GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn số (thường chọn hao ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn , biết rằngvà các đại lượng đã biết
+ Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: giải hệ phương trình
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem tròn các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số
Bài 1: Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng , biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là và số dư
Lời giải:
Gọi hai số cần tìm là và , trong đó . Số dư trong phép chia cho là nên . Vậy điều kiện của hai ẩn là và .
Tổng hai số bằng nên ta có phương trình
Khi chia cho ta được thương là và số dư nên ta có phương trình
Do đó ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình
Từ (2) thế vào (1), ta được hay , hay . Từ đó ta được
Các giá trị và thỏa mãn các điều kiện của ẩn. Vậy hai số cần tìm là và
Bài 2: Tỉ số của hai số là . Nếu giảm số thứ nhất đi và tăng số nhỏ thêm thì tỉ số mới là . Tìm hai số đó
Lời giải:
Gọi số bé là và số lớn là
Tỉ số của hai số là thì ta có (1)
Nếu giảm số thứ nhất đi và tăng số nhỏ thêm thì tỉ số mới là , ta có phwuowng trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy hai số cần tìm là và
Bài 3: Một trường trung học cơ sở mua quyển vở để làm phần thưởng cho học sinh. Giá bán của mỗi quyển vở loại thứ nhất, loại thứ hai lần lượt là đồng, đồng. Hỏi nhà trường đã mua loại bao nhiêu quyển vở? Biết rằng số tiền nhà trường đã dùng để mua quyển vở là
Lời giải:
Gọi số quyển vở loại thứ nhất , loại thứ hai lần lượt là
Theo giải thiết, ta có phương trình
Mặt khác, ta có phương trình : , tức là
Ta có hệ phương trình
Nhân phương trình (1) cho , ta được
Trừ từng vế phương trình (3) cho phương trình (2), ta được
Thay giá trị vào phương trình (1), ta được:
, tức là
Do hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Vậy nhà trường đã mua quyển vở loại thứ nhất và quyển vở loại thứ hai
Bài 4: Một nhóm khách vào của hàng bán trà sữa. Nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa gồm trà sữa trân chấu và trà sữa phô mai.Giá mỗi cốc trà sữa trân châu, trà sữa phô mai lần lượt là đồng và đồng. Tổng số tiwwnf nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là đồng. Hỏi nhóm khách hàng đó mua bao nhiêu cốc tà sữa mỗi loại?
Lời giải:
Gọi (cốc) lần lượt là số cốc trà sữa trân châu và trà sữa phô mai mà nhóm khách đã mua ()
Vì nhóm khách đã mua 6 cốc trà sữa nên ta có phương trình:
Lại vì nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là đồng nên ta lại có phương trình
hay
Do đó, ta có hệ phương trình
Từ phương trình (1) ta có:
Thế (3) và (2) ta được:

Thay giá trị vào phương trình (3) ta có:
Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy nhóm khách hàng đó đã mua cốc trà sữa trân châu và cốc trà sữa phô mai
Bài 5: Hai ngăn của một kệ sách có tổng cộng cuốn sách. Nếu chuyển cuốn sách từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì số sách ở ngăn thứ hai gấp 3 lần số sách ngăn thứ nhất. Tính số sách ở mỗi ngăn lúc đầu
Lời giải:
Gọi lần lượt là số sách ở ngăn thứ nhất và ngăn thứ hai lúc đầu ( )
Tổng số sách ở hai ngăn là (1)
Sau khi chuyển thì số sách ở ngăn thứ hai gấp lần số sách ở ngăn thứ nhất, nên ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được (thỏa mãn)
Vậy lúc đầu ngăn thứ nhất có cuốn sách, ngăn thứ hai có cuốn sách
Bài 6: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là m. Nếu tăng chiều dài thêm m và tăng chiều rộng thêm m thì diện tích tăng thêm m. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó
Lời giải:
Gọi chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là m, m
Điều kiện:
Vì mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi m nên ta có phương trình

Diện tích mảnh vườn lúc đầu là m
Khi tăng chiều dài thêm m và tăng chiều rộng thêm m thì diện tích tăng thêm m, ta được phương trình là

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Ta có :





Vậy chiều dài ban đầu mảnh vườn là m, chiều rộng ban đâù của mảnh vườn là m
Bài 7: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích tăng thêm m. Nếu giảm chiều dài và chiều rộng đi m thì diện tích giảm đi . Tính diện tích của thửa ruộng đó
Lời giải:
Gọi chiều dài thửa ruộng là (m) () và chiều rộng (m) ()
nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích tăng thêm m
Ta có phương trình (1)
Nếu giảm chiều dài và chiều rộng đi m thì diện tích giảm đi m
Ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy diện tích của thửa ruộng là (m)
Bài 8: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức và tổ II vượt mức so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Lời giải:
Gọi số chi tiết máy của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là (chi tiết, )
Gọi số chi tiết máy của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là ( chi tiết, )
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được chi tiết máy có phương trình (1)
Tháng thứ hai tổ I vượt mức và tổ II vượt mức so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được chi tiết máy, ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta được hệ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy trong tháng thứ nhất tổ I sản xuất được chi tiết, tổ II sản xuất được chi tiết máy
Bài 9: Hai kho chứa tấn hàng. Nếu chuyển tấn từ kho I sang kho II thic số hàng kho II bằng số hàng kho I. Tính số hàng mỗi kho
Lời giải:
Gọi số hàng trong kho I là (tấn, ); số hàng trong kho II là (tấn, )
Hai kho chứa tấn hàng nên ta có phương trình:
(1)
Nếu chuyển tấn từ kho I sang kho II thic số hàng kho II bằng số hàng kho I ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy trong kho I có tấn hàng, kho II có tấn hàng.
Dạng 2: Toán liên quan đến chữ số
I. Phương pháp giải
Viết số dưới dạng thập phân

Với điều kiện: và
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng và nếu viết số đó théo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu đơn vị
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là , chữ số hàng đơn vị là :
Theo bài ra ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là
Bài 2: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng ssown vị là . Nếu viết thêm chữ số xem vào giữa thì được số mới lớn hơn số đã cho là đơn vị. Tìm số đã cho
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là , chữ số hàng đơn vị là
Điều kiện:
Theo bài ra ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là
Bài 3: Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng của chữ số hàng đơn bị và hai lần chữ số hàng chục bằng . Ngoài ra, nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị vho nhau thì sẽ được số mới nhỏ hơn số ban đầu đơn vị
Lời giải:
Gọi số có hai chữ số là với
Tổng của chữ số hàng đơn bị và hai lần chữ số hàng chục bằng , ta được
(1)
Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mới () nhỏ hơn số ban đầu đơn vị, ta được
(2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là
Bài 4: Tìm số có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị đơn vị. Nếu viết chữ số vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng đơn vị
Lời giải:
Gọi số có hai chữ số là với
Với giải thiết
Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị đơn vị, ta được
(1)
Khi viết chữ số vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng đơn vị, ta được
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy số cần tìm là .
Dạng 3: Toán làm chung công việc
I. Phương pháp giải
+ Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia là toàn bộ công việc, phần việc trong một đơn thời gian; thời gian
+ Nếu một đội làm xong trong ngày thì một ngày đội đó làm được công việc
+ Xem toàn bộ công việc là
II. Bài toán
Bài 1: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao nhiêu lâu?(Gỉa sử năng suất của mỗi đội là không đổi).
Lời giải:
Gọi là số ngày để đội I hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình; là số ngày để đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình. Điều kiện và
Mỗi ngày đội I làm được (công việc) và đội II làm được (công việc)
Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình hay (1)
Hai đội làm cung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung thì được (công việc). Ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (I)
Đặt và thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là và (II)
Thế vào phương trình (4) ta được hay , suy ra
Do đó Từ đó, ta có
suy ra suy ra
Các giá trị tìm được của và thỏa mãn điều kiện của ẩn
Trả lời: Nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong 40 ngày, còn đội II làm xong trong 60 ngày
Bài 2: Hai công nhân cùng làm một công việc trong h thì xong. Nếu người thứ nhất là h và người thứ hai là h thì chỉ hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
Lời giải:
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc là (giờ, ); người thứ hai lầm một mình hoàn thành công việc là (giờ, )
Trong h người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm được công việc
Hai người làm chung h thì xong, ta có phương trình
(1)
Nếu người thứ nhất là h và người thứ hai là h thì chỉ hoàn thành công việc, ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nếu làm riêng thì người tứ nhất hoàn thành công việc rong 36h và người thứ hai hoàn thành công việc trong 36h
Bài 3: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong phút và vòi thứ hai trong phút thì chỉ được bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu phút?
Lời giải:
Gọi (phút) lần lượt là thời gian mỗi vòi chảy đầy bể nếu mở riêng từng vòi
Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy được (bể) và vòi thứ hai chảy được (bể)
Hai vòi cùng chảy vào bể thì sau giờ phút phút thù đầy bể nên
Nên vòi thứ nhất chảy trong phút và vòi thứ hau chảy trong phút thì chảy được bể nên
Ta có hệ phương trình
Đặt ẩn phụ và , ta đưa về hệ phương trình , giải hệ phương trình ta được
tức là suy ra
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong phút và người thứ hai hoàn thành công việc trong phút
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau giờ phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I chảy trong phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II chảy trong phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Lời giải:
Ta có giờ phút h; phút h; phút h
Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là (h; )
Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là (h; )
Hai vòi cùng chảy thì sau giờ phút sẽ đầy bể, ta có phương trình
(1)
Vòi I chảy trong phút và vòi thứ II chảy trong phút thì được bể ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nếu chảy riêng thì vòi I chảy đầy bể trong h, vòi II chảy đầy bể trong h
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và sau giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầy chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu sẽ đầy bể
Lời giải:
Gọi và là thời gian để vòi thứ nhất và vòi thứ hau chảy một mình thì đầy bể ( , đơn vị giờ)
Trong giờ vòi thứ nhất chảy được phần của bể
Trong giờ vòi thứ hai chảy được phần của bể
Trong giờ cả hai vòi chảy được phần của bể
Hai vòi cùng chảy thì trong giờ sẽ đầy bể, nên mỗi giờ hai vòi chảy được (bể).Do đó, ta có phương trình (1)
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và sau giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới đầy bể.Do đó, ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình
Vậy nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau giờ sẽ đầy bể
Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau giờ phút sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong phút và vòi thứ hai chảy trong phút thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể?
Lời giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Thiết lập ẩn thông qua giá trị cần tìm
Gọi là thời gian để vòi I chảy một mình cho đầy bể, điều kiện .Suy ra, mỗi giờ vòi I chảy được bể
Gọi là thời gian để vòi II chảy một mình cho đầy bể, điều kiện .Suy ra, mỗi giờ vòi II chảy được bể
Ta thực hiện đổi đơn vị
giờ phút giờ; phút giờ; phút giờ
Với giả thiết
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau giờ phút sẽ đầy,ta được
(1)
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong phút và vòi thứ hai chảy trong phút thì đầy bể, ta được
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
(I)
Đặt
Khi đó, hệ có dạng:
Vậy vòi I chảy trong giờ sẽ đầy bể, vòi II chảy trong giờ sẽ đầy bể
Cách 2: Thiết lập ẩn thông qua giá trị trung gian
Giả sử mỗi giờ vòi I chảy được phần bể, điều kiện
Giả sử mỗi giờ vòi II chảy được phần bể, điều kiện
Với giải thiết
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau giờ phút sẽ đầy,ta được
(3)
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong phút và vòi thứ hai chảy trong phút thì đầy bể, ta được
(4)
Từ (3) và (4), ta có hệ phương trình
Vậy vòi I chảy trong giờ sẽ đầy bể, vòi II chảy trong giờ sẽ đầy bể.
Dạng 4: Toán chuyển động
I. Phương pháp giải
+ Toán chuyển động có ba đại lượng tham gia: vận tốc (), thời gian (), quãng đường ( )
+
II. Bài toán
Bài 1: Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài km. Sau khi xe khách xuất phát giờ phút , một xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là km.
Lời giải:
Gọi (km/h) là vận tốc của xe tải và (km/h) là vận tốc của xe khách ()
Do mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là km nên
Sau khi xe khách xuất phát giờ phút , một xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó phút nên tổng quãng đường của hai xe là . Từ đó, có phương trình
Từ đó, ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình trên, ta có nghiệm là
Vậy vận tốc của xe khách là(km/h), vận tốc của xe tải (km/h)
Bài 2: Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm km/h thì thời gian rút ngắn được giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc đí km/h thì thời gian tăng giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô
Lời giải:
Gọi vận tốc dự định của ca nô là (km/h; ) và thời gian dự định đi từ A đến B là (giờ, )
Nếu ca nô tăng vận tốc thêm km/h thì thời gian rút ngắn được giờ , ta có phương trình
(1)
Nếu ca nô giảm vận tốc đí km/h thì thời gian tăng giờ, ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
(thỏa mãn điều kiện)
Vạy vận tốc dự định của can nô là km/h và thời gian dự định của ca nô là giờ
Bài 3: Một ca nô chạy trên sông trong giờ xuôi dòng được km và ngược dòng km. Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. (Biết vận tốc riêng của ca nô; vận tốc dòng nước không đổi)
Lời giải:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là (km/h; ) và vận tốc của dòng nước là (km/h )
Suy ra vận tốc xuôi dòng của ca nô là (km/h) và vận tốc ngược dòng của ca nô là (km/h)
Ca nô chạy trong giờ xuôi dòng được km và ngược dòng được km. có phương trình
(1)
Ca nô chạy trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km, ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Đặt ta có
Giải hệ ta có (thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là km/h và vận tốc của dòng nước là km/h
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc km/h sẽ tới B chậm mất nửa giờ. Nếu đi với vận tốc km/h thì sẽ đến B sớm hơn phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định
Lời giải:
Ta có : phút giờ
Gọi quãng đường là (km; ) và thời gian dự định đi từ A đến B là (h; )
Nếu đi với vận tốc km/h sẽ tới B chậm mất nửa giờ, ta có phương trình
(1)
Nếu đi với vận tốc km/h thì sẽ đến B sớm hơn phút, ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy quãng đường AB dài km và thời gian dự định đi từ A đến B hết giờ
Bài 5: Lúc giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc km/h. Sau đó, lúc giờ phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ ?
Lời giải:
Ta thực hiện đổi đơn vị : giờ phút (giờ)
Gọi là thời gian hai người gặp nhau, điều kiện
Gọi là độ dài quãng đường từ A tới điểm gặp nhau, điều kiện
Với giải thiết
Người thứ nhất đi với vận tốc km/h và xuất phát lúc giờ, ta được
(1)
Người thứ hai đi với vận tốc km/h và xuất phát từ lúc giờ phút, ta được
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy họ gặp nhau lúc giờ phút
Bài 6: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau ở một địa điểm cách A là km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kiaphút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc mỗi người
Lời giải:
Đổi phút giờ
Gọi là vận tốc của người đi nhanh hơn (, đơn vị km/h)
Gọi là vận tốc của người đi chậm hơn (, đơn vị km/h)
Hai người khởi khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau ở một địa điểm cách A là km (nghĩa là cách B là km). Lúc đó:
Người đi nhanh mất (h)
Người đi chậm mất (h)
Do đó, ta có phương trình (1)
Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kiaphút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Lúc đó:
Người đi nhanh mất (h)
Người đi chậm mất (h)
Do đó, ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy vân tốc của người đi nhanh là km/h và vận tốc của người đi chậm là km/h
Bài 7: Hai canô cùng khở hành từ A đến B cách nhau km, đi ngược chiều nhau. Sau giờ phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi cano. Biết rằng cano đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược km/h và vận tốc riêng của nước là km/h
Lời giải:
Ta thực hiện đổi đơn vị : giờ phút giờ
Gọi là vận tốc riêng của cano đi xuôi dòng, điều kiện . Do đó, khi xuôi dòng nó đi với vận tốc km/h
Gọi là vận tốc riêng của cano đi ngược dòng, điều kiện . Do đó, khi xuôi dòng nó đi với vận tốc km/h
Với giải thiết
Vận tốc riêng của cano đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược km/h, ta được (1)
Sau giờ phút hai cano gặp nhau, ta được:
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy vận tốc riêng của cano đi xuôi bằng km/h, vận tốc riêng của cano đi ngược bằng km/h
Bài 8: Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính cm, xuất phá cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ giây chúng lại gặp nhau, Tính vận tốc mỗi vật
Lời giải:
Gọi và là vận tốc các vật (, đơn vị cm/s)
Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ giây chúng lại gặp nhau
Do đó, ta có
Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ giây chúng lại gặp nhau
Do đó, ta có
Ta có hệ phương trình
Vậy vận tốc của vật thứ nhất là m/s, vận tốc vật thứ hai là cm/s.
Dạng 5: Toán có nội dung lí, hóa
Bài 1: Tìm các hệ số để cân bằng phản ứng hóa học
Lời giải:
Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và O, ta có
Từ phương trình (1) ta suy ra (3)
Thế (3) vào (2), ta được

Thay giá trị vào phương trình (3). Ta có:

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy ta có phương trình sau cân bằng
Bài 2: Cân bằng phản ứng hóa học sau bằng phương pháp đại số

Lời giải:
Gọi lần lượt là hệ số của và thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

Cân bằng số nguyên tử của , số nguyên tử của ở cả hai vế ta được hệ

Giải hệ phương trình này , ta được
Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta được

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học trên với 2, ta được

Bài 3: Cân bằng phương trình phản ứng hóa học sau bằng phương pháp đại số

Lời giải:
Gọi lần lượt là hệ số của và thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

Cân bằng số nguyên tử của , số nguyên tử của ở cả hai vế ta được hệ

Giải hệ phương trình này , ta được
Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta được

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học trên với 2, ta được

Bài 4: Có hai loại quặng chứa sắt và sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được tấn quặng chứa sắt
Lời giải:
Gọi khối lượng quặng chứa sắt và sắt là (tấn, )
Theo bài ra ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy đem tấn loại quặng chứa sắt, tấn loại quặng chứa sắt
Bài 5: Người ta cho thêm kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ . Sau đó lại cho thêm kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là . Tính mồng độ axit trong dung dịch A
Lời giải:
Gọi khối lượng axit trong dung dich A là (kg, ) và khối lượng nước trong dung dịch A là (kg, )
Cho thêm kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ ta có phương trình
(1)
Cho thêm kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là , ta có phương trình
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho một số gồm hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó ta được số mới hơn số cũ là . Tổng của số đã cho và một số mới tạo thành là . Tìm số đã cho.
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là , chữ số hàng đơn vị là
Điều kiện:
Theo bài ra ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số đã cho là
Bài 2: Tìm hai số biết tổng của chúng là và số lớn hơn số bé là
Lời giải:
Gọi số lớn là và số bé là ()
Theo bài ra ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hai số tự nhiên là
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng , và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được số lớn hơn là đơn vị
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là
Tổng chữ số đó bằng nên
Viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được số lớn hơn là đơn vị nên hay
Ta có hệ phương trình suy ra
Vậy số tự nhiên cần tìm là
Bài 4: Hai người thợ cùng làm công việc trong giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong giờ rồi người thứ hai làm tiếp giờ thì hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu?
Lời giải:
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là (giờ, ); người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là (giờ, )
Theo bài ra ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong giờ, người thứ hai hoàn thành công việc trong giờ
Bài 5: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức và tổ II đã vượt mức . Vì vậy, trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
Lời giải:
Gọi số sản phẩm tổ I được giao là (sản phẩm, ) và số sản phẩm tổ II được giao là (sản phẩm; )
Theo bài ra ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy sản phẩm tổ I được giao là sản phẩm; tổ II được giao là sản phẩm
Bài 6: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong giờ. Sau giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?
Lời giải:
Gọi thời gian tổ I làm một mình hoàn thành công việc là (giờ, ) và tổ II làm một mình hoàn thành công việc là (giờ, )
Theo bài ra ta có hệ phương trình ( thỏa mãn điều kiện)
Bài 7: Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường km hết giờ phút và ngược dòng quãng đường đó hết giờ phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tôc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động
Lời giải:
Gọi (km/h) là tốc độ dòng nước và (km/h) là tốc độ của ca nô khi nước yên lặng ()
Khi đó, tốc độ đi xuôi dòng là và tốc độ đi ngược dòng là
Thời gian đi xuôi dòng là giờ phút, nên
hay (1)
Thời gian đi ngược dòng quãng đường đó hết giờ phút, nên
hay (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình, ta được
Vậy tốc độ của dòng nước là km/h và tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là km/h
Bài 8: Một ca nô xuôi dòng km và ngược dòng km mất giờ. Một lần khác, ca nô xuôi dòng km và ngược dòng km thì mất phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.(Biết vận tốc riêng của ca nô, vận tốc của dòng nước không đổi)
Lời giải:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là (km/h, ) và vận tốc của dòng nước là (km/h, )
Theo bài ra ta có hệ phương trình
Đặt ta có:
Giải hệ ta được ( thỏa mãn điều kiện)
Bài 9: Một ô tô di từ Hà Nội và dự định đến Huế lúc giờ phút. Nếu xe đi với vận tốc km/h thì sẽ đến Huế chậm hơn so với dự định là giờ. Nếu xe chạy với vận tốc km/h thì xe sẽ đến Huế sớm hơn giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường Hà Nội -Huế và thời gian xe xuất phát từ Hà Nội
Lời giải:
Gọi quãng đường Hà Nội-Huế là (km/h, )
thời gian ô tô dự định đi là (giờ, )
Theo bài ra ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện)
Vậy quãng đường Hà Nội-Huế là km và thời gian xe xuất phát từ Hà Nội là
giờ phút- giờ giờ phút
Bài 10: Một trường tổ chức cho học sinh đi tham quan bằng ô tô. Nếu xếp mỗi xe học sinh thì còn thừa học sinh. Nếu xếp mỗi xe học sinh thì xe cuối cùng thiếu học sinh. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô?
Lời giải:
Gọi số học sinh đi tham quan là (người; ) và số ô tô là (o tô; )
Theo bài ra ta có hệ phương trình ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy số hóc inh đi tham quan là học sinh và số ô tô là
Bài 11: Cho một hình chữ nhật .Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm cm. Nếu giảm chiều dài đi cm, chiều rộng đi cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm đi cm.Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật
Lời giải:
GOị chiều dài của hình chữ nhật là (cm, ) và chiều rộng là (cm, )
Theo bài ra ta có hệ phương trình ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là cm, chiều rộng là cm
Bài 12: Điểm trung bình của một vận động viên bắn súng sau lần bắn là điểm.Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu “?”)
Điểm số mỗi lần bắn
10
9
8
7
6

onthicaptoc.com Bai 3 GIAI TOAN BANG CACH LAP HPT