Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hàm số y f()x xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a) Hàm số y f()x đồng biến trên K nếu mọi x ,x K,x x  f(x ) f(x ).
1 2 1 2 1 2
b) Hàm số y f()x nghịch biến trên K nếu mọi x ,x K,x x  f(x ) f(x ).
1 2 1 2 1 2
2. Định lí
Cho hàm số y f()x có đạo hàm trên K .

a) Nếu fx( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số fx() đồng biến trên K .

b) Nếu fx( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số fx() nghịch biến trên K .

c) Nếu fx( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số fx() không đổi trên K .

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ab; và có đạo hàm fx >0 trên khoảng
 

 
ab; thì hàm số f đồng biến trên đoạn ab; . Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ab;
 
 

và có đạo hàm fx < 0 trên khoảng ab; thì hàm số f nghịch biến trên đoạn ab; .
   

3. Định lí mở rộng:
Cho hàm số y f()x có đạo hàm trên K .
 
a) Nếu fx( ) 0 với mọi x thuộc K và fx( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K
thì hàm số fx() đồng biến trên K .
 
b) Nếu fx( ) 0 với mọi x thuộc K và fx( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K
thì hàm số fx() nghịch biến trên K .
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm fx(). Tìm các điểm x i 1,2, ...,n mà tại đó đạo hàm bằng 0
 
i
hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
i
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 1
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
32 32 3
a. yx 32x  b. yx  3x 3x2 c. yx 2x
Hướng dẫn giải
32
a. y = x3x 2 .
 Hàm số xác định với mọi x .
2 2
 
 Ta có: y36x x , cho y  0 3x 6x 0x 0,x 2 .
 Bảng biến thiên:
x
0 2



y   0 
0
32
 limy lim x  3x 2 
y(0)
 
y
xx 
y(2)

32
limy lim x  3x 2 
 
xx 
 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
 Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 2; .
   
 Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 .
 
Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng ;0  2; ”
   
32
b. y =x  3x  3x 2
 Hàm số xác định với mọi x .
2 2
 
 Ta có: y 3x 6x3, cho y  03x 6x3 0x1 (nghiệm kép)

yx 0,   hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định  .
3
c. y = x  2x .
 Hàm số xác định với mọi x .
2 2
 
 yx32, cho y  0  3x 2 0 (vô nghiệm)

yx 0,  hàm số luôn đồng biến trên tập xác định  .
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
1
42 42 42
a. yx 21x  b. yx x 2 c. y x 21x 
4
Hướng dẫn giải
42
a. y = x2x 1
 Hàm số xác định với mọi x .
32
 y 4x  4x 4x x 1 , cho yx00  hoặc x1 hoặc x1.
 
 Bảng biến thiên:
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 2
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
x  0 1 
1

  0 
y 0  0

 

y 0
 
y
y1
y 1

42
42
limxx2 1 
limxx2 1 


 
x
x
 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
 Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1; .
   
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 0;1 .
   
42
b. y =x  x  2
 Hàm số xác định với mọi x .
2 2
32
 
 y 4x 2x 2x 2x 1 , cho yx00  hoặc x hoặc x .
 
2 2
 Bảng biến thiên:
2 2
x

 0

2 2
0 
  
y 0 0


2 
2
y  y


 
y 2 2


 y0 
 
42
42
lim xx  2  lim xx  2 
   
x x
 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
 
2 2
 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; và 0; .
 
2 2
 

2 2
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và ; .

2 2

1
42
c. y = x2x 1.
4
 Hàm số xác định với mọi x .
32 2
 
 y x 44xx x  , cho yx00  (do x40 vô nghiệm).
 
 Bảng biến thiên:
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 3
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
x
0
 

y  
0
 
y
y 0
 


1
1
42
42
lim xx 2 1  lim xx 2 1 


 
x x
4
4


 Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng
 
;0 .
 
Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
43 53
a. yx 43x  b. yx x 24x
Hướng dẫn giải
43
a. y = x4x 3
 Hàm số xác định với mọi x .
3 2 2
 
 y  4x 12x  4x x 3 , cho yx00  (nghiệm kép) hoặc x3 .
 
 Bảng biến thiên:
x 0
3 

y
  
0 0

 
y
y3
43 43
limxx 4  3  limxx 4  3 
 
 
x x
 Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng 3; và nghịch biến trên khoảng
 
;3 .
 
53
b. y = x  x  2x 4
 Hàm số xác định với mọi x .
2
42 2 2
 
 y  5x 3x 2 , cho yx 0  (vô nghiệm) hoặc x  1 x 1 hoặc x1.
5
 Bảng biến thiên:
x
1
1 


y   
0
0
y(1)

y
y1

53 53
lim x x  2x 4  lim x x  2x 4 
   
x
x
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 4
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
 Từ bảng biến thiên suy ra:
 Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; .
   
 Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 .
 
Ví dụ 4: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
21x x 2
a. y b. y
x 5 x 3
Hướng dẫn giải
2x 1
a. y=
x5
 Hàm số xác định với mọi x 5.
 Tập xác định: D5 .

2.5 1.1
 
11

 yx   0,  5 . Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định,
22
xx55
   
tức là hàm số nghịch biến trên các khoảng ;5 và 5; .
   
Cách khác: Lập bảng biến thiên:
x 5



 
y

22
y
22


 
2x1 2 2x1 2
21x 21x
 
lim  2 lim  2
 
lim  lim 
   
x   x
1 1
x 5 x5 x5 x 5
x 5 x 5
   
 Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;5 và 5; .
   
x2
b. y=
x3
 Hàm số xác định với mọi x3.
 Tập xác định: D3 .
 
1.31.2 1
 yx   0, 3. Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, tức
22
xx33
   
là hàm số đồng biến trên các khoảng ;3 và 3; .
   
Cách khác: Lập bảng biến thiên:
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 5
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
x 3



y 



1
y

1
 
x21 x21
x 2 21x
 
lim 1 lim 1
 lim  lim  
   
x   x
1 1
x 3 x 3
x 3 x 3
x 3 x 5
   
 Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng ;3 và . 3; ..
   
Ví dụ 5: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
2
21xx x
a. b. y
y
2
21x
x 1
2
2x xx8 24
c. y d. y
2 2
x  9 x  4
Hướng dẫn giải
2
2xx 1
a. y=
2x 1
1
 Hàm số xác định với mọi x .
2

1
 Tập xác định: D .

2

2
2
4x1 2x1 2 2x x1
    
4xx4 3 1
2
 y , cho y 0 4x  4x 3 0x
22
2
2xx1 2 1
   
3
hoặc x .
2
 Bảng biến thiên:
1
1 1

x  
2
2
2
   
y 0 
0
1 


2
y
7
 
2
2 2
2
 

21xx 21xx
2
 21xx
21xx
lim  lim 

 lim
lim  
21x
1 21x 1 x

x  
 x x 21x 
 
21x 

2 2
  
 Từ bảng biến thiên suy ra:
1 3
 Hàm số đồng biến trên khoảng ; và ; .

2 2

11 13
 Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; và ; .
 
22 22
 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 6
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
x
b. y=
2
x1
2
 Vì xx1 0,  nên hàm số xác định với mọi x .
 Tập xác định D.
2
2
1. x1 2x.x
 
x 1
2
 
 y , cho y  0x 1 0x1 hoặc x1.
22
22
xx11
   
 Bảng biến thiên:
x
 1

1
y   
0
0
0 1
y
2
1
0
2
 
x x
 
lim  0 lim  0
x 2 x 2
 
x 1 x 1
 
 Từ bảng biến thiên suy ra:
 Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 .
 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và 1; .
   
2x
c. y=
2
x9
2
 Hàm số xác định khi x90x3 .
 Tập xác định: D 3;3 .
 
2
2
2 x9 2x.2x
 
2x 18
 Ta có yx   0, 3.
22
22
xx99
   
 Bảng biến thiên :
x 3
 3

y   


0
y
0
 
 Từ bảng biến thiên suy ra : Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3 , 3;3 và 3; .
    
2
x8x 24
d. y=
2
x4
2
 Hàm số xác định khi xx4 0 2 .
 Tập xác định : D 2;2 .
 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 7
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
22
2
2x 8 x  4 2x x  8x24
    
8xx 40  32

 Ta có y , cho
22
22
xx44
   
2

y  08xx 40 32 0 x1 hoặc x 4.
 Bảng biến thiên :
x  2 1 2

4
     0 
y 0

1  2
y
5 1


 Từ bảng biến thiên suy ra :
 Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và 2;4 .
   
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 , 2;1 và 4; .
     
Ví dụ 6: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
2 2
a. y x x20 b. y2x x
2
c. yx x  8 d. yx 3 x
Hướng dẫn giải
2
a. y = xx 20
2
 Hàm số xác định khi xx 20 0 x4 hoặc x 5 .
 Tập xác định : D ;4  5;
   
21x 1
 
 Ta có y  , cho yx 0 2 1 0x .
2
2
2xx20
 Bảng biến thiên :
x

5 
4

y  


y
0 0
 Từ bảng biến thiên suy ra :
 Hàm số đồng biến trên khoảng 5; .
 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;4 .
 
2
b. y = 2x x .
2
 Hàm số xác định khi 2xx  0 0x 2 .
 Tập xác định: D0;2 .

22 x
 Ta có y , cho y 0 1xx 0 1.
2
22xx
 Bảng biến thiên :
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 8
Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số
x


0 1 2
y  0 
1
y
0
0
 Từ bảng biến thiên suy ra :
 Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 .
 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 .
 
2
c. y =x x  8 .
2
 Tập xác định D (vì xx 8 0,  )

x 0
2x

22
 
 Ta có y 1 , cho y  0 x  8x 0 x  8x (vô

22
2
xx8
28x 


nghiệm)
 Bảng biến thiên :
x


y 

y
0
   
88
2
 
lim x x  8  limx(x) 1  limx1 1  .
22
x x x
 xx  
22
  
x  8x x  8x 8 8
2
 
lim xx  8  lim  lim  0.  0
x x 2 x
 11
xx8 8
x11
2
x

 Từ bảng biến thiên suy ra : Hàm số nghịch biến trên .

d. y = x 3 x .
 Hàm số xác định khi 3xx 0  3.
 Tập xác định : D ;3 .


23xx
 
1
 
 Ta có y 3.xx  , cho y  0  63x 0 x 2 .
2 3xx2 3
 Bảng biến thiên :
x


2 3
y
 0 
2
y
 0
 Từ bảng biến thiên suy ra :
 Hàm số đồng biến trên khoảng ;2 .
 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 9

onthicaptoc.com Bài tập sự đồng biến và nghịch biến hàm số