CÁC DẠNG TOÁN BÀI CẤP SỐ NHÂN
Dạng 1: Tìm công thức của một cấp số nhân
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa là một cấp số nhân khi và chỉ khi và là một số không đổi. Nếu thì ta lập tỷ số
■ Nếu là hằng số thì là một cấp số nhân với công bội .
■ Nếu phụ thuộc vào thì không là cấp số nhân.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng .
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Năm số hạng đầu của dãy:
Ta có: suy ra không phải cấp số nhân
b) Năm số hạng đầu của dãy:
Ta có nên .
Do đó là cấp số nhân có công bội . Số hạng tổng quát:
c) Năm số hạng đầu của dãy:
Ta có: nên không phải là cấp số nhân
d) Năm số hạng đầu của dãy:
Ta có: nên
Do đó là cấp số nhân với công sai . Số hạng tổng quát:
Bài tập 2: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó:
a) b)
c) d)
Lời giải
a) Ta có (không đổi) nên là cấp số nhân với công bội .
b) Ta có (không đổi) nên là cấp số nhân với công bội .
c) Ta có , , , suy ra và do đó không là cấp số nhân.
d) .
Do đó có: và
Theo đề bài có
Từ và suy ra Kết luận là cấp số nhân với công bội .
Bài tập 3: Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số xác định bởi là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải
Ta có: .
Theo đề .
Thay và vào được: (không đổi).
Kết luận là cấp số nhân với công bội và số hạng đầu .
Bài tập 4: Cho dãy số xác định bởi .
a) Chứng minh dãy số với , là một cấp số nhân.
b) Tìm công thức tổng quát của dãy số .
Lời giải
a) Ta có nên .
Vậy là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
b) Do là cấp số nhân với nên số hạng tổng quát của .
Suy ra công thức tổng quát của dãy số là .
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Nếu là cấp số nhân với công bội ta có: .
là cấp số nhân với .
không là cấp số nhân.
là cấp số nhân với .
là cấp số nhân với .
Câu 2: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dãy là cấp số nhân với công bội .
Dãy là cấp số nhân với công bội .
Dãy là cấp số nhân với công bội .
Dãy không phải là cấp số nhân vì .
Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
A. B.
C. D.
Lời giải
Xét đáp án C:
Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.
là cấp số nhân và
Câu 4: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. B.
C. D.
Lời giải
Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là
Xét đáp án D:
Câu 5: Dãy số là một cấp số nhân với:
A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.
B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.
C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.
D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.
Lời giải
Cấp số nhân:
Câu 6: Cho cấp số nhân với và Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
A. B.
C. D.
Lời giải.
Câu 7: Tìm tất cả giá trị của để ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
A. B. C. D.
Lời giải
Cấp số nhân
Câu 8: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta thấy ở đáp án D có nên đây là cấp số nhân với công bội .
Câu 9: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Nhận thấy nên các dãy số ở đáp án A, B và C không phải là cấp số nhân.
Riêng đối với dãy ở đáp án D thỏa mãn: .
Vậy dãy số là cấp số nhân với và công bội .
Câu 10: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. B.
C. D.
Lời giải
Dãy số : là cấp số nhân có số hạng đầu công bội .
Câu 11: Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân:
A. B. C. D.
Lời giải
Câu 12: Xác định để 3 số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của B.
C. D.
Lời giải
Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
Câu 13: Xác định để 3 số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. B.
C. D. Không có giá trị nào của .
Lời giải
Ba số: theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Câu 14: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. . B. .
C. D. .
Lời giải
A. , không phải là hằng số. Vậy không phải là cấp số nhân.
B. , không phải là hằng số. Vậy không phải là cấp số nhân.
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra
Vì nên không phải là cấp số nhân.
D. . Vậy là một cấp số nhân.
Câu 15: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
A. B.
C. D.
Lời giải
là cấp số nhân
Câu 16: Cho dãy số với Khẳng định nào sau đây đúng?
A. không phải là cấp số nhân.
B. là cấp số nhân có công bội và số hạng đầu
C. là cấp số nhân có công bội và số hạng đầu
D. là cấp số nhân có công bội và số hạng đầu
Lời giải
là cấp số nhân công bội và
Câu 17: Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. B. C. D.
Lời giải
Dãy là cấp số nhân có
Câu 18: Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. B. C. D.
Lời giải.
Dãy là cấp số nhân có
Câu 19: Cho dãy số là một cấp số nhân với Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. B.
C. D.
Lời giải
Giả sử là cấp số nhân công bội thì
Dãy là cấp số nhân công bội
Dãy là cấp số nhân công bội
Dãy là cấp số nhân công bội
Dãy không phải là cấp số nhân.
Câu 20: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta thấy, với dãy số có tính chất: nên là cấp số nhân với công bội .
Câu 21: được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có và .
có nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
có nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
có nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
Câu 22: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Lập tỉ số
A: không phải cấp số nhân.
B: không phải là cấp số nhân.
C: là cấp số nhân có công bội bằng .
D: không phải là cấp số nhân.
Câu 23: Cho dãy số có số hạng tổng quát là . Chọn kết luận đúng:
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu .
B. Dãy số là cấp số cộng có công sai .
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu .
D. Dãy số là cấp số nhân có công bội .
Lời giải
Dãy số có số hạng tổng quát là .
Xét thương với nên dãy số là một cấp số nhân có công bội và có số hạng đầu là .
Câu 24: Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Ta có: là cấp số nhân có số hạng đầu và công bội .
Câu 25: Cho dãy số: . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
B. Dãy số này là cấp số nhân có .
C. Số hạng tổng quát.
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Lời giải
Ta có: Vậy dãy số trên là cấp số nhân với .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có .
Câu 26: Tập hợp các giá trị x thỏa mãn theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Gọi là công bội của cấp số nhân.
Ta có
Tập hợp các giá trị x thỏa mãn theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là .
Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Để theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì: .
Vậy có đúng số nguyên dương .
Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của để ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
A. B. C. D.
Lời giải
Để ba số đó lập thành một cấp số nhân thì:
Câu 29: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
Lời giải
A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội .
B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai .
C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: .
D. Sai. Ví dụ dãy ; ; ; ; … là dãy số có nhưng không phải là dãy số dương.
Câu 30: Xác định dương để ; ; lập thành cấp số nhân.
A. . B. .
C. . D. không có giá trị nào của.
Lời giải
; ; lập thành cấp số nhân . Vì dương nên .
Câu 31: Giả sử , , theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện: .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: .
.
Ta có: .
Câu 32: Cho dãy số có các số hạng đầu là Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có :
Vậy .
Câu 33: Cho cấp số nhân với và công bội . Số hạng tổng quát bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 34: Cho dãy số biết . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có và
Suy ra dãy số là cấp số nhân với
Do đó
Câu 35: Cho dãy số thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của để .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: nên dãy là cấp số nhân với công bội .
.
Mà
.
Từ và ta có:
là cấp số nhân với công bội . Nên số hạng tổng quát là: .
.
Vậy giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho các dãy số sau đây: ; ; và dãy số hữu hạn gồm các số hạng: . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là một cấp số nhân công bội .
b) không phải là một cấp số nhân
c) là một cấp số nhân có số hạng đầu
d) Dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng .
Lời giải
a) Đúng: Ta có: .
Do đó là một cấp số nhân có số hạng đầu với công bội .
b) Đúng: Ta có: (tỉ số này còn phụ thuộc vào ).
Do đó không phải là một cấp số nhân.
c) Đúng: Ta có: .
Do đó là một cấp số nhân có số hạng đầu với công bội
d) Sai: Đặt .
Ta có: .
Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng .
Câu 2: Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Dãy số với là cấp số nhân với công bội .
b) Dãy số với là cấp số nhân với công bội .
c) Dãy số với không là cấp số nhân.
d) Dãy số với không là cấp số nhân.
Lời giải
a) Đúng: Ta có: không đổi.
Vậy là cấp số nhân với công bội .
b) Sai: Ta có: . Khi đó
Vậy là cấp số nhân với công bội .
c) Đúng: Ta có:
Khi đó:
Nhận thấy:
Vậy không là cấp số nhân.
d) Đúng: Ta có:
Nhận thấy:
Vậy không là cấp số nhân.
Câu 3: Cho tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số đo góc nhỏ nhất bằng
b) Số đo góc lớn nhất bằng
c) Tổng số đo góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng
d) Số đo góc lớn nhất trừ cho số đo góc nhỏ nhất bằng
Lời giải
Đặt theo thứ tự là số đo bốn góc của tứ giác , gọi là công bội của cấp số nhân .
Ta có:
Vậy số đo bốn góc của tứ giác là: .
a) Đúng: Số đo góc nhỏ nhất bằng
b) Sai: Số đo góc lớn nhất bằng
c) Sai: Tổng số đo góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng
d) Đúng: Số đo góc lớn nhất trừ cho số đo góc nhỏ nhất bằng
Câu 4: Cho các dãy số ;;;. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) không phải là cấp số nhân
b) không phải là cấp số nhân
c) là một cấp số nhân
d) là một cấp số nhân
Lời giải
a) Đúng: , không phải là hằng số nên không phải là cấp số nhân.
b) Đúng: , không phải là hằng số nên không phải là cấp số nhân.
c) Sai: Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra
Vì nên không phải là cấp số nhân.
d) Đúng: . Vậy là một cấp số nhân công bội .
Câu 5: Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay. Thần đèn chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.
b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.
c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.
d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3269 điều ước
Lời giải
a) Đúng: Ngày thứ nhất Aladin ước 3 điều.
Ngày thứ hai Aladin ước 2.3 điều.
b) Đúng: Ngày thứ ba Aladin ước điều.
c) Sai: Ngày thứ tư Aladin ước điều.
Ngày thứ 10 Aladin ước điều.
d) Sai: Vậy sau 10 ngày Aladin đã ước: điều.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Lời giải
Ta có cấp số nhân có:
Câu 2: Tìm để các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Lời giải
Cấp số nhân theo thứ tự đó sẽ là , ta có
Câu 3: Tìm để ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Lời giải
Cấp số nhân
Câu 4: Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là và Tìm , biết rằng công bội của cấp số nhân là
Lời giải
Cấp số nhân và có công bội nên ta có
Câu 5: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội của cấp số nhân đã cho.
Lời giải
Theo giải thiết ta có:
Câu 6: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.
Lời giải
Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội
Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: (tỷ đồng)
Câu 7: Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh là Biết rằng dân số tỉnh hiện nay là triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau năm nữa dân số tỉnh là bao nhiêu?
Lời giải
Theo giải thiết, ta thấy tỷ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
Do đó, dân số của tỉnh sau năm là: người.
Dạng 2: Xác định số hạng và công bội của cấp số nhân
Phương pháp: Dựa vào giả thiết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội và số hạng đầu , giải hệ phương trình này tìm được và .
■ Để xác định số hạng thứ , ta sử dụng công thức: .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) b)
Lời giải
a)
Lấy
Kết luận có công bội và số hạng đầu tiên .
b)
Lấy
Kết luận có công bội và số hạng đầu tiên .
Bài tập 2: Cho cấp số nhân có các số hạng thỏa mãn:
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
b) Số 12288 là số hạng thứ mấy?
Lời giải
a) Ta có
Lấy .
c) Ta có:
.
Bài tập 3: Cho cấp số nhân. Tìm và biết rằng:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
k)
Lời giải
a)
thay vào được:
.
Với ; với
b)
Lấy:
Với; với
c)
Lấy:
Đặt: Điều kiện
Với
Nếu
Nếu
d)
Lấy
Đặt: Điều kiện:
Với
Với; với
e)

Lấy

(vì dễ dàng thấy )
Đặt . Điều kiện:

Với
Với; với
f)
Lấy
g)

h)
i)
Lấy. Đặt:
Với
Với
k)
. Lấy được:
Đặt:. Điều kiện:
Với
Với ;
Bài tập 4: Tìm biết rằng là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
Lời giải
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
Với thay vào (1) được
Với thay vào (1) được
Kết luận: thỏa yêu cầu đề bài.
Bài tập 5: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là năm. Gọi là số dân của tỉnh đó sau năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau năm kể từ năm 2020.
b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.
Lời giải
a) Ta có: dãy lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là triệu dân và công sai
Khi đó số hạng tổng quát của (triệu dân).
b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là: (triệu dân).
Bài tập 6: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi (so với năm trước đó).
a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.
b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau năm sử dụng.
c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?
Lời giải
a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là: (triệu đồng).
Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:
(triệu đồng).
b) Gọi là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.
Dãy số tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là triệu đồng và công bội.
Khi đó công thức tổng quát để tính .
c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: (triệu đồng).
Bài tập 6: Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoàng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là .
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?
Lời giải
Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai Cap so nhan lop 11