2. HOÁN VỊ
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa:
· .
· .
· (với ).
· (với ).
2. Hoán vị (không lặp):
· Một tập hợp gồm phần tử . Mỗi cách sắp xếp phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của phần tử.
· Số các hoán vị của phần tử là: .
3. Hoán vị lặp:
· Cho phần tử khác nhau: , , …. Một cách sắp xếp phần tử trong đó gồm phần tử , phần tử ,…, phần tử theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị cấp và kiểu của phần tử.
· Số hoán vị lặp cấp , kiểu của phần tử.là: .
4. Hoán vị vòng quanh:
· Cho tập gồm phần tử. Một cách sắp xếp phần tử của tập thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của phần tử.
· Số các hoán vị vòng quanh của phần tử là: .
B. BÀI TẬP
Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:
. .
. .
. .
.
Câu 2. Chứng minh rằng:
a) . b) , .
c) . d) .
e) .
Câu 3. Giải các bất phương trình sau:
a) .
b) . c) .
Câu 4. Giải các phương trình sau:
a) . b) .
c) . d) .
e) . f) .
Câu 5. Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau lập từ các chữ số , , , , . Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số
a) Bắt đầu bằng chữ số ? b) Không bắt đầu bằng chữ số ?
c) Bắt đầu bằng ? d) Không bắt đầu bằng ?
Câu 6. Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các số , , , , . Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số ? b) Không bắt đầu bằng chữ số ?
c) Bắt đầu bằng ? d) Không bắt đầu bằng ?
Câu 7. Với mỗi hoán vị của các số , , , , , , ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của phần tử trên?
Câu 8. Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của chữ số số , , , , , .
Câu 9. Trên một kệ sách có quyển sách Toán, quyển sách Lí, quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn?
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Câu 10. Có học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1?
c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?
Câu 11. Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
Câu 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Câu 14. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa?
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
Câu 15. Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
Câu 16. Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
Câu 17. Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
Câu 18. Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau?
Câu 19. Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?
Câu 20. Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
Câu 21. Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
a) Tập và tập đứng cạnh nhau?
b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
Câu 22. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Câu 23. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Câu 24. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
b) Các chữ số được xếp tuỳ ý?
C. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Câu 2. Chứng minh rằng:
a) . b) , .
c) . d) .
e) .
Lời giải
a) Ta có: (đpcm).
c) Ta có: .
d) Ta có :
e) Từ câu a, ta có:
Áp dụng cho :  :
(đpcm).
Câu 3. Giải các bất phương trình sau:
a) .
b) . c) .
Lời giải
a) ĐK : , .


, , .
b) ĐK : , .

, .
c) ĐK : , .

, .
Câu 4. Giải các phương trình sau:
a) . b) .
c) . d) .
e) . f) .
Lời giải
a) Ta có: .
b) ĐK : , .
Ta có: (tm).
c) ĐK : , .
Ta có: .
Kết hợp với điều kiện, suy ra pt có nghiệm .
d) ĐK : , .
Ta có: .
Kết hợp với điều kiện, suy ra pt có nghiệm .
e) ĐK : , .
Ta có: .
Kết hợp với điều kiện, suy ra pt có nghiệm .
e) ĐK : , .
Ta có: (tm).
Câu 5. Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau lập từ các chữ số , , , , . Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số
a) Bắt đầu bằng chữ số ? b) Không bắt đầu bằng chữ số ?
c) Bắt đầu bằng ? d) Không bắt đầu bằng ?
Lời giải
a) Gọi số cần tìm là .
Xếp chữ số , , , vào vị trí , , , Có cách.
Vậy có số có chữ số và bắt đầu bởi chữ số .
b) Từ chữ số đã cho ta lập được số tự nhiên có chữ số khác nhau.
Tương tự câu a có số có chữ số và bắt đầu bởi chữ số .
có số có chữ số và không bắt đầu bởi chữ số .
c) Gọi số cần tìm là .
Xếp chữ số , , vào vị trí , , Có cách.
Vậy có số có chữ số và bắt đầu bởi .
d) Tương tự có số có chữ số và không bắt đầu bởi .
Câu 6. Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các số , , , , . Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số ? b) Không bắt đầu bằng chữ số ?
c) Bắt đầu bằng ? d) Không bắt đầu bằng ?
Lời giải
Tương tự bài 5.
Câu 7. Với mỗi hoán vị của các số , , , , , , ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của phần tử trên?
Lời giải
Mỗi số tự nhiên có chữ số khác nhau là hoán vị của phần tử nên có số.
Vì các chữ số đều bình đẳng như nhau nên có số có chữ số ở hàng đơn vị, chữ số ở hàng đơn vị…
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là .
Tương tự với các hàng khác nên sẽ có tổng cần tìm là:
.
Câu 8. Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của chữ số số , , , , , .
Lời giải
Nhận thấy
là tổng của số
Mỗi số trong tổng tương ứng và chỉ số trong tổng đó sao cho tổng của chúng bằng .
Vậy các số trong tổng tạo thành cặp và tổng mỗi cặp là .
Vậy .
Câu 9. Trên một kệ sách có quyển sách Toán, quyển sách Lí, quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn?
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Lời giải
a. Tổng số quyển sách có trên kệ là:.
Sắp xếp các quyển một cách tùy ý từ quyển sách, tức là ta được một hoán vị của quyển sách
Vậy có cách xếp.
b. Xếp các quyển sách theo từng môn:
+ quyển sách toán có cách
+ quyển sách lý có cách xếp.
+ quyển sách văn có cách xếp
Do đó có cách xếp các quyển sách trên theo từng môn sẽ là: .
c. Cố định sách toán ở giữa nên ta sẽ được hoán vị hai môn lý và văn
Vậy có cách xếp.
Câu 10. Có học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1?
c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?
Lời giải
a. Có tổng cộng học sinh. Lấy một học sinh làm mốc, hoán vị 7 bạn còn lại, vậy có cách xếp.
b. Cố định hai bạn ngồi cạnh nhau khi đó có cách xếp các bạn còn lại. Do đó có cách xép
c. Cố định bạn nữ ngồi cạnh nhau, suy ra có 3 cách xép. Hoán vị 6 bạn còn lại suy ra có cách xếp. Do bàn tròn nên sẽ có cách xếp
Câu 11. Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Lời giải
Chọn vị trí cho 3 chữ số có cách, hoán vị số 5 số còn lại suy ra có cách.
Nếu chữ số 0 đứng đầu thì có cách.
Vậy có số.
Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
Lời giải
Các chữ số phân biệt, tổng các chữ số bằng 9, bỏ đi chữ số 0 thì có ba bộ số , , .
Hoán vị từng bộ số này có số.
Vậy có số cần lập.
Câu 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Lời giải
Xét số mà 2 chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau.
Chọn cố định vị trí của hai số 1 và 6 đứng cạnh nhau theo chiều xuôi có 5 cách.
Đổi lại có cách.
Hoán vị 4số còn lại, vậy có số như vậy.
Hoán vị 6 chữ số bất kì được số.
Vậy có số cần lập.
Câu 14. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa?
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
Lời giải
a) Cho bạn C ngồi ngay vào giữa. Hoán vị 4 bạn còn lại suy ra có cách xếp.
b) Hai bạn A và E ngồi ngay đầu ghế nên có 2 cách.
Hoán vị 3 bạn còn lại có cách.
Vậy có cách .
Câu 15. Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
Lời giải
Rõ ràng để các công dân có cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau thì có 5 bộ.
Cố định một phái đoàn, suy ra có cách xếp 4 bộ còn lại.
Trong mỗi phái đoàn, hoán vị lần lượt mọi người. Tóm lại có cách.
Câu 16. Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
Lời giải
a) Cố định 5 người này thành một nhóm, như vậy coi như có 6 người, có cách xếp.
Tiếp tục hoán vị 5 người muốn ngồi cạnh nhau. Vậy có cách.
b) Chọn hai người ngồi cạnh nhau. Vậy có cách
Do đó có cách.
Câu 17. Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
Lời giải
a) Hoán vị 2 bộ ta có 2 cách , hoán vị các bạn nam và các bạn nữ trong từng nhóm.
Vậy có cách.
b) Nữ ngồi kề nhau, vậy có 7 bộ , hoán vị 7 bộ ta có cách. Hoán vị 4 nữ sinh có cách .
Do đó có cách.
Câu 18. Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau?
Lời giải
Tương tự bài trên có cách.
Câu 19. Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?
Lời giải
Có 5 dãy ghế mà có 20 học sinh tức là có 4 cột học sinh.
Do các em nối đuôi nhau chung một đề nên mỗi cột học sinh này là một đề và các em ngồi cạnh nhau đề khác nhau(ta có thể coi hai cột cùng đề nhau so le)
Từ đó có 10 học sinh đề 1 và được sắp xếp vào hai cột và tương tự với 10 học sinh còn lại nên:
* Có cách sắp xếp 10 học sinh vào hai cột cùng đề
* Có 2 cách chọn đề cho 10 học sinh nói trên.
* Còn 10 học sinh còn lại nên có cách sắp xép
Như vậy có: cách sắp xếp.
Câu 20. Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
Lời giải
Coi các bi cùng màu là một tập hợp thì có 4 tập hợp tất cả có cách sắp xếp tập hợp này.
* Có cách sắp xếp 3 bi đen.
* Có cách sắp xếp bi đỏ.
* Có cách sắp xếp 5 bi vàng.
* Có cách sắp xếp 6 bi xanh.
Như vậy có: cách sắp xếp.
Câu 21. Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
a) Tập và tập đứng cạnh nhau?
b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
Lời giải
a) Số cách bằng: .
b) Số cách bằng: .
Câu 22. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Lời giải
Có cách.
Câu 23. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
ĐS: 5880.
Câu 24. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
b) Các chữ số được xếp tuỳ ý?
Lời giải
a) Số cách bằng: .
b) Số cách bằng: .

onthicaptoc.com Bài tập có đáp án chi tiết về hoán vị môn toán lớp 11