BÀI TẬP GIỚI HẠN
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN .
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số có giới hạn ( hay có giới hạn là ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: .
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a) .
b) Dãy số không đổi , với , có giới hạn là .
c) Dãy số có giới hạn là nếu có thể gần bao nhiêu cũng được, miễn là đủ lớn.
2. Một số dãy số có giới hạn
Định lí 4.1
Cho hai dãy số và .
Nếu với mọi và thì .
STUDY TIP
Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là .
Định lí 4.2
Nếu thì .
Người ta chứng mình được rằng
a).
b)
c)với mọi số nguyên dương cho trước.
Trường hợp đặc biệt : .
d)với mọi và mọi cho trước.
STUDY TIP
Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về )
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực nếu .
Kí hiệu: .
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
STUDY TIP
a) Dãy số không đổi với , có giới hạn là .
b) khi và chỉ khi khoảng cách trên trục số thực từ điểm đến trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi tăng thì các điểm “ chụm lại” quanh điểm .
c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
2. Một số định lí
Định lí 4.3
Giả sử . Khi đó
a)và .
b) Nếu với mọi thì và .
Định lí 4.4
Giả sử ,và là một hằng số. Khi đó
a) . b).
c). D).
e)(nếu ).
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa .
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.
1. Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: .
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Người ta chứng minh được rằng:
a) .
b)
c)với một số nguyên dương cho trước.
Trường hợp đặc biệt : .
d) nếu .
2. Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Kí hiệu: .
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Nhận xét:
a).
b) Nếu thì trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn đủ lớn. Đo đó trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn đủ lớn. Nói cách khác, nếu thì .
STUDY TIP
Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Định lí 4.5
Nếu thì .
STUDY TIP
Ta có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về ).
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1
Nếu và thì được cho trong bảng sau:


STUDY TIP
Vì và không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực.
Quy tắc 2
Nếu và thì được cho trong bảng sau:
Dấu của


Quy tắc 3
Nếu và và hoặc kể từ một số hạng nào đó trở đi thì được cho trong bảng sau:
Dấu của
Dấu của


STUDY TIP
Ở cả ba quy tắc, về dấu, tương tự như quy tác về dấu của phép nhân hoặc phép chia hai số.
Để cho dễ nhớ, ta diễn giải các quy tắc một cách “nôm na” như sau:
- Quy tắc 1: Tích của hai đại lượng vô cùng lớn là một đại lượng vô cùng lớn.
- Quy tắc 2: Tích của đại lượng vô cùng lớn với một đại lượng khác là một đại lượng vô cùng lớn.
- Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức càng nhỏ(dần về ) thì phân thức càng lớn(dần về vô cực).
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 1: bằng
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Ta có:.
Vì và nên theo quy tắc 2,
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị của biểu thức tại một giá trị lớn của (do ) như sau: Nhập vào màn hình biểu thức . Bấm . Máy hỏi nhập , ấn . Máy hiện kết quả như hình bên. Ta thấy kết quả tính toán với là một số dương rất lớn. Do đó chọn D.
Câu 2: bằng
A. B. C. 5. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có
Vì và nên (theo quy tắc 2).
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như ví dụ trên.
Ta thấy kết quả tính toán với là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án có giới hạn bằng .
Tổng quát: Cho là một số nguyên dương.
a) nếu
b) nếu
Chẳng hạn: vì ; vì .
STUDY TIP
Cho có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của .
- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của là một số dương thì .
- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của là một số âm thì .
Câu 3: , với bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có: .
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên.
Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với khá lớn, trong khi dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đó là đáp án B.
STUDY TIP
Một số dòng máy hiện kết quả là dạng phân số, chẳng hạn . Do nên chọn B.
Câu 4: với bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong phân thức), ta được: . Vì và nên .
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số với bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ( là bậc cao nhất của trong phân thức), ta được
.
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số với , bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong mẫu thức), ta được Vậy .
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong phân thức), ta được
. Vì , và với mọi nên theo quy tắc 3, .
Cách 3: Ta có Vì và nên theo quy tắc 2,
Cách 4: Sử dụng MTCT tương như các ví dụ trên.
STUDY TIP
Rõ ràng làm theo cách 1 (chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của trong mẫu thức) ít phải lập luận hơn cách 2 và cách 3.
Tổng quát:
Xét dãy số với trong đó
(dạng phân thức với tử số và mẫu số là các đa thức của ).
a) Nếu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu) thì nếu nếu
b) Nếu (bậc tử bằng bậc mẫu) thì
c) Nếu (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) thì .
STUDY TIP
Cho có dạng phân thức của .
- Nếu bậc tử cao hơn bậc mẫu thì có giới hạn là vô cực
- Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì bằng hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử chia cho hệ số của lũy thừa cao nhất ở mẫu.
- Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì .
Ví dụ 7: bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có mà nên chọn đáp án A.
Lưu ý: Sử dụng MTCT. Với , máy tính cho kết quả như hình bên. Với , máy bào lỗi do việc tính toán vượt quá khả năng của máy. Do đó với bài này, MTCT sẽ cho kết quả chỉ mang tính chất tham khảo.
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được rằng:
a) b) .
Trong đó nguyên dương.
Chẳng hạn: ; ; ; …..
STUDY TIP
Khi sử dụng MTCT, với các bài toán liên quan đến lượng giác, trước khi tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) hoặc Deg (degree) cho phù hợp với đề bài.
Ví dụ 8: bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1: Ta có mà nên suy ra
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên.
Nhận xét: Dãy không có giới hạn nhưng mọi dãy , trong đó thì có giới hạn bằng 0.
Ví dụ 9: Tính giới hạn
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên.
STUDY TIP
Hằng đẳng thức thứ ba: Hai biểu thức và được gọi là biểu thức liên hợp của nhau.
Ví dụ: và là hai biểu thức liên hợp của nhau.
Nhận xét: a) ở bước 3 ta đã chia cả tử và mẫu cho . Lưu ý là .
b) Ta có , Vì và nên không áp dụng được quy tắc 2 như trong ví dụ trước đó.
Ví dụ 10: bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có
Vì nên .
Cách 2: Sử dung MTCT như các ví dụ trên.
Ví dụ 11: bằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Ta có
Vì và nên theo quy tắc 2,
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
Tổng quát:
Xét dãy số trong đó
- Nếu và : Giới hạn hữu hạn.
+ Nếu hai căn cùng bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp.
+ Nếu hai căn không cùng bậc: Thêm bớt với rồi nhân với biểu thức liên hợp.
- Nếu hoặc Đưa lũy thừa bậc cao nhất của ra ngoài dấu căn. Trong trường hợp này sẽ có giới hạn vô cực.
Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, các em sẽ được học về căn bậc ( nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Người ta định nghĩa rằng , trong đó là số thực dương, là số nguyên dương, là số nguyên dương, Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Chẳng hạn:
Chẳng hạn:
a) Với : nhân chia với biểu thức liên hợp của là . Dãy số có giới hạn hữu hạn bằng .
b) Với : đưa ra ngoài dấu căn.
Giới hạn của .
c) Với : đưa ra ngoài dấu căn.
Giới hạn của bằng .
Ví dụ 12. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của
.
STUDY TIP
Hằng đẳng thức thứ bảy: .
Hai biểu thức và cũng được gọi là hai biểu thức liên hợp (bậc ba) của nhau.
Ví dụ 13. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ 14. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
Vì và nên theo quy tắc 2,
Ví dụ 15. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ 16. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
.
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi. Nhập vào màn hình như hình dưới đây. Bấm CALC. Máy hỏi X? Nhập 100, ấn =. Máy hiện kết quả bằng 7.
Ví dụ 17. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
.
STUDY TIP
Khi sử dụng máy tính cầm tay, nếu nhập giá trị X quá lớn, máy sẽ báo lỗi do giá trị của tăng rất nhanh khi X tăng, nên vượt quá khả năng tính toán của máy. Khi đó cần thử lại các giá trị khác của X. Như vậy các bài toán chứa ta không nên tính với quá lớn.
Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự như ví dụ trên.
Ta thấy kết quả tính toán với là một số dương rất nhỏ. Do đó chọn đáp án giới hạn bằng .
Ví dụ 18. bằng :
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Chia cả tử và mẫu cho ta được
Mà và với mọi nên theo quy tắc 3, .
Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Ví dụ 19. Cho dãy số được xác định bởi với mọi . Biết dãy số có giới hạn hữu hạn, bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi
Đặt . Ta có hay

Vậy .
Lưu ý: Để giải phương trình ta có thể sử dụng chức năng SOLVE của MTCT
(Chức năng SOLVE là chức năng tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình bằng phương pháp chia đôi). Ta làm như sau:
Nhập vào màn hình ; Bấm SHIFT CALC (tức SOLVE); Máy báo Solve for ; Nhập ; Máy báo kết quả như hình bên.
tức đây là nghiệm chính xác. Lại ấn phím . Máy báo Solve for ; Nhập ; Máy báo kết quả như bên.
tức đây là nghiệm chính xác. Tuy nhiên ta chỉ nhận nghiệm không âm. Vậy . (Ta chỉ tìm ra hai nghiệm thì dừng lại vì dễ thấy phương trình hệ quả là phương trình bậc hai).
Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào màn hình như hình bên. Bấm . Máy tính hỏi nhập 1 rồi ấn phím liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của không đổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của là giới hạn cần tìm của dãy số. Giới hạn đó bằng 2.
STUDY TIPS
Trong ví dụ này ta đã áp dụng tính chất “nếu thì ”

Ví dụ 20. Cho dãy số được xác định bởi với mọi . Tìm giới hạn của .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi
Đề bài không cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn. Đặt

Hay
Vậy
( loại trường hợp ). Vậy .
Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau.
Bấm CALC. Máy hỏi X? nhập rồi bấm phím = liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của không đổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của là giới hạn cần tìm của dãy số.
Trong bốn đáp án đã cho, bằng phương pháp loại trừ, ta thấy chỉ có đáp án C là phù hợp với kết quả tính toán trên máy tính ().
Ví dụ 21. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Khi nó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Đáp án C.
Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là hữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực.
Lời giải
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là .
Ta có: .
Đến đây có thể kết luận là được không? Câu trả lời là không?
Vì không khó để chứng minh được rằng với mọi . Do đó nếu dãy số có giới hạn thì . Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực.
Vậy ta chọn đáp án C.
Ta xét hai cách giải sau:
Cách 1: Đặt . Ta có:
Vậy là cấp số nhân có và . Vậy .
Do đó . Suy ra .
Cách 2: Sử dụng quy trình lặp (MTCT) tương tự ví dụ trên.
Phân tích: Câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại đặt để thu được kết quả dãy là cấp số nhân? Ta có kết quả tổng quát sau.
Cho dãy số xác định bởi , với , trong đó là các hằng số và . Khi đó dãy số với là một cấp số nhân có công bội .
Thật vậy, ta có
( Nếu thì là một cấp số cộng, thì là một cấp số nhân).
Như vậy, dãy số xác định bởi , với , trong đó là các hằng số và sẽ có giới hạn vô cực nếu , có giới hạn hữu hạn nếu .
STUDY TIP

Đặt
……………….
,
+ : có giới hạn .
+ : có giới hạn .
+ : có giới hạn hữu hạn bằng .
Ví dụ 22. Cho dãy số xác định , , với mọi . Tìm giới hạn của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là hữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực.
Lời giải
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là .
Ta có: (Vô lý)
Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.
Cách 1: Ta có , , , . Vậy ta có thể dự đoán với mọi . Khi đó .
Vậy với mọi . Do đó .
Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau.
Bấm CALC Máy hỏi B? nhập 1 rồi bấm phím =, máy hỏi A? nhập 0 rồi ấn phím = liên tiếp. Ta thấy giá trị C ngày một tăng lên. Vậy chọn đáp án của dãy số là .
Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn (chu kỳ ), được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó là các số nguyên dương. Tìm tổng .
A.. B.. C.. D..
Đáp án A.
Lời giải
Cách 1: Ta có
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu , công bội nên .
Vậy nên .
Cách 2: Đặt .
Vậy .
Do đó nên .
Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số (Nhiều bộ số 15, cho tràn màn hình) rồi bấm phím =. Máy hiển thị kết quả như hình sau.
Có nghĩa là .
Vậy nên .
Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 2 . ALPHA 1 5 = . Máy hiển thị kết quả như hình sau.
Có nghĩa là .
Vậy nên .
Ví dụ 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản , trong đó là các số nguyên dương. Tính .
A.. B.. C.. D. .
Đáp án B.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
.
Vậy . Do đó .
Cách 2: Đặt Đặt .
Ta có: .
Vậy .
Vậy . Do đó .
Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số ( Nhập nhiều số , cho tràn màn hình), rồi bấm phím = . Màn hình hiển thị kết quả như sau.
Vậy . Do đó .
Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 0 . 3 2 ALPHA 1 = . Máy hiển thị kết quả như hình sau.
Vậy . Do đó .
Tổng quát
Xét số thập phân vô hạn tuần hoàn .
Khi đó
Chẳng hạn, .
Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là số hạng đầu tiên của một dãy số khác.
Ví dụ 25. Tổng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Đáp án B.
Lời giải
Cách 1: là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có và .
Do đó .
Cách 2: Sử dụng MTCT. Sử dụng chức năng tính tổng. Nhập vào màn hình như hình sau.
Bấm phím = , máy hiển thị kết quả bằng .
Lưu ý: Ở bài này, phải nhập số hạng tổng quát bằng , vì . Nếu nhập số hạng tổng quát bằng thì kết quả sẽ bằng và là kết quả sai.
Mặt khác, nếu cho chạy từ đến thì máy sẽ báo lỗi do khối lượng tính toán quá lớn, vượt quá khả năng của máy.
Trong trường hợp đó, ta quay lại điều chỉnh biên độ của máy thì sẽ thông báo kết quả như trên.
Ví dụ 26. Cho dãy số với . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A.
Lời giải
Cách 1: là tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có và .
Do đó . Suy ra .
Cách 2:
Vậy bằng tổng của một cấp số nhân lui vô hạn với và .
Do đó .
Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào như màn hình sau.
Ấn phím = , máy hiển thị kết quả bằng
Do đó chọn đáp án A.
Nhận xét: Rõ ràng, nếu thuộc công thức thì bài toán này giải thông thường sẽ nhanh hơn MTCT!
STUDY TIP
Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội là:
Ví dụ 27. Tính bằng:
A. . B. . C. . D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
Vậy .
Cách 2: Sử dụng MTCT.
Nhập vào màn hình biểu thức , bấm dấu = . Máy hiển thị kết quả như màn hình sau.
Vậy chọn đáp án C.
Tổng quát, ta có:
.
Chẳng hạn trong ví dụ trên thì và . Do đó giới hạn là .
Kinh nghiệm cho thấy nhiều bạn quên mất khi tính toán dãy có giới hạn như trên.
Ví dụ 28. Cho dãy số với . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. . B. . C.. D. Dãy số không có giới hạn khi .
Đáp án B.
Lời giải
Cách 1: Ta có: . Suy ra .
Do đó .
Cách 2: Sử dụng MTCT. Gán cho biến . Nhập vào màn hình biểu thức , bấm dấu = . Máy hiển thị kết quả như sau.
Do đó chọn đáp án B.
Lưu ý: Tổng trong ví dụ trên là một tổng dạng quen thuộc. Đó chính là tổng của số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Do đó nếu không thuộc công thức , ta có thể sử dụng công thức tính tổng của một cấp số cộng để tính tổng đó.
Để làm tốt các dạng bài tập trên, cần nhớ một số tổng quen thuộc sau:
a)
b)
c) .
STUDY TIP
Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: ; .
Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
Ví dụ 1: bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng với , và công bội .
Do đó .
Tương tự ta có: .
Vậy .
=
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình , bấm phím, ta thấy kết quả bằng Vậy chọn đáp án A.
 Studytip:
Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d, mẫu thức là tổng của n+k số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d’ thì phân thức có giới hạn là .
Ví dụ 2: bằng:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A

onthicaptoc.com Bai tap trac nghiem gioi han