BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)
A: LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:

Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
* Với thì , Dấu “ = “ khi và chỉ khi
* Với thì , Dấu “ = “ khi và chỉ khi
B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho , CMR :
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số , ta có: ,
Làm tương tự ta sẽ có : , Nhân theo vế ta được:
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
Bài 2: Cho và , CMR:
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm , ta có :
Tương tự ta sẽ có :
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
Bài 3: Cho không âm. CMR:
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm , ta có :
Tương tự : , nhân theo vế ta được :
Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR:
HD:
Ta có: , Dấu bằng khi
Bài 5: CMR: , Với mọi
HD :
Vì là 4 số dương =>
Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Bài 6: Cho . CMR :
HD :
Ta có :
Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Bài 7: CMR:
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số không âm , ta có : ,
Tương tự : , và
Cộng theo vế ta được :
Dấu “ = “ xảy ra khi:
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :
Ta có : ,
Tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta được :
Bài 9: Cho . CMR :
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số , ta có :
Làm tương tự ta sẽ có Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
Bài 10: CMR: Với mọi , thì
HD:
Áp dụng Cô si cho ba số , ta có : và
Nhân theo vế ta có:
Dấu “ = “ khi và chỉ khi :
Bài 11: Cho và ,
CMR :
HD:
Ta có:
Đặt => ,
Khi đó:
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR:
HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :
Đặt

Bài 13: Cho a,b > 0, CMR:
HD :
Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR:
HD :
Ta có :
Lại có :
, Tương tự ta có :
và
=> =>
Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD :
Co si cho hai số : , Ta được:
Tương tự ta có :
và
Cộng theo vế ta được :
Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM
1. Nhận dạng xử lý:
- Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
- Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau.
2. Phương pháp :
- Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra
dấu bằng.
- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý.
Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số
Bài 1: Cho
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : a = 2 =>
Khi đó ta có :
Dấu bằng khi
Bài 2: Cho , Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
Khi đó ta có :
Vậy Min
Bài 3: Cho , Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Khi đó :
Bài 4: Cho a, b > 0,
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Khi đó :
, Mà
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : .
Tìm GTNN của biểu thức :
HD :
Bài 6: Cho Tìm GTNN của:
HD :
Ta có : , đặt
Dự đoán dấu bằng khi :
Bài 7: Cho a10, b100, c1000, Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi : , Tương tự với b và c,
Khi đó ta có :
, Tương tự với b và c
Bài 8: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: ,
Tìm GTNN của:
HD :
Dấu bằng khi , Khi đó
Mà
Vậy
Bài 9: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: ,
Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :

Bài 10: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: ,
Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Khi đó:
Bài 11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
Khi đó ta có :
mà
Vậy
Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn: , Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu = khi: khi đó: , nên khi đó:
, Mà:
Bài 13: Cho , Tìm GTNN của
HD:
Dấu = khi
Ta có:
Mà , Thay vào P ta được:

Bài 14: Cho . Tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi :
Khi đó ta có :
Bài 15: Cho , Tìm GTNN của
HD :
Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi
Biến đổi
Bài 16: Cho , Tìm GTNN của
HD :
Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là :
Khi đó :
Bài 17: Cho , Tìm GTNN của
HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là :
Khi đó ta có :

Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm GTNN của:
HD :
Dấu bằng khi : , Bấm máy , Tìm điểm rơi là
Khi đó ta có :
=>
Bài 19: Cho và , Tìm GTNN của
HD :
Dự đoán điểm rơi : Thay vào A, bấm máy cho ta
Khi đó :
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :,
Tìm GTNN của:
HD :
Bấm máy, tìm điểm rơi là :
Khi đó :
Bài 21: Cho thỏa mãn : , Tìm GTNN của biểu thức 
HD :
Ta chia xuống, được : , Đặt , Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi , Nên
Bài 22: Cho thỏa mãn: , Tìm GTNN của
HD:
Từ
Từ A chia xuống ta được: , Đặt
Khi đó , Dấu = khi
Bài 23: Cho thỏa mãn: . Tìm GTNN của
HD:
Ta chia xuống, được: , Đặt , Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi
Bài 24: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT:
HD :
Ta có :
Bài 25: CMR: với a, b, c > 0 thì :
HD:
Ta có:
Bài 26: Cho a, b, c > 0, CMR:
HD :
Ta có : => ĐPCM
Bài 27: Cho a, b, c > 0, CMR:
HD :
Ta có : , Tương tự ta có : và
Cộng theo vế ta được :
Bài 28: Cho , Chứng minh rằng:
HD:
Dự đoán dấu = khi , Khi đó:
Ta biến đổi: , làm tương tự và cộng theo vế ta được:

Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi , Khi đó :
Nên : , Tương tự ta có :
Bài 30: Cho x,y > 1, CMR :
HD :
Dự đoán dấu bằng khi , Thay vào ta được :
Khi đó : và
Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
Mà:
Tương tự =>
Khi đó VT
Bài 32: Cho , Chứng minh rằng :
HD:
Dấu bằng khi , và để sau khi Cô si vẫn còn thì ta làm như sau:
Xét , Làm tương tự và cộng theo vế ta được:


Bài 33: Cho , Tìm GTNN của
HD :
Dự đoán điểm rơi tại , Khi đó ,
Cô si cho hai số , ta được :

Bài 34: Cho , Tìm GTLN và GTNN của
HD:
Ta có:
Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi ,
Khi đó:
Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số
Bài 1: Cho a2, Tìm Min của:
HD :
Dự đoán dấu bằng khi a = 2 => , Khi đó ta có :
Bài 2: Cho , Tìm GTNN của :
HD :
Dự đoán dấu = khi , Khi đó :
Khi đó :
Bài 3: Cho , Tìm Min của:
HD ;
Dự đoán dấu bằng khi , Khi đó ta có :
, mà
Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: , Tìm min của
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min
HD :
Dấu bằng khi
Khi đoa :

Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min:
HD :
Dấu bằng khi :
Bài 7: Cho , Tìm GTNN của :
HD :
Dự đoán dấu = khi , Khi đó : , Vậy ta tách :
, lại nhẩm tiếp :
Nên
Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: ,
Tìm Min của:
HD :
Dấu bằng khi Khi đó :
, Tương tự ta cũng có :

Bài 9: Cho , thỏa mãn : ,
Tìm GTNN của
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Xét , Làm tương tự và cộng theo vế ta được :

Mà , Thay vào P ta được :
Bài 10: Cho thỏa mãn : , Tìm GTNN của :
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Xét , Làm tương tự và cộng theo vế ta được :

Mà ,
Thay vào P ta được :
Bài 11: Cho thỏa mãn: , Tìm GTNN của
HD:
Các thầy cô có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau:
Dự đoán và
Áp dụng cô si cho 3 số ta được: (1)
Tương tự ta cũng có : (2)
Và (3)
Để có được biểu thức P ta cộng ta được :

, đồng nhất với ta được :
, mà
Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau :
(4) , (5) và (6)
Cộng
Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU
Bài 1: Cho . Tìm GTNN của
HD:
Dấu bằng xảy ra khi
Nếu co si mẫu thì ta được: , Như vậy ta không thể tìm được GTNN
Khi đó ta biến đổi:

Mà Vì
Khi đó :
Bài 2 : Cho và , Tìm GTNN của :
HD :
Dự đoán dấu bằng khi
Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được : thì ta đều không tìm ra được GTNN.
Cách 1: Ta có thể áp dụng BĐT
Mà , Thay vào P ta được :

Cách 2: Hoặc ta biến đổi : , Rồi mới Cô si dưới mẫu :
Khi đó ta có : , làm tương tự và cộng theo vế :

Bài 3 : Cho và , Tìm GTNN của
HD :
Dự đoán dấu = khi
Xét , Vì dấu = khi
Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số :
Làm tương tự và cộng theo vế ta được :
Mà , Làm tương tự và công theo vế ta có :
,
Và
Thay vào P ta được :

Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN
Bài 1: Cho và , Tìm GTNN của:
HD:
Ta sẽ dồn về hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi người.
Dự đoán dấu = khi
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:
rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi
Cách 2: Ta có , và , Cộng theo vế ta được:
, đặt
Dấu = khi
Bài 2: Cho , Tìm GTLN của:
HD:
Ta sẽ dồn về biến , Dự đoán dấu = khi
Ta có: , Làm tương tự và cộng theo vế ta được:
, Đặt , Dự đoán điểm rơi
Và
Bài 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR:
HD :
Ta có : ,
Ki đó
Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG
Bài 1: Tìm min của biểu thức:
HD:
Tách
Dấu ‘’ = ’’ khi
Bài 2: Tìm min của: với 0 < x < 1
HD:
Ta có: , dấu bằng khi
Bài 3: Tìm min của: (x > 1)
HD:
, Dấu bằng khi
Bài 4: Cho 0 < x < 1, Tìm min của:
HD:
Ta có: , dấu bằng khi
Bài 5: Tìm min của biểu thức: với
HD:
Tách
Dấu ‘’=’’ khi
Bài 6: Tìm min của: với x >1
HD:
Ta có: , Dấu bằng khi
Bài 7: Tìm min của: với x > 0
HD:
Tách , mà
Bài 8: Tìm min của: với
HD:
Ta có: , dấu bằng xảy ra khi
Bài 9: Tìm min của: với x > 0
HD:
Tách , dấu bằng xảy ra khi
Bài 10: Tìm min của: với
HD:
Tách
Dấu bằng khi
Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của:
HD:
Đặt , mà
Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của: với x > 0
HD:
Ta có:
Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho ,
Tìm x, y để đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
Ta có , min
Dấu bằng khi mà
Bài 14: Cho x, y > 0, 4xy = 1 và x + y = 1, Tìm min của:
HD:
Ta có :,
Co si => dấu bằng khi
BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ
A. LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:

Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả của bất đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ.
2. Tổng quát:
Ở chương trình THCS. Tài Liệu Toán chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho 2
hoặc 3 số.
* Với các số , ta có:
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
* Với hai số ta có : , Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
* Với ba số thì ta có : , Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG
Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT :
HD :
Ta có: gt
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
Tương tự ta cũng có : và
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 3: Cho , CMR:
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :

onthicaptoc.com 16. Chuyen de boi duong HSG toan 8 Bat dang thuc Cauchy Svac xo