50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
DẠNG37. KHOẢNGCÁCHGIỮAHAIĐƯỜNG
THẲNGCHÉONHAU
1 KIẾNTHỨCCẦNNHỚ
1. Kho£ng c¡ch giúa iºm v  m°t ph¯ng.
Kho£ng c¡ch giúa mët iºm v  mët m°t ph¯ng l  kho£ng c¡ch tø iºm â tîi
M
h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa nâ l¶n m°t ph¯ng â.
0 0
d (M; ()) =MM vîi M l  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M l¶n m°t ph¯ng ().
0
M
1.1. Kho£ng c¡ch tø iºm M b§t k¼ ¸n m°t ph¯ng () câ chùa ÷íng cao cõa h¼nh châp (l«ng
trö...).
Ph÷ìng ph¡p:
Quy kho£ng c¡ch tø iºm M v· iºm A thuëc ¡y.
T¼m giao tuy¸n cõa m°t ph¯ng ¡y vîi ().
Tø A düng AH vuæng gâc vîi giao tuy¸n t¤i H. Khi â AH = d (A; ()).
d (M; (P )) MO
Cæng thùc t½nh t¿ l» kho£ng c¡ch: = .
d (A; (P )) AO
d
A
d
M
A
P
P
K O
O H
H K
M
1.2. Kho£ng c¡ch tø h¼nh chi¸u vuæng gâc A cõa ¿nh S ¸n m°t ph¯ng b¶n ().
Ph÷ìng ph¡p:
T¼m giao tuy¸n cõa () vîi m°t ph¯ng ¡y.
Tø A düng AH vuæng gâc vîi giao tuy¸n t¤i H.
Nèi SH, düng AK vuæng gâc SH t¤i K. Khi â AK = d (A; ()).
h Geogebra Pro Trang 412
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
1.3. Kho£ng c¡ch tø iºm b§t k¼ ¸n m°t ph¯ng b¶n.
Ph÷ìng ph¡p: Quy kho£ng c¡ch tø iºm â ¸n m°t ph¯ng b¶n v· kho£ng c¡ch tø iºm l  h¼nh
chi¸u cõa ¿nh S ¸n m°t ph¯ng b¶n.
2. Kho£ng c¡ch giúa mët ÷íng th¯ng v  mët m°t ph¯ng song song.
Kho£ng c¡ch giúa mët ÷íng th¯ng v  mët m°t ph¯ng song song l  kho£ng c¡ch tø mët iºm b§t
k¼ tr¶n ÷íng th¯ng n y tîi m°t ph¯ng kia.
3. Kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng song song.
Kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng song song l  kho£ng c¡ch tø mët iºm b§t k¼ tr¶n m°t ph¯ng
n y tîi m°t ph¯ng kia.
4. Kho£ng c¡ch hai ÷íng th¯ng ch²o nhau.
4.1.
Kho£ng c¡ch hai ÷íng th¯ng ch²o nhau l  ë d i o¤n vuæng gâc chung cõa


hai ÷íng th¯ng â.
A
a
¨
4?a;4?b
) d(a;b) =AB:
4a =A;4 =B
b
B
4.2. C¡ch t½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau.
C¡ch 1:Kho£ngc¡chgiúahai÷íngth¯ngch²onhaub¬ngkho£ng a
M
c¡ch giúa mët trong hai ÷íng th¯ng â v  m°t ph¯ng song song
vîi nâ, chùa ÷íng th¯ng cán l¤i.
¨
()b
d(a;b) = d (a; ()). Vîi .
0
0
ak () M
a
b
C¡ch 2: Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau b¬ng
a
M
kho£ng c¡ch giúa hai m°t ph¯ng song song l¦n l÷ñt chùa hai ÷íng
th¯ng â.
8
()a
>
<
d(a;b) = d ((); ()). Vîi .
()b
>
:
0
()k ()
M
b
C¡ch 3: Düng v  t½nh ë d i o¤n vuæng gâc chung cõa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau a v  b.
h Geogebra Pro Trang 413
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
2 BÀITẬPMẪU
V½ dö 1.
Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡y l  h¼nh thang, AB = 2a,AD =DC =
S
CB = a, SA vuæng gâc vîi m°t ph¯ng ¡y v  SA = 3a (minh håa
nh÷ h¼nh b¶n). Gåi M l  trung iºm cõa AB. Kho£ng c¡ch giúa hai
÷íng th¯ng SB v  DM b¬ng
p p
3a 3a 3 3a 3 3a
A M B
A . B . C . D .
4 2 13 13
D C
Líi gi£i.
Ph¥n t½ch h÷îng d¨n gi£i
1. D„NG TON: ¥y l  d¤ng to¡n t½nh kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng ch²o nhau.
2. H×ÎNG GIƒI:
B1: X¡c ành kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v  DM b¬ng kho£ng c¡ch tø ÷íng
th¯ng DM ¸n m°t ph¯ng (SBC).
B2: T½nh kho£ng c¡ch tø DM ¸n m°t ph¯ng (SBC) thæng qua kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n
(SBC).
B3: T½nh v  k¸t luªn.
LỜIGIẢICHITIẾT
Tø â, ta câ thº gi£i b i to¡n cö thº nh÷ sau
Do M l  trung iºm cõa AB n¶n ta câ
S
1
BM =AM = AB =a =AD =BC =CD:
2
Vªy tù gi¡c ADCM; BCDM l  h¼nh thoi.
H
)DMkBC)DMk (SBC)
) d(DM;SB) = d (DM; (SBC)) = d (M; (SBC)).
d (M; (SBC)) BM 1
M°t kh¡c AM (SBC) =B) = = .
A M B
d (A; (SBC)) BA 2
1
) d (M; (SBC)) = d (A; (SBC)). (1)
2
D C
1
X²t4ABC, câ ÷íng trung tuy¸n CM =AD = AB.
2
)4ABC vuæng t¤i C)AC?BC.
Trong tam gi¡c vuæng SAC, gåi H l  h¼nh chi¸u cõa A l¶n SC.
¨
BC?AC
L¤i câ )BC? (SAC))BC?AH.
BC?SA
Suy ra AH? (SBC))AH = d (A; (SBC)).
p p
2 2
X²t tam gi¡c vuæng ABC t¤i C câ AC = AB BC =a 3.
h Geogebra Pro Trang 414
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
1 1 1
4SAC vuæng t¤i A n¶n ta câ = +
2 2 2
AH AS AC
p
AS
AC 3a
3a 3a 3a
)AH =p =p = ) d (A; (SBC)) = .
2 2 2 2
2 2
AS +AC 9a + 3a
3a 3a
Tø (1)) d (M; (SBC)) = , vªy d(DM;SB) = d (M; (SBC)) = .
4 4
Chån ph÷ìng ¡n A
3 BÀITẬPTƯƠNGTỰVÀPHÁTTRIỂN
C¥u 1. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l  h¼nh chú nhªt câ AB = 2a;AD = 3a. H¼nh chi¸u vuæng
gâc cõaS l¶n (ABCD) l H thuëcAB sao choHB = 2HA. T½nh kho£ng c¡ch tøD ¸n (SHC).
p p p p
9 97 2 85 a 85 a 97
A a. B a. C . D .
97 11 11 97
Líi gi£i.
Düng DK?HC t¤i K.
S
¨
DK?HC
Ta câ )DK? (SHC))DK = d (D; (SHC)).
DK?SH
É
p
 
2
p
4a 97
2 2 2
HC = BH +BC = + (3a) = a.
3 3
1 1
Khi â S = S = DK
HC
4HDC ABCD
2 2
A D
p
2
H
S 6a 9 97
ABCD
K
)DK = =p = a.
HC 97
97a
B C
3
Chån ph÷ìng ¡n A
p
C¥u 2. Cho h¼nh châp S:ABC câ ¡y ABC l  tam gi¡c vuæng t¤i A, AB = a;AC = a 3.4SBC
·u v  n¬m trong m°t ph¯ng vuæng vîi ¡y. T½nh kho£ng c¡ch d tøB ¸n m°t ph¯ng (SAC).
p p p
a 39 2a 39 a 3
A d = . B d =a. C d = . D d = .
13 13 2
Líi gi£i.
Gåi H l  trung iºm cõa BC, suy ra SH?BC)SH? (ABC).
S
Gåi K l  trung iºm AC, suy ra HK?AC.
Gåi E l  h¼nh chi¸u cõa H l¶n SK.
Khi â ta câ
E
d (B; (SAC)) = 2d (H; (SAC)) = 2HE
p
B A
SH
HK 2a 39
= 2
p = :
2 2
13
SH +HK
H K
C
Chån ph÷ìng ¡n C
C¥u 3. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y l  h¼nh thang vuæng t¤i A v  B, AB =BC =a;AD = 2a.
SA? (ABCD) v  SA =a. T½nh kho£ng c¡ch giúa AD v  SB?
h Geogebra Pro Trang 415
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
p p p
a 2 a a 3 a 2
A . B . C . D .
4 2 3 2
Líi gi£i.
Trong (SAB), düng AH?SB t¤i H.
S
¨
AD?SA
V¼ )AD? (SAB))AD?AH t¤i A.
AD?AB
Tø â ta câ d(AD;SB) =AH.
X²t4SAB vuæng t¤i A câ
H
p
SA
AB a 2 A D
AH =p = :
2 2
2
SA +AB
B C
Chån ph÷ìng ¡n D
0 0 0 0
C¥u 4. Cho h¼nh lªp ph÷ìng ABCD:ABC D c¤nh b¬ng a. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng
0
AD v  AB b¬ng bao nhi¶u?
p p p
p
a 2 a 3 a 3
A a 2. B . C . D .
2 3 2
Líi gi£i.
¨
0
AB?AA
0 0
Ta câ )AB? (ADDA ). 0 0
A D
AB?AD
0 0
0 0 0
B C
Gåi H l  giao iºm cõa AD vîi AD , suy ra AH?AD.
¨
0
AH?AD t¤i H
Khi â
H
AH?AB t¤i A:
p
a 2
0
A D
) d(AB;AD) =AH = .
2
B C
Chån ph÷ìng ¡n B
C¥u 5. Cho h¼nh châp tù gi¡c S:ABCD câ ¡y l  h¼nh chú nhªt c¤nh AD = 2a, SA? (ABCD) v
SA =a. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AB v  SD b¬ng
p p p
p
a 3 a 6 2a 5
A . B . C . D a 6.
3 4 5
Líi gi£i.
Trong4SAD k´ ÷íng cao AH ta câ
S
¨
AH?SD t¤i H
Khi â
AH?AB t¤i A:
H
N¶n AH ch½nh l  ÷íng vuæng gâc chung cõa AB v  SD.
p
AD
AS 2a
a 2a 5
Câ AD
AS =AH
SD)AH = =p = .
2 2
SD 5
(2a) +a
A D
p
2a 5
Vªy d(AB;SD) =AH = .
5
B C
h Geogebra Pro Trang 416
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
Chån ph÷ìng ¡n C
C¥u 6. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l  h¼nh vuæng vîi ÷íng ch²o AC = 2a, SA vuæng
gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD). Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v  CD l
p p
a a
Ap . B p . C a 2. D a 3.
3 2
Líi gi£i.
¨
DA?SA
Ta câ )DA? (SAB).
S
DA?AB
¨
CD6 (SAB)
M°t kh¡c )CDk (SAB).
CDkAB
Tø â suy ra kho£ng c¡ch giúa SB v  CD b¬ng kho£ng c¡ch giúa
(SAB) v  CD v  b¬ng DA.
A D
p
ABCD l  h¼nh vuæng vîi ÷íng ch²o AC = 2a suy ra DA = 2a.
p
Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB v  CD l  a 2.
B C
Chån ph÷ìng ¡n C
C¥u 7. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l  h¼nh vuæng c¤nh a.4SAB ·u v  n¬m trong
m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABCD). Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng BC v  SD
l
p p p
a 3 a 3 a 2
A a. B . C . D .
2 3 2
Líi gi£i.
Gåi M, H l¦n l÷ñt l  trung iºm cõa AB, SA.
S
Khi â SM?AB m  (SAB)? (ABCD))SM? (ABCD).
4SAB ·u n¶n BH?SA.
H
M  AD? (SAB))AD?BH.
Do â BH? (SAD).
M°t kh¡c ta câ BCk (SAD)
A D
) d(BC;SD) = d (BC; (SAD)) = d (B; (SAD)) =BH.
p
a 3
M
Do â d(BC;SD) =BH = .
2
B C
Chån ph÷ìng ¡n B
0 0 0
C¥u 8. Cho l«ng trö ùng ABC:ABC câ t§t c£ c¡c c¤nh ·u b¬ng 2a. Kho£ng c¡ch giúa hai
0
÷íng th¯ng BC v  AA b¬ng
p p
p
2a 5 2a a 3
A . B p . C . D a 3.
3 2
5
Líi gi£i.
h Geogebra Pro Trang 417
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
Gåi H l  trung iºm BC, v¼ ABC l  tam gi¡c ·u n¶n AH?BC. 0 0
A C
0 0
M°t kh¡c AH?BB (do BB ? (ABC)).
p
0
0 0 0 0
Do â AH? (BCC B )) d (A; (BCC B )) =AH =a 3. B
0 0 0 0 0
Ta câ AA kBB )AA k (BCC B ).
0 0 0 0 0 0
) d(AA;BC) = d (AA; (BCC B )) = d (A; (BCC B )) = AH =
p
A C
a 3.
H
B
Chån ph÷ìng ¡n D
C¥u 9. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ AB = 2a, SA = 4a. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng
th¯ng AC v  SD b¬ng
p p p p
14a 7a 14a 7a
A . B . C . D .
2 2 4 2
Líi gi£i.
Gåi O =ACBD)SO? (ABCD).
S
¨
AC?BD
Ta câ )AC? (SBD).
AC?SO
¨
OH?SD t¤i H
K´ OH?SD)
H
OH?AC t¤i O:
)OH l  o¤n vuæng gâc chung cõa AC v  SD.
A D
p p p
2 2
Ta câ OD =a 2;SO = SD OD =a 14.
p
1 1 1 a 7
) = + )OH = .
O
2 2 2
OH OS OD 2
p
B C
a 7
Vªy d(AC;SD) =OH = .
2
Chån ph÷ìng ¡n B
C¥u 10. Cho h¼nh châp tù gi¡c ·u S:ABCD câ ¡y l  h¼nh vuæng t¥m O c¤nh a; SO = 2a.
Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng AC v  SD b¬ng
p p
a 3 2a 3 2a 4a
A . B . C . D .
3 3 3 3
Líi gi£i.
h Geogebra Pro Trang 418
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
Gåi O =ACBD)SO? (ABCD).
S
¨
AC?BD
Ta câ )AC? (SBD).
AC?SO
¨
OH?SD t¤i H
K´ OH?SD)
H
OH?AC t¤i O:
)OH l  o¤n vuæng gâc chung cõa AC v  SD.
p
A D
p
a 2
Ta câ AB =a)BD =a 2)OD = ;SO = 2a.
2
1 1 1 2a
O
) = + )OH = .
2 2 2
OH OS OD 3
B C
2a
Vªy d(AC;SD) = .
3
Chån ph÷ìng ¡n C
C¥u 11. Cho h¼nh châpS:ABCD câ ¡yABCD l  h¼nh thoi c¤nha.4ABC ·u, h¼nh chi¸u vuæng
gâc H cõa ¿nh S tr¶n m°t ph¯ng (ABCD) tròng vîi trång t¥m cõa4ABC. ÷íng th¯ng SD hñp

vîi m°t ph¯ng (ABCD) gâc 30 . T½nh kho£ng c¡ch d tø B ¸n m°t ph¯ng (SCD) theo a.
p p
p
2a 21 a 21
A d = . B d = . C d =a. D d =a 3.
21 7
Líi gi£i.
BD 3
Ta câ d (B; (SCD)) = d (H; (SCD)) = d (H; (SCD)).
S
HD 2
Trong (SHC), k´ HK?SC. (1)
Ta câ4ABC ·u n¶n HC?AB)HC?CD.
L¤i câ SH? (ABCD))SH?CD.
Suy ra CD? (SHC))CD?HK (2).
Tø (1), (2))HK? (SCD)) d (H; (SCD)) =HK. K

Û Ù
Õ
Ta câ (SD; (ABCD)) = (SD;HD) =SDH = 30
2a A D
Õ
v  SH =HD
tanSDH = .
O
3
H
p
SH
HC 2a 21
p
Tam gi¡c vuæng SHC, câ HK = = .
2 2
B
21 C
SH +HC
p
3 a 21
Vªy d (B; (SCD)) = HK = .
2 7
Chån ph÷ìng ¡n B
C¥u 12. Cho h¼nh châp S:ABCD câ SA =a;SA? (ABCD), ¡y ABCD l  h¼nh vuæng. Gåi M;N

l¦n l÷ñt l  trung iºm cõa AD;DC, gâc giúa (SBM) v  m°t ¡y l  45 . T½nh kho£ng c¡ch tø D
¸n m°t ph¯ng (SBM)?
p p p
p
a 2 a 2 a 3
A . B a 2. C . D .
3 2 2
Líi gi£i.
h Geogebra Pro Trang 419
Nhâm: PHT TRIšN — MINH HÅA
50 D„NG TON PHT TRIšN — MINH HÅA L†N 1
37. KHOƒNG CCH GIÚA HAI ×ÍNG THNG CH’O NHAPHU T TRIšN — MINH HÅA L†N 1
S
A M D
I
H
N
A M D
H
C
N
B C B
Ta câ AM =DM) d (D; (SBM)) = d (A; (SBM)).
Gåi H l  giao iºm cõa BM v  AN.
 
c c c Ó c Ó
Ta câ4ABM =4DAN (c-g-c))B =A . M  B +M = 90 ) A +M = 90 . Vªy BM?AN.
1 1 1 1 1 1
¨
BM?AN
Khi â )BM? (SAN))BM?SH.
BM?SA
Trong (SAH), gåi I l  h¼nh chi¸u cõa A l¶n SH.
L¤i câ BM? (SAN))BM?AI. Suy ra AI? (SBM)) d (A; (SBM)) =AI.
8
BM = (SBM) (ABCD)
>
<

Û Ù
Ô
Ta câ ) ((SBM); (ABCD)) = (SH;AN) =SHA = 45 .
BM?SH
>
:
BM?AN
p
Suy ra4SAH vuæng c¥n t¤i A câ SA =AH =a)SH =a 2.
p p
1 a 2 a 2
)AI = SH = . Vªy d (D; (SBM)) =AI = .
2 2 2
Chån ph÷ìng ¡n C
0
C¥u 13. Cho h¼nh hëp chú nhªt ABCD:A B C D câ AA = 2a;AD = 4a. Gåi M l  trung iºm
1 1 1 1
1
AD. Kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng A B v  C M b¬ng bao nhi¶u?
1 1 1
p p
A 3a. B 2a 2. C a 2. D 2a.
Líi gi£i.
Ta câ A B kC D suy ra
1 1 1 1
A M D
C
d (A B ;C M) = d (A B ; (C D M)) = d (A ; (C D M)):
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
0
V¼ AA = 2a, AD = 4a v  M l  trung iºm AD
1
A D
1 1
n¶n A M?D M, suy ra A M? (C D M)
1 1 1 1 1
p
B
1
) d (A ; (C D M)) =A M = 2a 2.
1 1 1 1
C
1
Chån ph÷ìng ¡n B
C¥u 14. Cho h¼nh châp S:ABCD câ ¡y ABCD l  h¼nh vuæng c¤nh a, t¥m O. C¤nh b¶n SA = 2a
v  vuæng gâc vîi m°t ¡y (ABCD). Gåi H v  K l¦n l÷ñt l  trung iºm cõa c¤nh BC v  CD. T½nh
kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng HK v  SD.
h Geogebra Pro Trang 420

onthicaptoc.com Bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau