8. Dạng 8: Toán thực tế
a) Phương pháp giải tự luận.
Ví dụ 1: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy của hình chóp bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Chiều cao của hình chóp:
Suy ra thể tích của khối chóp:
Khảo sát hàm trên , ta được lớn nhất khi .
Cách làm trắc nghiệm. Đầu tiên ta loại đáp án C do . Thay ba đáp án còn lại vào hàm số . So sánh kết quả nào lớn nhất ta chọn. Nếu đề bài hỏi giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp thì ta không làm theo cách này được.
Ví dụ 2: Người ta cắt miếng bìa hình tam giác đều cạnh bằng như hình bên và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích của khối tứ diện tạo thành.
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tứ diện đều tạo thành là tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng .
Diện tích đáy là .
Đường cao , với là tâm đáy.
Thể tích
Ví dụ 3: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem hình). Nếu chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng thì x bằng:
A.. B.. C.. D. .
Lời giải
Chọn B
Hình chóp tứ giác đều đỉnh S, O là tâm đáy.
M là trung điểm một cạnh đáy.
b) Bài tập vận dụng có chia mức độ (mỗi dạng ít nhất 25 câu)
NHẬN BIẾT.
Câu 1: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 154m; độ dài cạnh đáy là 270m. Khi đó thể tích của khối kim tự tháp là:
A. 3.742.200 B. 3.640.000 C. 3.500.000 D. 3.545.000
Câu 2: Người ta cắt miếng bìa tam giác đều như hình vẽ và gấp lại theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích . Tính độ dài cạnh của miếng bìa theo ?
A. B. C. D.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
Đặt là cạnh của miếng bìa. Khi đó cạnh của tứ diện đều là , suy ra thể tích tứ diện đều là :
. Do đó , suy ra cạnh của miếng bìa là .
Lưu ý : Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích của nó là .
THÔNG HIỂU.
Câu 3: Hai miếng giấy hình vuông bằng nhau được hai bạn Việt và Nam cắt ra và tạo thành một hình chóp tứ giác đều như sau.
Việt : Cắt bỏ miếng giấy như Hình 1 (với M là trung điểm OA) rồi tạo thành một hình chóp tứ giác đều.
Nam : Cắt bỏ miếng giấy như Hình 2 (với M nằm trên OA thỏa ) rồi tạo thành một hình chóp tứ giác đều.

Hình 1

Hình 2
Gọi là thể tích khối chóp của Việt, là thể tích khối chóp của Nam. Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 4: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất.
A. 4 B. 4 C. D. A, B, C đều sai
VẬN DỤNG.
Câu 5: Để làm một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng , người ta cắt tấm tôn theo các tam giác cân bằng nhau sau đó gò các tam giác sao cho bốn đỉnh trùng nhau(hình vẽ).
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là . Tính thể tích của khối chóp đều tạo thành.
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
+ đều.
Vì vậy hình chóp tứ giác đều tạo thành có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng .
Trong đó,
+ Dễ dàng chứng minh được rằng:
“Một khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng thì có thể tích là ”
+ Với thì
Câu 6: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12A của trường THPT B đã làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một tấm tôn hình vuông MNPQ có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn theo các tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDM sau đó gò các tam giác ANB; BPC; CQD; DMA sao cho bốn đỉnh M;N;P;Q trùng nhau (như hình). Thể tích lớn nhất của khối chóp đều là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gợi ý: Gọi cạnh hình vuông ABCD là x thì đường cao mặt bên là: SM=
suy ra chiều cao của phối chóp SO =
Vậy V = lập bbt suy ra V lớn nhất tại x =
Ta tìm maxV =

Câu 7: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (m), sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án: A
Thể tích của khối chóp thu được là
Xét trên được lớn nhất khi
VẬN DỤNG CAO (NẾU CÓ)
Câu 8: Một đống đất được vun thành hình một khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2m, cạnh đáy nhỏ bằng 1m và chiều cao bằng 2m. Khối lượng (thể tích) đống đất có giá trị gần nhất với con số
A. 4,55m3. B. 4,65m3. C. 4,7 m3. D. 4,75m3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B
Kéo dài các cạnh bên hình chóp cụt lên phía trên ta được hình chóp lớn là hình chóp sinh ra hình chóp cụt. Hình chóp nhỏ và hình chóp lớn đồng dạng theo tỉ số k =
( là tỉ số giữa độ dài cạnh đáy nhỏ và độ dài cạnh đáy lớn hình chóp cụt)
Thể tích chóp lớn bằng
Tỉ số giữa thể tích chóp nhỏ và thể tích chóp lớn bằng
Þ Thể tích chóp cụt bằng thể tích chóp lớn và bằng
Bảng đáp án

onthicaptoc.com Bài tập dạng toán thực tế môn toán lớp 12