến cố độc lập nên cũng độc lập và .
c) Sai: .
là biến cố Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
⇒ Biến cố đối của là “Cả hai động cơ chạy không tốt” .
d) Đúng: Ta có
và xung khắc và độc lập nên ta có
Câu 5: Gieo hai con súc sắc và cân đối, đồng chất một cách độc lập. Xét các biến cố sau đây:
’’Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm”
’’Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con là ”
’’Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con lớn hơn hoặc bằng”
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Số phần tử của không gian mẫu bằng
b)
c) Hai biến cố và không độc lập
d)
Lời giải
a) Sai: Gieo hai con súc sắc và cân đối, đồng chất một cách độc lập thì số phần tử của không gian mẫu là
b) Sai: , nên
c) Đúng: Gọi là biến cố đối của biến cố
‘’Không có con súc sắc nào xuất hiện mặt chấm’’
Do đó
,
Xét biến cố ’’Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con là , trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm’’.
Ta có . Do đó
. Vậy không độc lập.
d) Sai: Biến cố xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố sau xảy ra
”Con súc sắc ra mặt chấm và con súc sắc ra mặt chấm”.
”Con súc sắc ra mặt chấm và con súc sắc ra mặt hoặc chấm”.
”Con súc sắc ra mặt chấm và con súc sắc ra mặt hoặc chấm”.
”Con súc sắc ra mặt chấm và con súc sắc ra mặt hoặc chấm”.

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Cong thuc nhan xac suat lop 11