CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
HÌNH HỌC LỚP 7
CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC
I. Cơ sở lí thuyết
Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến
thức sau:
 Trong tam giác:
o Tổng số đô ba góc trong tam giác bằng .
o Biết hai góc ta xác địn được góc còn lại.
o Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
 Trong tam giác cân: biết một góc ta xác định được hai góc còn lại.
 Trong tam giác vuông:
o Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại.
o Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số
đo bằng .
 Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng .
 Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng .
 Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
 Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là .
 Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là .
 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
 Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía, …
Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý:
1. Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh
đúng.
2. Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác
cân trong hình vẽ.
3. Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc
trong tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lí làm
xuất hiệ các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau. Trong các đường phụ vẽ thêm,
có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, …
4. Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc.
5. Xét đủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (ví dụ góc nhọn, góc tù, …)
(Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập 2 – Vũ Hữu Bình)
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong
mối liên hệ với các góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương
ứng bằng nhau ... rồi suy ra kết quả.
Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể
đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra
được những điểm sáng bất ngờ có thể là một đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ…
từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã học trước đó
mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là
“chìa khoá “ thực thụ để giải quyết dạng toán này.
II. Một số dạng toán và hướng giải quyết
Dạng 1. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều.
Bài toán 1. Cho có có , lấy sao cho .
Tính số đo
Nhận xét
Ta cần tìm thuộc có mà .
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc và góc , mặt khác .
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiệ ở trên liên quan đến tam giác đều.
Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
A
Hướng giải
Cách 1. (Hình 1)
M
Vẽ đều (D, A cùng phía so với BC). Nối A với D.
Ta có (c.c.c) =>
D
B
C
Lại có (c.g.c) =>
=>
A
M
D
Cách 2. (Hình 2)
Vẽ đều (M, D khác phía so với AC).
Ta có (c.g.c) => (1)
=> cân tại D, => (2)
B
C
Từ (1) và (2) suy ra .
Từ hướng giải quyết trên chúng ta thử giải Bài toán1 theo các phương án sau:
 Vẽ đều (C, D khác phía so với AB)
 Vẽ đều (B, D khác phía so với AC)
 Vẽ đều (D, C khác phia so với AB)
…………………………..
Lập luận tương tự ta cũng có kết quả.
Bài toán 2. Cho cân tại A, . Đường cao AH, các điểm E, F theo
thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho . Tính
Hướng giải
A
Vẽ đều (B, D khác phía so với AC)
cân tại A, (gt)
=> mà (gt)
F
E
=> , => cân tại F.
D
=> , mặt khác , FD chung
C
H
B
Do AH là đường cao của tam giác cân BAC
=> , (vì đều), (gt)
=> (g.c.g) => => cân tại A mà
Nhận xét
Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ giả thiết và mối liên hệ được
suy ra từ cân tại F.
Với hướng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải Bài toán 2 theo các cách sau:
 Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.1).
 Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.2).
…………………
A
A
D
F
F
(H.1) D (H.2)
E
E
C
C
H
H B
B
Bài toán 3. (Trích toán nâng cao lớp 7 – Vũ Hữu Bình)
Cho , . Điểm E nằm trong sao cho .
Tính
Nhận xét
Xuất phát từ và đã biết, ta có và do cân
tại E. Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ là tam giác đều.
Hướng giải
A
Vẽ đều (I, B cùng phía so với AE).
Ta có (c.g.c)
I
mà ( đều)
E
C
=> .
B
A
Khai thác
Chúng ta có thể giải Bài toán 3 theo cách sau:
E
C
Vẽ đều (D, E khác phía so với AC)
B
D
 Một số bài toán tương tự
Bài toán 3.1. Cho , . Kẻ tia . Kẻ AD sao cho
(B, D cùng phía so với AC). Tính
Bài toán 3.2. Cho , (B, H khác phía so
với AC). Tính
Bài toán 3.3. Cho . Điểm M nằm
trong tam giác sao cho . Tính
Bài toán 4. Cho . M là điểm nằn trong tam giác sao
cho . Tính
Nhận xét
Xuất phát từ giả thiết và liên hệ giữa góc với ta có
. Từ đó nghĩ đến giải pháp dựng tam giác đều.
Hướng giải
D
Cách 1. (H.1)
A
Vẽ đều (A, D cùng phía so với BC)
Dễ thấy (c.g.c) và
(g.c.g)
C
M
cân tại B,
B
A
Cách 2. (H.2)
C
M
Vẽ (D, A khác phía so với BC)
cân tại A. Từ đó có hướng giải quyết
D
tương tự.
B
Bài toán 5. Cho . Kẻ tia sao cho . Trên tia
lấy điểm D sao cho (A, D khác phía so với BC). Tính
Nhận xét
Ta thấy bài ra xuất hiện góc và mà , đồng thời với
. Điều này làm nảy sinh suy nghĩ về vẽ
A
hình phụ là tam giác đều.
Hướng giải
I
Cách 1
Vẽ đều (I, A cùng phía so với BC)
Ta thấy (c.g.c) và
C
(c.g.c)
B
D x
A
Cách 2
Vẽ đều (E, B khác phía so với AC)
Từ đây ta có cách giải quyết tương tự.
E
C
B
D
x
Dạng 2. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông
bằng nửa cạnh huyền
Bài toán 6. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung
tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau.
Phân tích
+/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia thành ba góc bằng nhau
cân tại A (Đường cao đồng thời là phân giác)
đồng thời là trung tuyến
A
K
+/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến
C
B
M
và liên quan đến HM =
H
HB = BM = MC
Kẻ MK AC tại K. Khi đó có sơ sơ đồ phân tích.
Hướng giải
Vì tại K. Xét có
AH là đường cao ứng với BM
AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì )
Nên cân tại đỉnh A
=> H là trung điểm BM
Xét có
AM là cạnh huyền chung
(gt)
(cạnh huyền – góc nhọn)
(hai cạnh tương ứng)
Xét có , KM = MC
khi đó ta tính được
Vậy
Bài toán 7. Cho . Đường cao AH AH = BC. D là trung điểm
của AB. Tính
Hướng giải
A
D
C
B
H
cân tại C => CD là phân giác =>
Nhận xét
Suy nghĩ chứng minh cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ
vuông có và AH = BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam
giác vuông có một góc bằng .
Bài toán 8. Cho có ba góc nhọn. Về phía ngoài của ta vẽ các tam
giác đều ABD và ACE. I là trực tâm , H là trung điểm BC. Tính
Phân tích
là một nửa tam giác đều
E
=>, vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại)
=> Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF
A
D
Hướng giải
I
Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF
Ta có
C
B
H
Ta có IA = IB và (vì đều)
Mà
F
cân tại I mà
Khai thác
Với cách giải này nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đường phụ như sau:
 Lấy K đối xứng với I qua H (H.1)
 Lấy M đối xứng với B qua I (H.2)
………………………
E
E
M
A
A
D
D
I
I
B
H
C
B
H
C

onthicaptoc.com Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 7