1
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
ĐS
ĐỒNG HÀNH VÀO 10
MỤC LỤC
A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC ....................................................................... 4
 Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. ............................................ 5
2
 Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A  A ................................................................. 6
2
 Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A  A ................ 6
 Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích
thành nhân tử; …) .................................................................................................................. 9
 Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ..................... 12
 Bài tập tự luyện: ............................................................................................................. 27
B. CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ................................................................ 30
. Kiến thức cơ bản ............................................................................................................ 30
. Ví dụ minh họa .............................................................................................................. 31
. Bài tập. ............................................................................................................................ 33
. Bài tập tự luyện ............................................................................................................. 36
. Giải hệ phương trình và một số ý phụ. ..................................................................... 40
. Giải hệ phương trình bậc cao ...................................................................................... 47
C. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ....................................... 50
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ................................................................................................. 50
. PHÂN DẠNG TOÁN ...................................................................................................... 51
Dạng 1. Toán về quan hệ số ................................................................................................ 51
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 51
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 53
Dạng 2: Toán chuyển động ................................................................................................. 55
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 56
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 59
Toán Họa:  0986 915 960
8 CĐ
2
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc - % ................................................. 60
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 61
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 68
Dạng 4: Toán có nội dung hình học ................................................................................... 68
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 69
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 71
Dạng 5. Các dạng toán khác ............................................................................................... 71
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 71
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 74
D. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ........................... 75
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ................................................................................................. 75
. PHÂN DẠNG TOÁN ...................................................................................................... 76
Dạng 1. Toán về quan hệ số ................................................................................................ 76
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 76
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 77
Dạng 2: Toán chuyển động ................................................................................................. 77
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 78
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 83
Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc - % ................................................. 85
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 86
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 89
Dạng 4: Toán có nội dung hình học ................................................................................... 90
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 90
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 92
Dạng 5. Các dạng toán khác ............................................................................................... 92
Ví dụ minh họa: ................................................................................................................ 92
Bài tập tự luyện: ................................................................................................................ 94
E. HÀM SỐ BẬC NHẤT ......................................................................................................... 95
Toán Họa:  0986 915 960
3
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ................................................................................................. 95
. BÀI TẬP .............................................................................................................................. 96
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 102
F. HÀM SỐ BẬC HAI ............................................................................................................ 104
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ............................................................................................... 104
. BÀI TẬP ............................................................................................................................ 106
Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. ........................................ 108
. PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN ......................................................................................... 119
G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG ......... 122
Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai ............................... 122
1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản. ................................................................................... 122
1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai ............................................................. 125
1.2.1. Phương trình trùng phương ......................................................................................... 125
1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích................................................................ 130
1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai. ........................................................................... 131
a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai) ........... 131
b) Phương trình vô tỉ. ........................................................................................................ 132
1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ ............................................................................. 134
Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng .......................................................................................... 134
Dạng 3: Phương trình chứa tham số .......................................................................................... 139
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 170
H. BẤT ĐẲNG THỨC ........................................................................................................... 172
. KIẾN THỨC LÍ THUYẾT .............................................................................................. 172
. BÀI TẬP ............................................................................................................................ 173
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. ...................................... 178
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm ................................. 183
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 190
“Tài liệu tổng hợp từ nhiều nguồn: Sách, đề cương, đề thi.”
Toán Họa:  0986 915 960
4
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
CÁC BÀI TOÁN
1
RÚT GỌN CĂN THỨC
A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC
 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
A nÕu A 0
2
A  A 
1. 
A nÕu A < 0

(Với A 0; B 0)
2.
AB  A. B
A A
 (Với A 0; B 0 )
3.
B B
2
A B  A B
4. (Với B 0)
2
5. (Với A 0; B 0)
A B  A B
2
(Với A 0; B 0)
6.
A B   A B
A 1
 AB
(Với A 0; B 0 )
7.
B B
A A B

8. (Với B 0 )
B
B
C A B
 
C 2
(Với )
9 A 0;A B

2
A B
A B
C A B
 
C
(Với A 0; B 0;A B )
10

A B
A B
3
3 3
3
11 A  A  A
 
Toán Họa:  0986 915 960
Chủ đề
5
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
 CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN
BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ
1. ĐKXĐ: A 0 Ví dụ: x 2018 ĐKXĐ: x 2018
A
A x 4
2. ĐKXĐ: B 0 ĐKXĐ:
Ví dụ: x 7
B x 7
A x1
Ví dụ:
3. ĐKXĐ: B 0 ĐKXĐ: x 3
B x 3
x 0

A x
Ví dụ:  x 3
ĐKXĐ: A 0; B 0
4. ĐKXĐ: 
x 3
B x 3

 A 0  x1 0
 
 
 
B 0 x 2 0
x2

 
A x1
 
ĐKXĐ: 
Ví dụ:
5. ĐKXĐ:

 
x1
A 0 x1 0
B  x 2 

 
 
B 0 x 2 0
 
 
 
Cho a > 0 ta có:

x a
2

x a Ví dụ: x 1

6.
2
x  a

x a


x a


Cho a > 0 ta có:
2
7.
x  42 x 2
Ví dụ:
2
x  a a  x a
 Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương.
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
M  45 245 80 N  5 8 50 2 18 P 125 4 45 3 20 80
A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3
Hướng dẫn giải
2
N  5 8 50 2 18 P 5 512 5 6 5 4 5
M  45 245 4 .5
2 2 2 5 5
 5.2 2 5 2 2.3 2
 3 .5 7 5 4 .5
10 2 5 2 6 2
 3 5 7 5 4 5  6 5
 (10 5 6) 2 9 2
Toán Họa:  0986 915 960
6
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3
2 2
 2 3 3 3 4 3  (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3
 2 3 3 3 .3 10 .3
 2 3 3.3. 310 3
 3 5 3 : 35
 3
Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp
2
dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán. A B  A B (B 0 )
Tự luyện:
B 2 32 5 27 4 8 3 75 C  20 45 2 5
A 3 50 5 18 3 8 . 2
 
2
 Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A  A
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
2 2 2 2 2 2
           
a) 32 2  32 2 b) 52 6  52 6 c) 2 3  1 3
2 2 2 2 2 2
           
d) 3 2  1 2 e) 5 2  5 2 f) 21  25
Giải mẫu:
2 2
   
a) 32 2  32 2 32 2 32 2 32 232 2 6
A nÕu A 0

2
Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A  A 

A nÕu A 0

Kết quả: b) 4 6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 24
2
 Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A  A
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A 4 2 3 7 4 3 .
Hướng dẫn giải
A 3 2 31 4 4 3 3
2 2
 31  2 3
   
 31 2 3
 31 2 3 3
 
.
Toán Họa:  0986 915 960
7
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
2 2
Nhận xét: Các biểu thức 4 2 3 ; 7 4 3 đều có dạng m p n trong đó với a  b  m
p n  2ab. Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một
biểu thức.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B 5 2 6  5 2 6 .
Hướng dẫn giải
Cách 1:
B 5 2 6  5 2 6
2 2
 3 2  3 2
   
 3 2  3 2
 3 2 3 2  2 2 .
 
Cách 2:
B 5 2 6  5 2 6
Ta có:
2
B  5 2 6 5 2 6 2 5 2 6 5 2 6 10 2 1 8
  
Vì B 0 nên B 8  2 2 .
Nhận xét: Các biểu thức 5 2 6 và 5 2 6 là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu
2
thức như vậy, để tính B ta có thể tính B trước rồi sau đó suy ra B.
Bài 1: Rút gọn
a) A 6 2 5 b) B 4 12
c) d)
C 19 8 3 D 5 2 6
Hướng dẫn giải
2
a) A 6 2 5  51  51  51
 
2
b) B 4 12  4 2 3  31  31
 
2
c) C 19 8 3  4 3  4 3  4 3
 
2
d) D 5 2 6  3 2  3 2  3 2
 
Toán Họa:  0986 915 960
8
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
Bài 2: Rút gọn
a) A 4 2 3 b) B 8 2 15
c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13
1
e) E  6 2 5  6 2 5
f) F  7 2 10  20 8
2
Hướng dẫn giải
2
a) A 4 2 3  31  31
 
2
b) B 8 2 15  151  151
 
2
c) C  9 4 5  2 5  5 2
 
1
d) D 7 13 7 13  14 2 13 14 2 13
 
2
2 2
1  
 131  131  2
   
 
2
 
e) E 6 2 5 6 2 5  5 2 51 5 2 51
2 2
 ( 51)  ( 51) | 51| | 51| 51 51 2
2
1 1
f)
F  7 2 10  20 8 5 2  2 5 .2 2
 
2 2
 5 2  2 5 2  5 2 2 5 2  3 5
Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện)
a) b)
52 6  52 6 72 10  72 10
c) 42 3  42 3 d) 248 5  94 5
e) 1712 2  94 2 f) 64 2  2212 2
g) 2 3  2 3 h) 2112 3  3
i) 5 3 2912 5 j) 1330 2 94 2
k) 5 134 3  3 134 3
l) 1 3 134 3  1 3 134 3
Toán Họa:  0986 915 960
9
Các chuyên đề ToánCÁC 9 – CHUYÊN Đồng hành vào 1ĐỀ TOÁN0 9
 Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích
thành nhân tử; …)
Bài 1: Rút gọn:
3 4 1
6 2 5 5 2 6
B  
A 
5 2 6 2 6 5
51 3 2
1 1 1 1 1
C   ... D  7 4 3
1 2 2 3 3 4 99 100 2 3
1 2 2
3 3 4 3 4
F   
E 
2 3 6 3 3
2 31 5 2 3
Hướng dẫn giải
6 2 5 5 2 6 51 3 2
a) A     2
51 3 2 51 3 2
3 5 2 4 6 2
   
3 4 1
b) B      6 5
 
5 2 6 2 6 5 3 4
 5 2 6 2 6 5  2 6
1 1 1 1
c) C   ...
1 2 2 3 3 4 99 100
 21  3 2  4 3  ... 100 99  9
       
1 1 1
2
d) D  7 4 3   4 4 3 3  (2 3)
2 3 2 3 2 3
1 2 3 2 3
  2 3  2 3  2 3 4
1
2 3 (2 3)(2 3)
3 3 4 2 31 3 4 5 2 3
     
3 3 4 3 4
e) E   
2 2
2
2 31 5 2 3
2 3 1 5  2 3
   
2211 3 2613 3
   2 3 2 3
11 13
2 2
 
4 2 3 4 2 3 1
   31  31
   
 
2 2
2
 
Toán Họa:  0986 915 960

onthicaptoc.com Các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10