CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp quy nạp toán học
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với .
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với .
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi , ta có đẳng thức
- Bước 1: Với thì vế trái bằng , vế phải bằng .
Vậy đẳng thức đúng với .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , tức là chứng minh
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Mà
Suy ra
Do đó đẳng thức đúng với . Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n.
+ Với thì (loại được các phương án B và D);
+ Với thì (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
STUDY TIP
Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:
1)
2)
3)
4)
5)
Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Câu 1. Với mỗi số nguyên đặt Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 2. Với mỗi số nguyên dương ta có trong đó là các hằng số. Tính giá trị của biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên dương để .
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Tính tổng của tất cả các số nguyên dương thoả mãn .
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 2. Đặt (có dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. . B. . C. . D. .
Đáp án B.
Lời giải
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Bước 1: Với thì vế trái bằng , còn vế phải bằng .
Vậy đẳng thức đúng với .
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh .
Thật vậy, vì nên theo giả thiết quy nạp ta có .
Mặt khác, nên .
Vậy phương án đúng là B.
STUDY TIP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của .
+ Với thì (loại ngay được phương án A, C và D).
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây:
Câu 1. Đặt (có dấu căn). Tìm để .
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng tổng quát của dãy số là:
A. . B. .
C. . D. .
Ví dụ 3. Đặt ,với .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.. B. . C. . D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
Với mọi số nguyên dương, ta có .
Do đó:.
Vậy phương án đúng là phương án C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
Với thì (chưa loại được phương án nào);
Với thì (loại ngay được các phương án A,B và D.
Vậy phương án đúng là phương án C.
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Câu 1. Với ,biết rằng . Trong đó là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Với ,biết rằng . Trong đó là các số nguyên.Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Biết rằng ,trong đó và là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 4. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp ta dự đoán được với Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với thì vế trái bằng còn vế phải bằng
Do nên bất đẳng thức đúng với
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với nghĩa là
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với tức là phải chứng minh hay
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Suy ra hay
Mặt khác với mọi
Do đó hay bất đẳng thức đúng với
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
STUDY TIP
Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau:
Tìm số nguyên tố nhỏ nhất sao cho:
A. . B. . C. . D. .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Câu 1. Tổng các góc trong của một đa giác lồi cạnh, , là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 2. Với , hãy rút gọn biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Kí hiệu . Với , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Với , đặt và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để với mọi số nguyên .
A.. B. . C. . D. .
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của sao cho .
A.. B. hoặc . C. D. hoặc .
Câu 7. Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Biết rằng . Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Biết rằng mọi số nguyên dương , ta có và . Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Biết rằng , trong đó là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
, , và .
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A.. B. . C. . D. .
Câu 12. Với , ta xét các mệnh đề chia hết cho ; chia hết cho và
chia hết cho . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
A.. B. . C. . D. .
Câu 13. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức ”. Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
Bước 1: Với , ta có: và . Vậy đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là ta có .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với , nghĩa là phải chứng minh .
Bước 3 : Ta có . Vậy với mọi số nguyên dương .
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.
Câu 14. Biết rằng , trong đó và là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức .
là :
A.. B. . C. . D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Đáp án B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng và tổng các góc trong từ giác bằng , chúng ta dự đoán được .
Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với thì (loại luôn được các phương án A, C và D); với thì (kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Câu 2. Đáp án A.
Để chọn được đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .
Với thì (loại ngay được phương án B và C); với thì (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính trong các trường hợp ta dự đoán được công thức .
Cách 3: Ta tính dựa vào các tổng đã biết kết quả như và . Ta có: .
Câu 3. Đáp án B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
Với thì (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện . Suy ra: .
Câu 4. Đáp án A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
Với thì nên (loại ngay được các phương án B, C, D).
Cách 2: Chúng ta tính dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: . Suy ra .
Câu 5. Đáp án B.
Dễ thấy thì bất đẳng thức là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với ta thấy là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng với mọi . Vậy là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Câu 6. Đáp án D.
Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng .
Câu 7. Đáp án B.
Cách 1: Với chú ý , chúng ta có:
=.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: .
Suy ra .
Cách 2: Cho ta được: .
Giải hệ phương trình trên ta được . Suy ra
Câu 8. Đáp án C.
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: . Suy ra .
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: . Suy ra .
Cách 2: Cho ta được . Giải hệ phương trình trren ta được . Suy ra .
Câu 9. Đáp án B.
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: . So sánh cách hệ số, ta được .
Cách 2: Cho , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn . Giải hệ phương trình đó, ta tìm được . Suy ra .
Câu 10. Đáp án C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+) .
Suy ra .
+)
Suy ra .
Do đó .
Cách 2: Cho và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ; .
Do đó .
Câu 11. Đáp án D.
Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có là sai.
Câu 12. Đáp án A.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng chia hết cho 6.
Thật vậy: Với thì .
Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với , nghĩa là phỉa chứng minh chia hết cho 6.
Ta có: .
Theo giả thiết quy nạp thì chia hết cho 6 nên cũng chia hết cho 6.
Vậy chia hết cho 6 với mọi . Do đó các mệnh đề và cũng đúng.
Câu 13. Đáp án A.
Câu 14. Đáp án C.
Phân tích phần tử đại diện, ta có: .
Suy ra:

=.
Đối chiếu với hệ số, ta được: .
Suy ra: .
DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển trong đó hoặc viết tắt là .
Số hạng được gọi là số hạng đầu, là số hạng tổng quát (số hạng thứ ) của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số:
Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:
- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
Ví dụ 1. Cho dãy số với .
Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ của dãy số. Chẳng hạn, .
- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ 2. Cho dãy số xác định bởi và .
Ví dụ 3. Cho dãy số xác định bởi .
Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.
- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số.
Ví dụ 4. Cho dãy số gồm các số nguyên tố.
Ví dụ 5. Cho tam giác đều có cạnh bằng 4. Trên cạnh , ta lấy điểm sao cho . Gọi là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên ,… và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số với .
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:
Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có với mọi .
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi .
Dãy số được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có với mọi
.
Ví dụ 6. a) Cho dãy số với là một dãy số tăng.
Chứng minh: Ta có .
Suy ra hay .
Vậy là một dãy số tăng.
b) Dãy số với là một dãy số giảm.
Chứng minh:
Cách 1: Ta có . Suy ra hay
.Vậy là một dãy số giảm.
Cách 2: Với , ta có nên ta xét tỉ số .
Ta có nên . Vậy là một dãy số giảm.
c) Dãy sốvới không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số giảm vì không xác định được dương hay âm. Đây là dãy số đan dấu.
STUDY TIP
Để chứng minh dãy số là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một trong 2 hướng sau đây:
(1): Lập hiệu . Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra (dãy số tăng) hoặc (dãy số giảm)
(2): Nếu thì ta có thể lập tỉ số . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết quả đã biết để chỉ ra (dãy số tăng),(dãy số giảm).
4. Dãy số bị chặn
Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , sao cho .
Ví dụ 7:
a) Dãy số với là một dãy số bị chặn vì .
b) Dãy số với là một dãy số bị chặn vì .
c) Dãy số với bị chặn dưới vì .
d) Dãy số với ( dấu căn), bị chặn trên vì .
STUDY TIP
1) Nếu là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi .
2) Nếu là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi .
B. Các bài toán điển hình
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Đáp án C
Lời giải
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
+ Ta có
+ Ta có .
+ Ta có .
+ Ta có .
Vậy phương án đúng là C.
Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây
Cho dãy số xác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 1: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để
Câu 2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. . B.. C. . D..
Câu 6. Cho dãy số xác định bởi . Số hạng thứ 201 của dãy số có giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A
Lời giải
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có .
Từ đây chúng ta có thể dự đoán . Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với thì và . Vậy đẳng thức đúng với .
Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là chứng minh .
Thật vậy, ta có (theo hệ thức truy hồi).
Theo giả thiết quy nạp thì nên .
Vậy đẳng thức đúng với . Suy ra .
Từ kết quả phần trên, ta có : nếu thì .
Ta có nên .
Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức giúp ta giải quyết được bài toán tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây nhé:
Cho dãy sốxác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 1. Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D
Lời giải
Ta có .
Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được . Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được . Vậy phương án đúng là D.
Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới đây:
Cho dãy số xác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 1. Rút gọn biểu thức ta được
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
A. Dãy sốlà dãy số giảm. B. Dãy sốkhông là dãy số giảm.
C. Dãy sốlà dãy số tăng. D. Dãy sốkhông là dãy số tăng.
Câu 3. Rút gọn biểu thức
A. . B. . C. . D. .
STUDY TIP
Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy
+ Với thì loại ngay được phương án A.
+Ta có thì loại ngay được các phương án B và C.
Câu 8. Cho dãy số có tổng của số hạng đầu tiên bằng . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. là dãy số tăng và .
B. là dãy số giảm và .
C. là dãy số tăng và .
D. là dãy số tăng và .
Đáp án A.
Lời giải
Ta có và .
Suy ra .
Ta có và .
Do đó .
Dấu bằng chỉ xảy ra khi hay . suy ra dãy số là dãy số tăng.
Vậy phương án đúng là A.
Câu 9. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số .
A. . B. .
C. . D. .
Đáp án A
Lời giải
Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số .
Đặt khi đó .
Từ hệ thức truy hồi suy ra .
Như vậy ta có .
Ta có ; . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng , suy ra . Do đó . Vậy suy ra phương án đúng là A.
STUDY TIP
Dãy số xác định bởi
-Nếu thì số hạng tổng quát của dãy số là .
-Nếu thì số hạng tổng quát của dãy số là .
Cho dãy số xác định bởi và . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 1. Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số lần lượt là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Số có là số hạng của dãy số không, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu?
A. Không. B. Có, . C. Có, . D. Có, .
Câu 4. là một dãy số:
A. Giảm và bị chặn trên. B. Tăng và bị chặn trên.
C. Tăng và bị chặn dưới. D. Giảm và bị chặn dưới.
Ví dụ 6. Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng thứ của dãy là số hạng nào?
A. . B. . C. . D. .
Đáp án A
Lời giải
+ Ta có .
Do đó ta có và .
Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
.
+ Ta có .
Do đó ta có: và .
Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
.
+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:
.
Do đó số hạng tổng quát của dãy số là .
Vậy suy ra . Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây:
Cho dãy số xác định bởi và . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 1. Tính số hạng thứ năm của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Số hạng tổng quát của dãy số là:;
A. . B. .
C. . D. .
STUDY TIP
Dãy số xác định bởi và , với mọi , trong đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là và . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là , trong đó thỏa mãn hệ phương trình .
Ví dụ 7. Cho dãy số xác định bởi và . Số là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
A. . B. . C. . D.
Đáp án A.
Lời giải
Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:
.
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là .
Giải phương trình ta được
Vậy phương án đúng là A.
STUDY TIP
Dãy số xác định bởi và .
Số hạng tổng quát của dãy số được tính theo công thức: .
Ví dụ 8. Cho dãy số xác định bởi và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. là một dãy số giảm và bị chặn.
B. là một dãy số tăng và bị chặn.
C. là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
D. là một dãy số tăng và không bị chặn trên.
Đáp án A
Lời giải
Ta có . Do đó ta loại được các phương án B và D.
+ Ta có nên .
Suy ra nên là dãy số giảm.
+ Vì là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi .
Ta có .
Vậy phương án đúng là A.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số
Câu 1. Cho dãy số có . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi . Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho dãy số xác định bởi và . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho dãy số có . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số  ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho dãy số có . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho dãy số có . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho dãy số xác định bởi và . Tổng của số hạng đầu tiên của dãy số là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng tổng quát của dãy số là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Cho dãy số xác định bởi và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.
Câu 12. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?
A. Dãy , với .
B. Dãy , với .
C. Dãy , với .
D. Dãy , với .
Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?
A. Dãy , với . B. Dãy với .
C. Dãy , với . D. Dãy , với .
Câu 14. Cho dãy số với . Dãy số là dãy số tăng khi:
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Cho hai dãy số với và với . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. là dãy số giảm, là dãy số giảm.
B. là dãy số giảm, là dãy số tăng.
C. là dãy số tăng, là dãy số giảm.

onthicaptoc.com Bai tap trac nghiem day so csc csn ppcmqn