50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
DẠNG48. TÍCHPHÂNLIÊNQUANĐẾNPHƯƠNG
TRÌNHHÀMẨN
1 KIẾNTHỨCCẦNNHỚ
1. C¡c t½nh ch§t t½ch ph¥n:
b c b
Z Z Z
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx vîi aa a c
b b
Z Z
k f(x) dx = kf(x) dx(k6= 0).
a a
b a
Z Z
f(x) dx = f(x) dx.
a b
b
Z
b
f(x) dx =F (x) =F (b)F (a).
a
a
b b b
Z Z Z
(f(x) +g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
b b b
Z Z Z
f(x) dx = f(t) dt = f(z)dz.
a a a
b
Z
b
f(x) dx =f(x) =f(b)f(a).
a
a
Z Z
2. Cæng thùc êi bi¸n sè: f (u(x))
u(x) dx = f(u) du;u =u(x).
u(b)
b
Z Z
f (u(x))
u(x) dx = f(u) du;u =u(x).
a
u(a)
Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n sè th÷íng ÷ñc sû döng theo hai c¡ch sau ¥y:
b b
Z Z
Gi£ sû c¦n t½nh g(x) dx. N¸u ta vi¸t ÷ñc g(x) d÷îi d¤ng f (u(x))u(x) th¼ g(x) dx =
a a
h Geogebra Pro Trang 686
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
u(b) u(b)
Z Z
f(u) du. Vªy b i to¡n quy v· t½nh f(u) du, trong nhi·u tr÷íng hñp th¼ t½ch ph¥n mîi
u(a) u(a)
n y ìn gi£n hìn.
Z
Gi£ sû c¦n t½nh f(x) dx. °t x =x(t) thäa m¢n  =x(a); =x(b) th¼
b b
Z Z Z
f(x) dx = f (x(t))x(t) dt = g(t) dt
a a
trong â g(t) =f (x(t))
x(t).
2 BÀITẬPMẪU


3 2 10 6
V½ dö 1. Cho h m sè f(x) li¶n töc tr¶nR, v  thäa m¢n xf(x ) +f 1x =x +x
2x;8x2R.

Z
Khi â f(x) dx b¬ng
1
17 13 17
A . B . C . D1.
20 4 4
Líi gi£i.
h Geogebra Pro Trang 687
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
Ph¥n t½ch h÷îng d¨n gi£i
1) KI˜N THÙC C†N NHÎ
u(b)
b
Z Z
Cæng thùc êi bi¸n sè trong t½ch ph¥n: f[u(x)]
u(x) dx = f(u) du.
a
u(a)
T½nh ch§t t½ch ph¥n:
a
Z
f(x) dx = 0.
a
b c b
Z Z Z
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.
a a c
b
Z
x=b
f(x) dx =f(x) =f(b)f(a).
x=a
a
2) H×ÎNG GIƒI:
1
Z
B1: Nh¥n c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh vîi x, rçi sû döng t½ch ph¥n hai v¸ º t½nh f(x) dx.
1
1
Z
B2: Nh¥n c£ hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh vîi x, rçi sû döng t½ch ph¥n hai v¸ º t½nh f(x) dx.
0

Z
B3: K¸t luªn f(x) dx.
1
LỜIGIẢICHITIẾT
C¡ch 1: Ta câ:


3 2 10 6
xf(x ) +f 1x =x +x 2x;8x2R


2 3 2 11 7 2
,x f(x ) +xf 1x =x +x 2x ;8x2R ()
Khi â:
1 1 1
Z Z Z



2 3 2 11 7 2
()) x f(x ) dx + xf 1x dx = x +x 2x dx;8x2R
1 1 1
1 
Z Z
1 1 4
, f(t) dt f(t) dt =
3 2 3
1 0
1 1 1
Z Z Z
1 4
, f(t) dt + 0 = , f(t) dt =4, f(x) dx =4
3 3
1 1 1
h Geogebra Pro Trang 688
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
M°t kh¡c:
1 1 1
Z Z Z



2 3 2 11 7 2
()) x f(x ) dx + xf 1x dx = x +x 2x dx
0 0 0
1 
Z Z
1 1 5
, f(t) dt f(t) dt =
3 2 8
0 1
1 1 1
Z Z Z
5 5 3 3
, f(t) dt = , f(t) dt = , f(x) dx = :
6 8 4 4
0 0 0
 1 1
Z Z Z
13
Theo t½nh ch§t t½ch ph¥n ta câ: f(x) dx = f(x) dx f(x) dx = .
4
1 1 0
10 3
C¡ch 2: Bªc cao nh§t v¸ ph£i l  x , bªc cao nh§t v¸ ph£i l  x:f(x ). K¸t luªn: f(x) bªc 3 v¼
3 3 10
x:(x ) =x .
H» sè cõa bªc cao nh§t v¸ ph£i l 1. K¸t luªn: H» sè cõa bªc cao nh§t v¸ tr¡i l 1.
3 2
Vªy f(x) =x +ax +bx +c.
3 10 3 2 10 7 7
x:f(x ) =x +x
a(x ) +


=x +ax +


V¸ ph£i khæng câ x . Vªy a = 0.
3
K¸t luªn f(x) =x +bx +c.




3
3 2 10 4 2 2
x:f(x ) +f 1x = x +bx +cx 1x +b 1x +c
10 4 2 4 6 2
= x +bx +cx 1 + 3x 3x +x +bbx +c
10 6 4 2
= x +x + (b 3)x + (3b)x +cx +b +c 1:

Z
13
3
Tâm l¤i f(x) =x + 3x 2. Suy ra f(x) dx = .
4
1
Chån ph÷ìng ¡n B
3 BÀITẬPTƯƠNGTỰVÀPHÁTTRIỂN
2
x2x+1
C¥u 1. Cho h m sè y =f(x) li¶n töc tr¶nR thäa m¢n 3f(x) +f(2x) = 2(x 1)e + 4.
2
Z
Khi â I = f(x) dx b¬ng
0
A I =e + 4. B I = 8. C I = 2. D I =e + 2.
Líi gi£i.
h Geogebra Pro Trang 689
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
Ta câ
2 2
Z Z
” —
2
x2x+1
[3f(x) +f(2x)] dx = 2(x 1)e + 4 dx
0 0
2 2 2 2
Z Z Z Z
2
x2x+1
, 3 f(x) dx + f(2x) dx = 2(x 1)e dx + 4 dx
0 0 0 0
2 2 2
Z Z Z


2
x2x+1 2
, 3 f(x) dx f(2x)d(2x) = e d x 2x + 1 + 8
0 0 0
2 2
Z Z
2
2
x2x+1
, 3 f(x) dx + f(x) dx = e + 8
0
0 0
2 2
Z Z
, 4 f(x) dx = 8, f(x) dx = 2
0 0
Chån ph÷ìng ¡n C
C¥u 2. Cho h m sè y =f(x) li¶n töc tr¶n (0; +1) thäa m¢n f(lnx) +f(1 lnx) =x.
1
Z
Khi â I = f(x) dx b¬ng
0
e 1 e + 1 e 2
A . B . C . D .
2 2 2 e 1
Líi gi£i.
1 1
Ta câ f(lnx) +f(1 lnx) =x, f(lnx) + f(1 lnx) = 1 ().
x x
L§y t½ch ph¥n tø 1 ¸n e c£ hai v¸ cõa (), ta ÷ñc.
e e
Z Z
h i
1 1
f(lnx) + f(1 lnx) dx = dx
x x
1 1
e e
Z Z
1 1
, f(lnx) dx + f(1 lnx) dx =e 1
x x
1 1
e e
Z Z
, f(lnx)d(lnx) f(1 lnx)d(1 lnx) =e 1 ()
1 1
x
°t t = lnx. êi cªn =e!t = 1 = 1!t = 0.
x
h Geogebra Pro Trang 690
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
Khi â
1 1
Z Z
(), f(x) dx f(1t)d(1t) =e 1
0 0
1 1
Z Z
, f(x) dx + f(x) dx =e 1
0 0
1
Z
e 1
, f(x) dx = :
2
0
Chån ph÷ìng ¡n A
8
f(1) =2 ln 2
>
<
C¥u 3. Cho h m sè y =f(x) li¶n töc tr¶nRnf0;1g thäa m¢n
f(2) =a +b ln 3;a;b2Q
>
:
2
x(x + 1)
f(x) +f(x) =x +x:
2 2
T½nh a +b .
25 9 5 13
A . B . C . D .
4 2 2 4
Líi gi£i.
2
Ta câ x(x + 1)
f(x) +f(x) =x +x (1).
2
Chia c£ 2 v¸ cõa biºu thùc (1) cho (x + 1) ta ÷ñc
x 1 x

f(x) + f(x) =
2
x + 1 (x + 1) x + 1
h i
x x
,
f(x) = ;vîi8x2Rnf0;1g
x + 1 x + 1
Z
x x
)
f(x) = dx
x + 1 x + 1
x
,
f(x) =x lnjx + 1j +C
x + 1
x + 1
, f(x) = (x lnjx + 1j +C):
x
M°t kh¡c, f(1) =2 ln 2, 2(1 ln 2 +C) =2 ln 2,C =1.
x + 1
Do â f(x) = (x lnjx + 1j 1).
x
3 3 3 3 3
Vîi x = 2 th¼ f(x) = (1 ln 3) = ln 3. Suy ra a = v  b = .
2 2 2 2 2
9
2 2
Vªy a +b = .
2
Chån ph÷ìng ¡n B
3
C¥u 4. Cho h m sèy =f(x) câ ¤o h m li¶n töc tr¶nR. Bi¸tf(1) =e v  (x+2)
f(x) =x
f(x)x
1
Z
vîi8x2R. T½nh f(x) dx.
0
h Geogebra Pro Trang 691
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
1 2 2 1 2 4
A . B e . C e . D e .
e 3 3 e e 3
Líi gi£i.
• ˜
x
xf(x) (x + 2)f(x) e f(x)
3 x
Ta câ: (x + 2)
f(x) =x
f(x)x , = 1, = e
3 2
x x
Z
x
e f(x)
x x 2 2 x
) = e dx =e +C,f(x) =x +C
x e .
2
x
1
V¼ f(1) =e)1 +C
e =e,C = 1 + .
e
 
1
2 2 x
Do â f(x) =x + 1 +
x e .
e
Vªy
1 1 1 1
Z Z Z Z
h   i  
1 1
2 2 x 2 2 x
f(x) dx = x + 1 +
x e dx = x dx + 1 + x e dx
e e
0 0 0 0
2 3
1 1 1
Z Z Z
     
1 1 1 1 1 1
2 x x x
4 5
= + 1 + x d(e ) = + 1 + e 2xe dx = +e + 1 2 1 + xd(e )
3 e 3 e 3 e
0 0 0
2 3
1
Z
   
2 1 2 1 4 2
x
4 5
= +e 2 1 + e e dx = +e 2 1 + [e (e 1)] = +e :
3 e 3 e 3 e
0
Chån ph÷ìng ¡n D
9
Z
 
2 15x
C¥u 5. Choh msèy =f(x)li¶ntöctr¶nRnf0gv thäam¢n 2f(3x)+3f = , f(x) dx =
x 2
3
3
2
Z
 
1
2019. T½nh I = f dx.
x
1
2
688 688 886 68
A I = . B I = . C I = . D I = .
3 3 3 3
Líi gi£i.
3
2
Z
 
1 1
X²t I = f dx. °t t = 2x) dx = dt.
x 2
1
2
8
1
>
<
x = )t = 1
2
êi cªn
3
>
:
x = )t = 3:
2
3
Z
 
1 2
Khi â I = f dt.
2 t
1
     
2 15x 2 5x 2 2 5t 2
M  2f(3x) + 3f = ,f = f(3x) hay f = f(3t).
x 2 x 2 3 t 2 3
h Geogebra Pro Trang 692
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
3 3 3 3
Z Z Z Z
h i
1 5t 2 5 1 1
N¶n I = f(3t) dt = t dt f(3t) dt =5 f(3t) dt(1).
2 2 3 4 3 3
1 1 1 1
1
t
°t u = 3t) dt = du. êi cªn = 3)u = 9 = 1)u = 3.
3
t
9
Z
1 2019 688
Khi â I =5 f(u) du =5 = .
9 9 3
3
Chån ph÷ìng ¡n A
 
1
2
C¥u 6. Cho h m sè f(x) câ ¤o h m li¶n töc tr¶n Rnf0g v  thäa m¢n 2f(2x)f = x ,
x
2 2
Z Z
 
2
xf(x) dx = 5. Gi¡ trà f dx b¬ng
x
1 1
103 103 103 103
A . B . C . D .
48 24 48 12
Líi gi£i.
¨ ¨
u =x du = dx
°t )
dv =f(x) dx v =f(x):
2 2 2
Z Z Z
2
Ta câ x
f(x) dx =x
f(x) f(x) dx, 5 = 2f(2)f(1) f(x) dx (1).
1
1 1 1
 
1 1
2
L¦n l÷ñt thay x = 1 v  x = v o 2f(2x)f =x ta ÷ñc.
2 x
8
8
3
>
< <
2f(2)f(1) = 1
f(2) =
4
,
1
1
: >
2f(1)f(2) =
:
f(1) = :
4
2
2 1 2
Z Z Z
1
Khi â (1), f(x) dx = 2f(2)f(1) 5 =4) f(2x) dx = f(x) dx =2.
2
1 1 1
2
1 1 1 1
Z Z Z Z
     
1 1 1 7
2
2
L¤i câ 2f(2x)f =x ) 2 f(2x) dx f dx = x dx, 2
(2) f dx =
x x x 24
1 1 1 1
2 2 2 2
1
Z
 
1 7 103
, f dx =4 = .
x 24 24
1
2
2 1 1
Z Z Z
 
2 2 2 2 2 1
°t t = )x = ) dx = dt ta câ f dx = f(t)
dt = 2 f(t)
dt (2).
2 2 2
x t t x t t
1 2 2
1 1 1
Z Z Z
 
1 1 1 1 1 1 103
°t u = )x = ) dx = du ta câ f dx = f(u)
du = f(t)
dt = .
2 2 2
x u u x u t 24
1 2 2
2
h Geogebra Pro Trang 693
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
48. TCH PH…N LI–N QUAN ˜N PH×ÌNG TRœNH H€M ‰NPHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
2
Z
   
2 103 103
Thay v o (2) ta ÷ñc f dx = 2
= .
x 24 12
1
Chån ph÷ìng ¡n D
C¥u 7. Cho h m sè f(x) câ ¤o h m li¶n töc tr¶n o¤n [0; 1] çng thíi thäa m¢n f(0) = 9 v
2
9f(x) + [f(x)x] = 9. T½nh T =f(1)f(0).
1
A T = 2 + 9 ln 2. B T = 9. C T = + 9 ln 2. D T = 2 9 ln 2.
2
Líi gi£i.
Ta câ
f(x) 1 1
2 2
9f(x) + [f(x)x] = 9, 9[f(x) 1] =[f(x)x] , =
2
[f(x)x] 9
Z
• ˜
1 1 1 1 1 x 9
) = ) = dx, = +C,f(x) =x + :
f(x)x 9 f(x)x 9 f(x)x 9 x + 9C
1 9
Do f(0) = 9 n¶n C = )f(x) = +x.
9 x + 1
1
Z  ‹
1
 
2
9 x 1
Vªy T =f(1)f(0) = +x dx = 9 lnjx + 1j + = 9 ln 2 + .
x + 1 2 2
0
0
Chån ph÷ìng ¡n C
C¥u 8. Cho h m sè f(x) nhªn gi¡ trà d÷ìng, câ ¤o h m li¶n töc tr¶n o¤n [0; 2]. Bi¸t f(0) = 1 v
2

Z
3 2
x 3x f(x)
2
2x4x
f(x)
f(2x) = e , vîi måi x2 [0; 2]. T½nh t½ch ph¥n I = dx.
f(x)
0
16 16 14 32
A I = . B I = . C I = . D I = .
3 5 3 5
Líi gi£i.
2
2x4x
Ta câ f(x)
f(2x) = e
2
2x4x
) ln [f(x)
f(2x)] = ln e
2
, lnf(x) + lnf(2x) = 2x 4x ().
¨
f(0)
f(2) = 1
M°t kh¡c, vîi x = 0, ta câ n¶n f(2) = 1.
f(0) = 1
X²t
2
2
Z Z
3 2
x 3x f(x)

f(x)
3 2
I = dx = x 3x
dx
f(x) f(x)
0 0
2
Z


3 2
= x 3x d (ln[f(x)])
0
2 2
Z Z
2





3 2 2 2
= x 3x ln[f(x)] 3x 6x
ln[f(x)] dx = 6x 3x
ln[f(x)] dx (1)
0
0 0
h Geogebra Pro Trang 694

onthicaptoc.com Bài tập tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn