Giaovienvietnam.com
CHỦ ĐỀ 1:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Giá trị lượng giác của cung .
Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung có sđ :
Hình 1.1
Gọi với tung độ của là , hoành độ là thì ta có:


Các giá trị , , , được gọi là các giá trị lượng giác của cung .
Giaovienvietnam.com
Các hệ quả cần nắm vững

Giaovienvietnam.com
1. Các giá trị ; xác định với mọi . Và ta có:
2. ;
3. xác định với mọi .
4. xác định với mọi .
Giaovienvietnam.com
Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).
Hình 1.2
Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau
Góc phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
III
IV
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác
2. Công thức lượng giác
Công thức cơ bản Cung đối nhau



Công thức cộng Cung bù nhau



Công thức đặc biệt

Góc nhân đôi Góc chia đôi


Góc nhân ba Góc chia ba



STUDY TIP
Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức.
Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích




3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
(độ)
0
(radian)
0
0
1
0
1
0
0
1
Không xác định
0
STUDY TIP
Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
Các giá trị ở tử số tăng dần từ đến . Ngược lại đối với giá trị , tử số giảm dần từ về .
BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Hàm số và hàm số .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .
Tập xác định của các hàm số là .
a) Hàm số
Nhận xét: Hàm số là hàm số lẻ do hà số có tập xác định là đối xứng và
Hàm số tuần hoàn với chu kì .
Sự biến thiên:
Sự biến thiên của hàm số trên đoạn được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới:
Bảng biến thiên:
Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn như sau:
STUTY TIP
Khái niệm:
Hàm số xác định trên gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số sao cho với mọi thuộc ta có .
Số dương nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn.
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Do hàm số là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì nên khi vẽ đồ thị hàm số trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa , ta được đồ thị hàm số trên đoạn , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài
STUDY TIP
Hàm số đồng biến trên khoảng . Do tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng .
Tương tự ta suy ra được hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
GHI NHỚ
Hàm số
- Có tập xác định là .
- Có tập giá trị là .
- Là hàm số lẻ.
- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
- Có đồ thị là một đường hình sin.
- Tuần hoàn với chu kì .
- Đồng biến trên mỗi khoảng .
- Nghịch biến trên mỗi khoảng .
b) Hàm số
Ta thấy nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái một đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số .
Bảng biến thiên của hàm số trên .
Đồ thị hàm số :
STUTY TIP
Hàm số đồng biến trên khoảng . Do tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng .
Tương tự ta suy ra được hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng .
GHI NHỚ
Hàm số :
- Có tập xác định là .
- Là hàm số chẵn.
- Là một đường hình sin.
- Đồng biến trên mỗi khoảng .
- Nghịch biến trên mỗi khoảng .
Đọc thêm
Hàm số là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở vì:

Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Tương tự hàm số cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12.
2. Hàm số và hàm số
Hình 1.7
Với , quy tắc đặt tương ứng mỗi số với số thực được gọi là hàm số tang, kí hiệu là . Hàm số có tập xác định là .
Với , quy tắc đặt tương ứng mỗi số với số thực được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là . Hàm số có tập xác định là .
Nhận xét: - Hai hàm số và hàm số là hai hàm số lẻ.
- Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì .
a) Hàm số
Hình 1.8
Sự biến thiên: Khi cho tăng từ đến thì điểm chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ đến (không kể và ). Khi đó điểm thuộc trục tang sao cho chạy dọc theo , nên tăng từ đến (qua giá trị khi ).
Giải thích: vì
Nhận xét: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Do hàm số là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì nên khi vẽ đồ thị hàm số trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ , ta được đồ thị hàm số trên , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành.
Hình 1.9
STUDY TIP
Hàm số nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận
GHI NHỚ
Hàm số :
- Có tập xác định - Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là
- Đồng biến trên mỗi khoảng
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận
b) Hàm số
Hàm số có tập xác định là một hàm số tuần hoàn với chu ki .
Tương tự khảo sát như đối với hàm số ở trên thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số như sau:
Hình 1.10
GHI NHỚ
Hàm số :
- Có tập xác định: - Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là
- Đồng biến trên mỗi khoảng
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.
B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác
Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Cách 1
Tìm tập của để có nghĩa, tức là tìm .
Cách 2
Tìm tập của để không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là .
CHÚ Ý
A. Với hàm số cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
1. , điều kiện: * có nghĩa
* có nghĩa và .
2. , điều kiện: có nghĩa và .
3. , điều kiện: có nghĩa và .
B. Hàm số xác định trên , như vậy
xác định khi và chỉ khi xác định.
* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và .
* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và .
STUDY TIP
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
1. Hàm số và xác định trên .
2. Hàm số xác định trên .
3. Hàm số xác định trên .
Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số là:
A. . B. .
C. . D. .
Chọn A.
Lời giải
Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi .
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số tại và ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.
STUDY TIP
Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số tồn tại hai góc có số đo là và cùng thỏa mãn chính vì thế ta kết luận được điều kiện như vậy.
Cách bấm như sau:
Nhập vào màn hình :
Ấn r gán thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp .
Từ đây suy ra hàm số không xác định tại và .
Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số là:
A. . B. .
C. . D. .
Chọn C.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi
+ xác định
+
.
STUDY TIP
Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân thức xác định chứ không chú ý điều kiện để hàm xác định, sẽ bị thiếu điều kiện và chọn D là sai.
Ví dụ 3. Tập hợp không phải là tập xác định của hàm số nào?
A. . B. . C. . D. .
Chọn C.
Lời giải

Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm xác định với mọi . Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu số có chứa như nhau là và . Do đó ta chọn được luôn đáp án
Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm và thành dựa theo lý thuyết sau:
Hình 1.11
Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác
được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.
được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trên đường tròn lượng giác.
được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
được biểu diễn bởi điểm cách đều nhau, tạo thành đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có
Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm được ở ví dụ 3. Từ đây nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có .
Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Hàm số đã cho xác định khi xác định
STUDY TIP
Ở đây nhiều độc giả nhầm lẫn, thấy hàm số và chọn luôn là sai. Cần chú ý đến điều kiện để xác định.
Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có
2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi xác định .
STUDY TIP
Trong bài này, ta cần thêm kiến thức về tập xác định của hàm số lũy thừa ở lớp 12: Tập xác định của hàm số tùy thuộc vào giá trị của
* Với nguyên dương thì tập xác định là .
* Với nguyên âm hoặc bằng , tập xác định là .
* Với không nguyên, tập xác định là .
Ví dụ 6. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Tương tự như ví dụ 5, ta có hàm số xác định khi xác định
.
Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi
Mặt khác ta có nên .
STUDY TIP
Với các bài toán chứa căn thức ta chú ý các hệ số tự do để áp dụng các bất đẳng thức cơ bản như
Ví dụ 8. Tập xác định của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có ,. Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi .
Một dạng khác của bài toán liên quan đến tìm tập xác định của hàm lượng giác như sau:
Ví dụ 9. Để tìm tập xác định của hàm số , một học sinh đã giải theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là .
Bước 2: .
Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?
A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Lời giải
Chọn B.
Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi xác định (do xác định với mọi ).
Do vậy hàm số xác định khi .
Ví dụ 10. Hàm số xác định khi và chỉ khi
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Hàm số đã cho xác định (do ).
Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
Với (là tập xác định của hàm số ) thì
. .
.
Ví dụ 1. Cho hàm số .Tất cả các giá trị của tham số để hàm số xác định với mọi số thực (trên toàn trục số) là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét hàm số
.
Đặt .
Hàm số xác định với mọi
.
Đặt trên .
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.
Ta thấy hoặc
Ycbt
.
Ví dụ 2. Tìm để hàm số xác định trên .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định trên khi và chỉ khi .
Đặt
Lúc này ta đi tìm điều kiện của để
Ta có
TH 1: . Khi đó (thỏa mãn).
TH 2: (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
TH 3: khi đó tam thức có hai nghiệm phân biệt .
Để thì .
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của .
Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số , còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số .
Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.
Định Nghĩa.
Cho hàm số xác định trên tập .
a, Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi thuộc , ta có và .
b, Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi thuộc , ta có và .
STUDY TIP:
Để kết luận hàm số không chẵn không lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm sao cho hoặc chỉ ra tập xác định của không phải là tập đối xứng.
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số, khi đó
Nếu là tập đối xứng (tức ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
Nếu không phải tập đối xứng(tức là mà ) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định :
Nếu thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
Nếu thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số là hàm số lẻ trên .
2, Hàm số là hàm số chẵn trên .
3, Hàm số là hàm số lẻ trên .
4, Hàm số là hàm số lẻ trên .
Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.
Xét A: Do tập xác định nên .
Ta có . Vậy hàm số là hàm số chẵn.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp và .
Với A: Nhập vào màn hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp (hình bên trái) và trường hợp (hình bên phải) đều đưa kết quả giống nhau. Vì ta chọn luôn A.
STUDY TIP:
Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên chú ý cả tập xác định của hàm số xem có phải là tập đối xứng không.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số thì là
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Tập xác định .
Ta có
. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp và .
Với A: Nhập biểu thức của hàm số vào màn hình sử dụng CALC với trường hợp (hình bên trái) và trường hợp (hình bên phải), ta thấy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
STUDY TIP:
Trong bài toán này, tập xác định bởi .
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số , ta được là:
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Ta có .
Ta có tập xác định .
Hàm số vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Tương tự các bài toán trên ta nhập hàm số và sử dụng CALC để thử thì thấy cả hai trường hợp đều ra kết quả là 0. Mà vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng nên ta chọn D.
STUDY TIP:
Hàm số vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng.
Ví dụ 4. Cho hai hàm số và . Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?
A. Hai hàm số là hai hàm số lẻ.
B. Hàm số là hàm số chẵn; hàm số là hàm số lẻ.
C. Hàm số là hàm số lẻ; hàm số là hàm số không chẵn không lẻ.
D. Cả hai hàm số đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Lời giải
Chọn D.
a, Xét hàm số có tập xác định là .
Ta có nhưng nên không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
b, Xét hàm số có tập xác định là . Dễ thấy không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Vậy chọn D.
STUDY TIP:
Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý xét tập xác định đầu tiên để giải quyết bài toán một cách chính xác.
Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số , với . Hàm số là:
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn C.
Hàm số có tập xác định .
Ta có .
Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Ví dụ 6. Cho hàm số , với . Xét các biểu thức sau:
1, Hàm số đã cho xác định trên .
2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.
3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Hàm số đã xác định khi Vậy phát biểu sai.
Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Ta có tập xác định của hàm số trên là là tập đối xứng.
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.
STUDY TIP
Đồ thị hàm số lẻ thì đối xứng qua tâm O.
Đồ thị hàm số chẵn thì đối xứng qua trục Oy.
Ví dụ 7. Cho hàm số Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho có tập xác định
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là
Lời giải
Chọn B.
Hàm số đã cho xác định trên tập nên ta loại A.
Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B.
STUDY TIP
Với bài toán này ta nên xét B và C trước thay vì xét lần lượt A, B, C, D.
Ví dụ 8. Xác định tất cả các giá trị của tham số để hàm số là hàm chẵn.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
TXĐ: Suy ra
Ta có
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Với bài toán này ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử các giá trị. Với A và C, ta thử một trường hợp để loại hai đáp án còn lại, tương tự với B và D. Ở đây ta sử dụng CALC để thử tại giá trị và
Ví dụ: Nhập vào màn hình như hình bên.
0
=
Ấn CALC để gán các giá trị cho m. Ta thử với thì ấn

onthicaptoc.com Bai tap trac nghiem luong giac 11