CÂU 5 ROIRACHSG9HP318 QN
1QN.Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10. Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số trùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
DAPAN
Trên hình vuông con kích thước 2x2 có không quá 1 số chia hết cho 2, có không quá một số chia hết cho 3.
- Lát kín bảng bởi 25 hình vuông , kích thước 2x2 có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 3. Do đó có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia hết cho 3, vì vậy chúng phải là một trong các số 1; 5; 7.
Theo nguyên lý Đich-Le có một số xuất hiện ít nhất 17 lần .
2QN. Trên mặt phẳng cho điểm, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô 2016 điểm bẳng màu đỏ và tô 2018 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng: bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2018 đoạn thẳng không có điểm nào chung.
Ta nhận thấy rằng luôn tồn tại cách nối 2018 cặp điểm với
nhau bằng 2018 đoạn thẳng và vì có 2018 cặp điểm nên số cách nối là hữu hạn. Và hiển nhiên là trong hữu hạn cách nối đó ta luôn tìm ra được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất. Ta chứng minh cách nối đó là cách mà chúng ta cần tìm. Thật vậy: Giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY cắt nhau tại điểm O (giả sử A và B tô màu đỏ, còn X và Y tô màu xanh).

Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn AY và BX, các đoạn còn lại giữ nguyên thì cách nối này có tính chất:
AY + BX < (AO + OY)+ (BO + OX) = (AO + OX) + (BO + OY).
Suy ra: AY + BX < AX + BY. Như vậy, với việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng AY và BX ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài đoạn thẳng là nhỏ hơn. Vô lí, vì trái với giả thiết là đã chọn cách nối có tổng các độ dài là bé nhất. Điều vô lí đó chứng tỏ cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng ngắn nhất là không có điểm chung.
3QN. Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm mà đường tròn đi qua chúng không chứa trong một điểm nào khác.
Giả sử trong các điểm đã cho tồn tại 2 điểm A1; A2 sao cho tất cả các điểm còn lại thuộc một nửa mặt phẳng bờ A1A2.
Ta có, trong tập hợp n-2 góc có dạng trong đó Ai là một trong n- 2 điểm còn lại.
Do số góc là hữu hạn, nên tồn tại góc lớn nhất.
Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác A1AkA2 không chứ trong bất kì một điểm nào khác.
4QN. Trongmộtgiảibóngđácó 12 độithamdự, thiđấuvòngtrònmộtlượt (haiđộibấtkỳthiđấuvớinhauđúngmộttrận).
a) Chứngminhrằngsau 4 vòngđấu (mỗiđộithiđấuđúng 4 trận) luôntìmđượcbađộibóngđôimộtchưathiđấuvớinhau.
b) Khẳngđịnhtrêncònđúngkhôngnếucácđộiđãthiđấu 5 trận?
Giả sử kếtluậncủabàitoán là sai, tức là trongbađộibấtkỳ thì có haiđộiđã đấuvớinhaurồi. Giả sử đội 1 đã gặpcácđội 2, 3, 4, 5. Xétcácbộ (1; 6; i) với i {7; 8; 9;…;12}, trongcácbộ nàyphải có ítnhấtmộtcặpđã đấuvớinhau, tuynhiên 1 khônggặp 6 hay i nên 6 gặp i vớimọi i {7; 8; 9;…;12} , vôlý vì đội 6 nhưthế đã đấuhơn 4 trận. Vậy có đpcm.
Kếtluậnkhôngđúng. Chia 12 độithành 2 nhóm, mỗinhóm 6 đội. Trongmỗinhómnày, chotấtcả cácđộiđôimộtđã thiđấuvớinhau. Lúcnàyrõ ràngmỗiđộiđã đấu 5 trận. Khixét 3 độibấtkỳ, phải có 2 độithuộccùngmộtnhóm, do đó 2 độinàyđã đấuvớinhau. Ta có phản ví dụ.
Có thể giảiquyếtđơngiảnhơnchocâu a. nhưsau:
Do mỗiđộiđã đấu 4 trậnnêntồntạihaiđội A, B chưađấuvớinhau. Trongcácđộicònlại, vì A và B chỉ đấu 3 trậnvới họ nêntổngsố trậncủa A, B vớicácđộinàynhiềunhất là 6 và do đó, tồntạiđội C trongsố cácđộicònlạichưađấuvớicả A và B. Ta có A, B, C là bộ bađộiđôimộtchưađấuvớinhau.
5QN. Bên trong đường tròn tâm O bán kính R = 1 có 8 điểm phân biệt. Chứng minh rằng; tồn tại ít nhất hai điểm trong số chúng mà khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn 1.
Nhận xét: Ít nhất 7 điểm trong số 8 điểm đã cho là khác tâm O. Gọi các điểm đó là
Ta có góc nhỏ nhất trong số các góc (
là không lớn hơn Giả sử là bé nhất
Xét vì hoặc hoặc
hoặc hoặc . Mà hoặc
6QN. Trên một hòn đảo có một loài tắc kè sinh sống, chúng có ba màu: xanh, đỏ và tím. Tất cả có 2017 con màu xanh, 2018 con màu đỏ và 2019 con màu tím. Để lẩn chốn và săn mồi thì loài tắc kè này biến đổi màu như sau: Nếu hai con tắc kè khác màu gặp nhau thì chúng đồng thời đổi màu sang màu thứ ba. Nếu hai con tắc kè cùng màu gặp nhau thì giữ nguyên màu. Có khi nào tất cả các con tắc kè trên trở thành cùng màu được không ? Vì sao ?
+ Nếu một con tắc kè xanh gặp một con tắc kè đỏ thì cả hai con tắc kè này chuyển thành màu tím nên số tắc kè lúc này là: 2016 con xanh, 2017 con đỏ và 2021 con tím. Lúc này các số dư của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0, 1, 2.
+ Nếu một con tắc kè xanh gặp một con tắc kè tím thì hai con tắc kè này chuyển thành màu đỏ nên số tắc kè lúc này là: 2016 con xanh, 2020 con đỏ và 2018 con tím. Lúc này các số dư của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0,1, 2 như vậy vẫn đầy đủ ba số dư đã có ban đầu.
+ Nếu một con tắc kè đỏ gặp một con tắc kè tím thì hai con tắc kè này chuyển thành màu xanh nên số tắc kè lúc này là: 2019 con xanh, 2017 con đỏ và 2018 con tím. Lúc này các số dư của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0, 1, 2 như vậy vẫn đầy đủ ba số dư ban đầu. Lập luận trên dẫn đến số dư của các số tắc kè chia cho 3 có đầy đủ ba số dư 0, 1, 2. Mà số dư khi chia 3 số 2017, 2018, 2019 cho 3 lần lượt là : 1, 2, 0.
Mặt khác, tổng tất cả tắc kè trên đảo là 2017 + 2018 + 2019 = 6054 là một số chia hết cho 3. Nếu tất cả tắc kè đều cùng một màu thì số dư của lượng tắc kè xanh, đỏ và tím chia cho 3 là 0, 0, 0. Điều này vô lí nên không thể có trường hợp tất cả tắc kè trên đảo có cùng màu.
7QN. Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm.
Xét điểm A và hình tròn (C1) có tâm A, bán kính bằng 1.
- Nếu tất cả 98 điểm còn lại đều nằm trong (C1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh.
- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C1).
Ta có: AB > 1 (1)
Vẽ hình tròn (C2) tâm B, bán kính bằng 1.
+ Giả sử C là một điểm bất kì khác A và B. Khi đó điểm C thuộc một trong hai hình tròn
(C1) và (C2). Thật vậy, giả sử C không thuộc hai hình tròn nói trên.
Suy ra: AC > 1 và BC > 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra bộ 3 điểm A, B, C không có hai điểm nào có khoảng cách nhỏ hơn 1 (vô lí vì trái với giả thiết).
Chứng tỏ CÎ (C1) hoặc CÎ (C2). Như vậy 99 điểm đã cho đều thuộc (C1) và (C2).
Mặt khác 99 = 49.2 + 1 nên theo nguyên tắc Dirichle ắt phải có một hình tròn chứa không ít hơn 50 điểm.
8QN. Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị). Đặt 22 đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ. Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau.
DAPAN
Ta điền các số như hình bên.
1
2
3
4
5
6
7
7
1
2
3
4
5
6
6
7
1
2
3
4
5
5
6
7
1
2
3
4
4
5
6
7
1
2
3
3
4
5
6
7
1
2
2
3
4
5
6
7
1
Xem mỗi lồng chim gồm các ô được điền cùng số. Như vậy ta có 7 lồng chim. Khi đặt 22 đấu thủ vào 7 lồng thì sẽ có một lồng chứa ít nhất 4 đấu thủ. nhớ rằng các đấu thủ trong cùng một lồng đôi một không tấn công lẫn nhau. Đpcm.
9QN. Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.
DAPAN
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân.
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân.
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân.
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu.
0,25
0,25
0,25
0,25
10QN. Bên trong một hình vuông có cạnh bằng 8cm, lấy 100 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 100 điểm vừa lấy, có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1cm.
DAPAN
Gọi ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8cm.
Giả sử 100 điểm được vẽ bên trong hình vuông ABCD là A1, A2, …A100. Dựng 100 đường tròn có tâm Ai có cùng bán kính bằng 1cm, kí hiệu mỗi đường tròn là (Ai) (i = 1, 2, ..100).
Tổng diện tích của 100 đường tròn vừa vẽ là 100πcm2.
Vẽ hình vuông MNPQ có cùng tâm với hình vuông ABCD (như hình vẽ), có MN // AB và MN = 10cm.
Khi đó tất cả các đường tròn đã vẽ ở trên đều nằm bên trong hình vuông MNPQ và hình vuông MNPQ có diện tích bằng S1 = 100cm2.
Do π> 3 nên S > 3S1, suy ra tồn tại điểm O là điểm trong của ít nhất 4 đường tròn trong số các đường tròn (Ai). Giả sử 4 đường tròn này là (A1), (A2), (A3), (A4).
Khi đó 4 điểm A1, A2, A3, A4 sẽ nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính bằng 1cm.
11QN. Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn và 6 sách Anh văn. Có bao nhiêu cách sắp xếp lên kệ sách dài nếu các cuốn sách cùng loại xếp liền nhau.
DAPAN
Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài thì có 3! cách
Trong mỗi nhóm ta hoán vị các sách cùng loại với nhau thì
sách Toán có 2! cách
Sách Văn có 4! cách
Sách Anh văn có 6! cách
Vậy có 3!.2!.4!.6! = 207360 cách sắp xếp.
0,25
0,5
0,25
12QN. Cho hình vuông 1 đơn vị chứa 101 điểm. Chứng minh rằng có ít nhất 5 điểm thuộc một đường tròn có bán kính nhỏ hơn .
DAPAN
Chia hình vuông đơn vị thành 25 hình vuông có cạnh là
Xếp 101 điểm vào 25 hình vuông. Theo nguyên lí Đrichlê tồn tại ít nhất 1 hình vuông chứa 5 điểm
0,25
Giả sử 5 điểm thuộc hình vuông ABCD.
Gọi I là giao điểm của AC và BD
0,25
ABCD nằm trong (I, IA) mà
0,25
Vậy có ít nhất 5 điểm thuộc một đường tròn có bán kính nhỏ hơn .
0,25
13QN.Sau một bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Hệ thống camera tự động đếm thấy có tất cả 66 cái bắt tay.
Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?
DAPAN
Gọi số người trong phòng cần tìm là n (người) thì mỗi người sẽ bắt tay với n-1 người còn lại.
Mỗi “Cái bắt tay” phải có 2 người với nhau (2 lần )
Như vậy n người sẽ có n(n-1) lần bắt tay. Và số “Cái bắt tay” là



Vậy số người trong phòng là 12 người
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
14QN. Có 9 chiếc bàn vừa màu xanh, vừa màu đỏ xếp thành một hàng dọc cách đều nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một chiếc bàn được xếp cách 2 bàn cùng màu với mình một khoảng cách như nhau.
DAP AN
5
(1đ)
+ Gäi tªn theo thø tù 9 chiÕc bµn lµ B1,B2,B3, B4,B5,B6 B7,B8,B9. Gi¶ sö kh«ng cã bµn nµo ®­îc xÕp c¸ch ®Òu hai bµn cïng mµu víi m×nh (*).
+ Kh«ng mÊt tæng qu¸t, gi¶ sö B5 lµ bµn mµu xanh, khi ®ã B4 vµ B6 kh«ng thÓ cïng mµu xanh. Cã hai kh¶ n¨ng:
- B4 vµ B6 cïng mµu ®á. Do ®ã B4 c¸ch ®Òu B2 vµ B6, cßn B6 c¸ch ®Òu B4 vµ B8 nªn B2 vµ B8 cïng mµu xanh, suy ra B5 ®­îc xÕp c¸ch ®Òu hai bµn cïng mµu xanh lµ B2 vµ B8, tr¸i víi gi¶ thiÕt (*).
- B4 vµ B6 kh¸c mµu, kh«ng mÊt tæng qu¸t, gi¶ sö B4 mµu xanh cßn B6 mµu ®á. Do B4 c¸ch ®Òu B3 vµ B5 nªn B3 lµ bµn mµu ®á. Do B6 c¸ch ®Òu B3 vµ B9 nªn B9 lµ bµn mµu xanh. Do B5 c¸ch ®Òu B1 vµ B9 nªn B1 mµu ®á. Do B2 c¸ch ®Òu B1 vµ B3 nªn B2 mµu xanh. Do B5 c¸ch ®Òu B2 vµ B8 nªn B8 cã mµu ®á. Do B6 vµ B8 cïng cã mµu ®á nªn B7 cã mµu xanh. Nh­ vËy B7 ®­îc xÕp c¸ch ®Òu hai bµn cïng mµu xanh lµ B5 vµ B9, tr¸i víi gi¶ thiÕt (*)
VËy c¶ hai kh¶ n¨ng trªn ®Òu dÉn ®Õn v« lý nªn ®iÒu gi¶ sö (*) lµ sai. Nh­ vËy cã Ýt nhÊt mét bµn ®­îc xÕp c¸ch ®Òu víi hai bµn cïng mµu víi m×nh.
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
15QN. Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
ĐAPAN
5/
(1đ)
Không tồn tại 16 số như vậy.
Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ.
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.
0.25
0.25
0.25
Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này:

Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó
không là ước của tức là không chia hết cho 8
Nhưng trong 9 số chỉ có ba số lẻ nên 8 số bất kỳ trong 9 số luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra
0.25
16QN. Cho A làmộtsốnguyêndương. Biếtrằngtrongbamệnhđềsauđây P, Q, R chỉcóduynhấtmộtmệnhđềsai. Tìm A?
P = “ A + 51 làbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên”
Q = “ A cóchữsốtậncùng là 1”
R = “ A- 38 làbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên”.
DAPAN
Nếumệnhđề Q đúng => A+51 tậncùnglà 2 => P làmệnhđềsai.
Khiđó A – 38 tậncùnglà 3 => R khônglàbìnhphươngcủamộtsốtựnhiên => R làmệnhđềsai
VậyQlàmệnhđềsai
0.25 điểm
0.25 điểm
VậyQlàmệnhđềsaivà P, Rlàhaimệnhđềđúng.
Ta có
0.5 điểm
18QN. Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.
DAPAN
(1,0 điểm)
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân.
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân.
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân.
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu.
0,25
0,25
0,25
0,25
19QN. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường tròn.
DAPAN
(1,0 Điểm)
Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 0,1m.
Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt.
Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không quá 9.6=54 .
Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường tròn.
0,25
0,25
0,25
0,25
20QN. Một gia đình lớn gồm bốn thế hệ, trong đó có bảy cặp ông nội – cháu nội. Biết rằng, trong gia đình đó mỗi người đều chỉ có nhiều nhất hai con. Hỏi gia đình đó có ít nhất mấy người là nam? Tại sao?
Xét 7 người cháu nội:
+/ Nếu 7 người này ở cùng một thế hệ thì thế hệ trước của 7 người này phải có ít nhất 4 nam (vì mỗi người nam là cha của nhiều nhất hai người con) và thế hệ trước nữa phải có ít nhất hai nam (cha của 4 người nam nói trên).
Như vậy số người nam trong trường hợp này không ít hơn 6.
+/ Nếu 7 người này thuộc vào hai thế hệ (thế hệ 3 và thế hệ 4) thì số người nam không ít hơn 5 (tự suy luận tương tự).
Vậy mô hình gia đình 4 thế hệ thỏa mãn yêu cầu của đề bài và có đúng 5 người nam (nút tròn chỉ con trai, nút vuông chỉ con gái).
1

onthicaptoc.com CÂU 5 ROIRACHSG9HP318 NQ