onthicaptoc.com
BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Trong không gian , cho hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu độ?
Câu 2: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 3: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng và . Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và có giá trị là bao nhiêu?
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ , góc tạo bởi trục và mặt phẳng bằng ( kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Giá trị là
Câu 6. Trong không gian , góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng
bằng . Tính giá trị biểu thức
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt
phẳng cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc
nhỏ nhất là . Khi đó bằng bao nhiêu?
Câu 8: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí đến vị trí . Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 9: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao cho mặt phẳng . Tính góc tạo bởi với trục .
(Ox)
(P)

Câu 10: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng , người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ , và . Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Câu 11: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao cho điểm . Điểm là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ xuống mặt phẳng , số đo góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
O
H
(P)
(Q)

Câu 12. Khi gắn hệ trục tọa độ (đơn vị mỗi trục tính theo km) vào mỗi sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kế quả đến hàng đơn vị)?
Câu 13. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt
phẳng và .
Câu 14. Trong một bể hình lập phương cạnh có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm , đến đáy bể tương ứng là , .
Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 15. Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng 5, đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh bằng 3. là trung điểm của . Góc tạo bởi đường thẳng và bằng ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị là
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và điểm . Đường thẳng qua , nằm trong và tạo với một góc nhỏ nhất. Biết . Giá trị bằng
Câu 17. Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng cắt mặt bàn tại điểm F. Độ dài chân bàn , khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là bao nhiêu cm?
Câu 18. Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn với nhau tạo thành hình chữ V vào các thanh đà sao cho chuẩn xác nhất. Biết phương trình mặt phẳng chứa 2 mái là và , điểm A là nóc ngói, 2 điểm B, F là rìa đuôi ngói của mỗi mái tiếp xúc giữa mái và thanh đà như hình vẽ (các thanh đà dài như nhau) khi cố định phần dưới của ngôi nhà. Khoảng cách , khi đó tỉ số độ dài của thanh đà AF và khoảng cách BF bằng
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Trong không gian , cho hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu độ?
Lời giải
Đáp án:
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Do đó .
Vậy góc giữa hai đường thẳng là .
Câu 2: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 21
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Ta có:.
Suy ra .
Câu 3: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 3
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Ta có:.
Suy ra .
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng và . Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và có giá trị là ....
Lời giải
Đáp số: .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và ta có
.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ , góc tạo bởi trục và mặt phẳng bằng ( kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Giá trị là
Lời giải
Trục có vecơ chỉ phương là và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Ta có .
Vậy .
Câu 6. Trong không gian , góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng
bằng . Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Đáp án: 0
Vectơ pháp tuyến của là .
Vectơ pháp tuyến của là .
.
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt
phẳng cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc
nhỏ nhất là . Khi đó bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp số:.
Ta có , gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng , ta có phương
trình . Khi đó .
Gọi là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng , , lần lượt là hình chiếu của trên và giao tuyến của hai mặt phẳng và . Khi đó góc giữa và là .
. Suy ra nhỏ nhất khi hay khi đó .
có véc tơ chỉ phương là và có vectơ pháp tuyến nên có
vectơ chỉ phương hay .
chứa và nên nhận làm vectơ pháp tuyến.
Vậy mặt phẳng đi qua và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương
trình
.
Vậy .
Câu 8: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí đến vị trí . Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 11
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Từ đó, góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng có .
Suy ra.
Câu 9: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao cho mặt phẳng . Tính góc tạo bởi với trục .
(Ox)
(P)

Lời giải
Trả lời: 60
Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là ;
trục có véc tơ chỉ phương .
Ta có:
Câu 10: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng , người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ , và . Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: 27
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là và .
Ta có: .
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Lại có, có vectơ pháp tuyến là .
Từ đó, góc có giữa mái nhà bên phải và nền nhà có .
Suy ra .
Câu 11: Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao cho điểm . Điểm là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ xuống mặt phẳng , số đo góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
O
H
(P)
(Q)

Lời giải
Trả lời: 45
Ta có là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng nên . Do đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng .
Ta có .
Vây góc giữa hai mặt phẳng là .
Câu 12. Khi gắn hệ trục tọa độ (đơn vị mỗi trục tính theo km) vào mỗi sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kế quả đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Đáp án: .
Ta có : , mặt phẳng có vecto pháp tuyến là .
Vậy góc giữa đường bay và sân bay khoảng .
Câu 13. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt
phẳng và .
Lời giải
Đáp số: .


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có mặt phẳng trùng với mặt phẳng
nên có phương trình , suy ra vectơ pháp tuyến .
Ta có , ,,, nên mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là ,. Mặt phẳng có vectơ
pháp tuyến là . Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Ta có .
Câu 14. Trong một bể hình lập phương cạnh có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm , đến đáy bể tương ứng là , .
Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Đáp án: .
Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng
với các trục tọa độ như hình trên.
Do hình hình hộp có kích thước đáy là nên , , .
Ta có: và .
Nên .
Để góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó .
.
Để đạt giá trị lớn nhất
thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Dễ thấy biểu thức là một hàm số bậc hai nên đạt giá trị nhỏ nhất là
tại hay giá trị đạt giá trị lớn nhất là khi .
Câu 15. Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng 5, đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh bằng 3. là trung điểm của . Góc tạo bởi đường thẳng và bằng ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị là
Lời giải
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ trên. Khi đó ,,, .
Vì là trung điểm nên .
Đường thẳng có vectơ chỉ phương , đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Vậy .
Suy ra .
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ , cho , và điểm . Đường thẳng qua , nằm trong và tạo với một góc nhỏ nhất. Biết . Giá trị bằng
Lời giải
Gọi là đường thẳng qua và song song với . Trên lấy điểm ; là hình chiếu vuông góc của trên và là hình chiếu vuông góc của trên .
Khi đó .
mà suy ra hay qua và , hay là hình chiếu vuông góc của trên .
Ta có: có vectơ pháp tuyến , có vectơ chỉ phương , suy ra .
Khi đó , do đó .
Vậy .
Câu 17. Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng cắt mặt bàn tại điểm F. Độ dài chân bàn , khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là bao nhiêu cm?
Lời giải
Đáp án: 40
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn A đến mặt phẳng
Suy ra .
Câu 18. Một kỹ sư Strong thiếp lập một hệ tọa độ để theo dõi vị trí lắp đặt của 2 mái nhà đã được gắn với nhau tạo thành hình chữ V vào các thanh đà sao cho chuẩn xác nhất. Biết phương trình mặt phẳng chứa 2 mái là và , điểm A là nóc ngói, 2 điểm B, F là rìa đuôi ngói của mỗi mái tiếp xúc giữa mái và thanh đà như hình vẽ (các thanh đà dài như nhau) khi cố định phần dưới của ngôi nhà. Khoảng cách , khi đó tỉ số độ dài của thanh đà AF và khoảng cách BF bằng
Lời giải
Đáp án: 0,92

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được.
Theo đề tam giác ABF cân tại A vì
Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.

Tỉ số .
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 20 Cau tra loi ngan CONG THUC TINH GOC TRONG KHONG GIAN giai chi tiet