CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA
CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Dạng 1: Toạ độ của các phép toán vectơ, toạ độ điểm, độ dài đoạn thẳng
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong không gian , cho , . Tính độ dài của
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Câu 2: Trong không gian , cho ba điểm , ; . Khi thẳng hàng thì giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ;
Để ba điểm thẳng hàng thì .
Câu 3: Trong không gian cho 3 diểm ,, . Tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có Suy ra không cùng phương.
Gọi ;
Tứ giác là hình bình hành
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện với ,, và . Điểm thỏa mãn có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
. Vậy .
Câu 5: Trong không gian , cho tam giác ABC có và trọng tâm . Tọa độ của vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh . Ta có:
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi . Khi đó: ,
. Nên .
Ta có: . Vậy .
Câu 7: Trong không gian , cho ba điểm , , và tam giác thỏa mãn . Tọa độ trọng tâm của tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
.
Suy ra cũng là trọng tâm của tam giác . Do đó: .
Câu 8: Trong hệ trục tọa độ , cho hai vectơ , và điểm trung điểm của đoạn QR. Tọa độ điểm Q là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có suy ra .
Vì điểm trung điểm của đoạn QR nên (2).
Từ và suy ra .
Câu 9: Trong không gian , cho bốn điểm và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Vì là trung điểm nên ta có:
Suy ra . Vậy .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độcho ba điểm Điểm là đỉnh thứ tư của hình bình hành khi đó có giá trị bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Tứ giáclà hình bình hành khi và chỉ khi:
Suy ra:
Câu 11: Trong không gian , cho điểm và điểm . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có tọa độ trung điểm là .
Câu 12: Trong không gian hệ toạ độ , cho ba vectơ ;;. Tìm toạ độ của vectơ :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; ;
Khi đó
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ , cho thì tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có suy ra .
Câu 14: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm và . Tìm tọa độ điểm sao cho ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử .
Ta có:
Câu 15: Trong không gian , cho hai điểm và . Điểm nằm trên trục và cách đều hai điểm có tọa độ là.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Do điểm nằm trên trục nên .
Mặt khác điểm cách đều hai điểm
Vậy .
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là?
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Ta có: .
Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm . Điểm thuộc đoạn sao cho . Độ dài đoạn thẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt , khi đó: và
Ta có: .
Khi đó: . Vậy .
Câu 18: Trong không gian cho điểm và ba điểm ; ; . Biết là trọng tâm của tam giác thì bằng
A. 3. B. 9. C. 6. D. 0.
Lời giải
Ta có trọng tâm của tam giác : .
Khi đó: .
Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm , , . Tìm toạ độ điểm sao cho bốn điểm , , , lập thành một hình chữ nhật.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: ; , nên
Điều này cho thấy không thẳng hàng và hình chữ nhật tạo ra phải là .
Gọi , ta có .
Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi .
Vậy
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm ; ; và
thẳng hàng
Câu 21: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Khi đó thẳng hàng hay và cùng phương.
Lại có ; nên .
Khi đó nên.
Câu 22: Trong không gian , cho vecto ; ; và . Cặp vecto nào sau đây cùng phương?
A. và . B. và . C. và . D. và .
Lời giải
Vì nên hai vecto và không cùng phương.
Vì nên hai vecto và không cùng phương.
Ta có suy ra và cùng phương.
Vì nên hai vecto và không cùng phương.
Câu 23: Trong không gian , cho ba điểm , ;. Tìm sao cho ba điểm thẳng hàng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có ; .
Ba điểm thẳng hàng .
Câu 24: Trong không gian , cho 2 véc tơ và . Khi thì tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , . Tọa độ chân đường phân giác trong góc của tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Gọi là chân đường phân giác trong góc ta có .
Vì là chân đường phân giác trong nên .
Vậy .
Câu 26: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng tọa độ và . Biết rằng nằm trên đoạn sao cho . Giá trị của tổng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Vì lần lượt là giao điểm của với các mặt phẳng và nên .
Vì nằm trên đoạn sao cho nên ta có:
;
. Vậy .
Câu 27: Trong không gian cho Tìm tất cả các điểm sao cho là hình thang có đáy và diện tích hình thang gấp ba lần diện tích tam giác .
A. . B. và .
C. . D. và .
Lời giải
Giả sử . Khi đó: ; .
Do nên
Vì diện tích hình thang gấp ba lần diện tích tam giác
nên ,với là chiều cao của hình thang và cũng chính là chiều cao tam giác ứng với cạnh .
Suy ra,
Câu 28: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Gọi là điểm nằm trên trục sao cho và là hai đường thẳng cắt nhau. Xác định tọa độ điểm .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Vì là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng nên .
Gọi là một điểm nằm trên trục và là giao điểm của và .
Khi đó nên suy ra tọa độ điểm .
Lại có thẳng hàng nên
Vậy7r5| .
Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm , , . Tìm tất cả các điểm sao cho là hình thang có đáy và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
.
Mà là hình thang có đáy nên .
, .
. Vậy .
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình vuông trong đó và Hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh thỏa mãn . Gọi là giao điểm của . Tính .
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Ta có . Hai tam giác và đồng dạng
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian , cho ba điểm , , .
a) Tọa độ trọng tâm tam giác bằng
b) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng bằng
c) Tứ giác là hình bình hành thì tọa độ điểm
d) Ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) Đúng: Tọa độ trọng tâm tam giác
b) Đúng : Tọa độ trung điểm đoạn thẳng
c) Đúng: Tứ giác là hình bình hành:
d) Sai: Vì Ta có: không thẳng hàng.
Câu 2: Trong không gian , cho ba điểm , , .
a) Ba điểm thẳng hàng thì
b) Điểm là trọng tâm tam giác thì
c) Tam giác vuông tại thì
d) Tích vô hướng của .
Lời giải
a) Đúng: Ta có ,
Để ba điểm , , thẳng hàng .
Vậy .
b) Đúng : Ta có
c) Đúng: Ta có ,
Khi đó: . Với
d) Đúng. Vì
Câu 3: Cho các điểm .
a) .
b) .
c) .
d) Ba điểm không thẳng hàng.
Lời giải
a) Đúng: .
b) Sai:
c) Sai: . Hai vec tơ này không cùng phương nên không tồn tại số thực để .
d) Đúng: Hai vec tơ và không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng.
Câu 4: Cho ba điểm và . Gọi lần lượt là trung điểm của và
a) Tọa độ .
b) Với là trọng tâm tam giác thì .
c) Trọng tâm tam giác là .
d) Với thì tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
a) Sai: là trung điểm của , suy ra hay .
b) Sai: Ta có . Suy ra .
c) Đúng: Hai tam giác và có cùng trọng tâm. Suy ra trùng với .
d) Đúng: Ta có suy ra .
Vậy là hình bình hành.
Câu 5: Cho hình hộp , biết điểm , . Gọi là tâm của các hình bình hành .
a) Tọa độ .
b) Tọa độ .
c) Tọa độ .
d) .
Lời giải
a) Đúng: Theo qui tắc hình bình hành, ta có
b) Đúng: Ta có
c) Sai: Theo hình vẽ .
d) Sai: Ta có .
Xét
Câu 6: Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông, đồng thời cách mặt đất . Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 .Chọn hệ trục với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet.
a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là ( .
b) Với hệ tọa độ đã chọn, toạ độ khinh khí cầu thứ hai là .
c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng .
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
a) Đúng: Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là .
b) Sai: Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .
c) Sai: Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng
d) Đúng: Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là
.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian cho hai điểm và . Tính độ dài đoạn thẳng
Lời giải
Ta có: .
Câu 2: Trong không gian hệ toạ độ cho tứ diện với và . Hoành độ điểm thỏa mãn là bao nhiêu?
Lời giải
Tọa độ điểm thỏa mãn:
Câu 3: Trong không gian , cho ba điểm . Khi thẳng hàng thì giá trị biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có ; .
Để thẳng hàng thì .
Vậy .
Câu 4: Trong không gian tọa độ cho hai điểm , . Điểm thỏa mãn . Giá trị biểu thức bằng bao nhiêu?
Lời giải
Do nên cùng hướng .
là trung điểm .
Khi đó
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Điểm thuộc đoạn sao cho . Bình phương độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi .
Vì điểm thuộc đoạn sao cho nên
.
Câu 6: Trong không gian cho ba điểm và Có bao nhiêu điểm sao cho tứ giác là hình thang có 2 cạnh đáy và có góc tại bằng
Lời giải
Gọi khi đó
Tứ giác là hình thang có 2 cạnh đáy nên cùng phương.
Vậy hoặc
Câu 7: [2H3-0.0-3] Trong không gian cho hình thang vuông tại và . Ba đỉnh , và hình thang có diện tích bằng . Giả sử đỉnh . Tính
Lời giải
Ta có ; .
Theo giả thiết là hình thang vuông tại và và có diện tích bằng nên
.
Do là hình thang vuông tại và nên .
Giả sử khi đó ta có .
Câu 8: Trong hệ trục tọa độ cho 3 điểm và . Điểm di chuyển trên trục . Đặt . Biết giá trị nhỏ nhất của có dạng trong đó và là số nguyên tố. Tính .
Lời giải
Ta có
Với là trọng tâm của tam giác và là trung điểm , ta có:
,
Do và nằm cùng phía so với nên gọi là điểm đối xứng của qua .
Khi đó .
Đẳng thức xảy ra khi là giao điểm của và .
Câu 9: Trong không gian , cho ba điểm , , . Gọi là điểm sao cho là hình thang có cạnh đáy và diệt tích hình thang bằng lần diện tích tam giác . Tính .
Lời giải
Ta có
. Do là hình thang có đáy
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Trong không gian , cho vectơ và vectơ .
a) Tìm toạ độ của . b) Biểu diễn theo các vectơ đơn vị .
c) Tìm toạ độ của .
Lời giải
a) Vì nên .
b) Vì nên .
c) Biểu diễn qua các vectơ đơn vị:
Bài tập 2: Cho . Tìm toạ độ của vectơ .
Lời giải
Ta có .
Do đó hay .
Bài tập 3: Trong không gian , cho ba vectơ .
a) Tìm toạ độ của vectơ .
b) Tìm hai vectơ cùng phương trong các vectơ đã cho.
Lời giải
a) Ta có: .
Suy ra .
b) Ta có suy ra hai vectơ cùng phương.
Do nên không cùng phương. Tương tự hai vectơ không cùng phương.
Bài tập 4: Trong không gian , cho ba vectơ .
a) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác
b) Tìm toạ độ điểm biết tứ giác là hình bình hành
c) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng toạ độ
Lời giải
a) Ta có ; . Vì nên hai vectơ không cùng phương hay ba điểm không thẳng hàng.
Toạ độ trọng tâm của tam giác khi đó là
b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi
Vậy toạ độ của điểm khi đó là
c) Vì thuộc mặt phẳng nên toạ độ điểm
Ta có mà thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương, do đó:
. Vậy
Bài tập 5: Trong không gian , cho ba vectơ .
a) Tìm toạ độ của vectơ
b) Tìm toạ độ điểm sao cho
Lời giải
a) Ta có
b) Gọi khi đó ;
Bài tập 6: Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là m, chiều rộng là m và chiều cao là m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ có gốc trùng với một góc phòng và mặt phẳng trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (Hình minh họa dưới đây). Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn
Lời giải
Gọi toạ độ các điểm như hình vẽ dưới đây:
Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của lên mặt phẳng trần nhà suy ra là điểm treo đèn.
Khi đó
Vậy toạ độ của điểm treo đèn là
Dạng 2: Tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Trong không gian , cho hai véctơ và . Khi đó bằng
A. 8. B. . C. 12. D. .
Lời giải
Ta có: .
Câu 2: Trong không gian , cho , . Toạ độ là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Toạ độ là .
Câu 3: Trong không gian cho . Tìm tọa độ của véctơ tích có hướng của hai véctơ và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 4: Trong không gian , cosin của góc tạo bởi hai vectơ và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Câu 5: Trong không gian , cho hai véc-tơ và . Gọi là véc-tơ cùng hướng với và . Tọa độ của véc-tơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Vì là véc-tơ cùng hướng với nên .
Hơn nữa . Vậy .
Câu 6: Trong không gian , cho , , . Tìm để ba véc tơ đồng phẳng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có : .
Mà .
Ba véc tơ đồng phẳng .
Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ cho và . Giá trị của thuộc khoảng nào sau đây để bốn điểm trên đồng phẳng?
A. B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
đồng phẳng
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai véc-tơ , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
.
Câu 9: Trong không gian , cho hai vectơ và . Tích vô hướng của hai vectơ này bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tích vô hướng của hai vectơ và xác định bởi công thức:
.
Câu 10: Trong không gian , cho hai vectơ và . Tích vô hướng của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 11: Trong không gian , cho , . Tìm tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tích có hướng của hai vectơ và là .
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ , Cho tam giác với và . Tính diện tích của tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
Vậy.
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Diện tích tam giác bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
Vậy diện tích tam giác là
Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ , với là tham số nhận giá trị thực. Tìm giá trị của để hai vectơ và vuông góc với nhau.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hai vectơ và vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Câu 15: Trong không gian , cho điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các trục , và . Tính diện tích của tam giác .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Theo đề bài ta có: , và .
Diện tích của tam giác là .
Vậy .
Câu 16: Trong mặt phẳng , cho , . Giá trị của bằng
A. 66. B. . C. . D. 2.
Lời giải
Ta có: nên .
Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ , điểm thuộc và cách đều hai điểm và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là điểm thuộc . (với )
Điểm cách đều hai điểm và khi và chỉ khi .
Vậy .
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm  ; . Tìm tọa độ điểm trên trục để tam giác vuông tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi .
Ta có:
Để tam giác vuông tại
Vậy tọa độ của điểm là
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ , biết và góc giữa hai véc tơ bằng . Tìm để vecto vuông góc với vecto .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: vuông góc với vecto
.
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Hỏi cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng và bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Suy ra .
Câu 21: Cho hai vectơ và tạo với nhau một góc và .Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có
.
Câu 22: Trong không gian , cho tam giác có . Độ dài đường trung tuyến là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Khi đó .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Điểm trên trục có hoành độ dương và thỏa mãn . Khi đó tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điểm thuộc trục có hoành độ dương suy ra .
Ta có: , .
Giả thiết: .

onthicaptoc.com Cac dang bai tap bai BIEU THUC TOA DO CUA CAC PHEP TOAN VECTO