CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP
- Số tự nhiên:
- Số nguyên:
- Số hữu tỉ:
- Số vô tỉ:
- Số thực: I+Q=R
II. Số hữu tỉ:
1. Kiến thức cần nhớ:
- Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm.
- Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách:
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ: ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: )
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0
- Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số:
Cộng trừ số hữu tỉ
Nhân, chia số hữu tỉ
1. Qui tắc
* Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu.
* Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
* Phép chia là phép nhân nghịch đảo.
* Nghịch đảo của x là 1/x
Tính chất
a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y = y. z
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z)
(x.y)z = x(y.z)
c) Tính chất cộng với số 0:
x + 0 = x;
x.y=y.x ( t/c giao hoán)
(x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp )
x.1=1.x=x
x. 0 =0
x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Bổ sung
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là:
; ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0
-(x.y) = (-x).y = x.(-y)
- Các kí hiệu: : thuộc , : không thuộc , : là tập con
2. Các dạng toán:
Dạng 1: Thực hiện phép tính
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
- áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.
- Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Chỉ được áp dụng tính chất:
a.b + a.c = a(b+c)
a : c + b: c = (a+b):c
Không được áp dụng:
a : b + a : c = a: (b+c)
Ví dụ:
Bài 1:
a) b) c) d) e) ; f)
Bài số 2: Thực hiện phép tính:
a) b)
c) d)
Bài số 3: Tính hợp lí:
a) b) c)
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
-PP: Nếu là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số
Ví dụ: biểu diễn số : ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được phân số biểu diễn số
Hình vẽ:
Nếu là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm trục Ox a phần , ta được vị trí của số
BÀI TẬP
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a.
Dạng 3: So sánh số hữu tỉ.
PP:
* Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
* So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1…
* Dựa vào phần bù của 1.
* So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia)
BÀI TẬP
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) và ; b) và c) và y = 0,75
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) và ; b) và ; c) và d) và
e) và f) ; g) và ; h) và ; k) và
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm).
PP: Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0.
Ví dụ: Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì :
a) x là số dương. b) x là số âm. c) x không là số dương cũng không là số âm
HD:
a. Để x>0 thì , suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011
b. Để x<0 thì , suy ra m-2011<0 ( vì 2013>0), suy ra m<2011
c. Để x=0 thì , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của m thì:
a) x là số dương. b) x là số âm
Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ dưới dạng sau:
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương.
Bài 3. Viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ dưới các dạng sau:
a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ.
Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ dưới các dạng sau:
a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm.
Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng:
PP:
- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số
Ví dụ: Tìm a sao cho
HD: Từ bài ra ta có: ; suy ra 8BÀI TẬP
Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn và nhỏ hơn .
Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho:
a) c)
b) d)
Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên.
PP:
- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.
- Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.
- Với các bài toán tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.
Ví dụ: Tìm x để A= là số nguyên
Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1
Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1
-5
-1
1
5
x
-4
0
2
6
Ví dụ: Tìm x để B= là số nguyên
Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới mẫu số):
* Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu.
B=, ( điều kiện: x≠ 1).
Để B nguyên thì là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1
-5
-1
1
5
x
-4
0
2
6
Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết:
* Các bước làm:
* Tìm điều kiện.
* , nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu
Điều kiện: x ≠ 1.
Ta có:
x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1)
Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1)Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1
-5
-1
1
5
x
-4
0
2
6
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
Giải: Ta có suy ra suy ra.
Hay (6x+4)-(6x+3) => 12x+1=> 2x+1Ư(1)={-1;1}
suy ra x=0, -1
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên:
a. A= b. B=
HD:
a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4), hay x2+4x x+4 (1)
Để A nguyên thì x2+4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 .
x+4
-1
1
-7
7
X
-5
-3
-11
3
b. x+4 x+4, suy ra x(x+4), hay x2+4x x+4 (1)
Để B nguyên thì x2+7 x+4 (2)
Từ (1) (2) suy ra (x2+4x)- (x2+7) x+4
4x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4
x+4
-1
1
-23
23
x
-5
-3
-27
19
Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau:
* Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y).
* Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích.
Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1
Giải:
y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y )
y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 )
(x+3)(y-3)=-10
Lập bảng:
x+3
1
10
-1
-10
5
2
-5
-2
y+3
10
1
-10
-1
2
5
-2
-5
X
-2
7
-4
-13
2
-1
-8
-5
Y
7
-2
-13
-4
-1
2
-5
-8
Với các biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0
Ví dụ: (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy)
ó 3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)
ó x(3-y)-3(3-y)+9=0 ó (x-3)(3-y)=-9
Lập bảng:
x-3
1
-9
-3
3
3-y
-9
1
3
-3
x
4
-6
0
6
y
12
2
0
6
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = là một số nguyên.
Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = là một số nguyên.
Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ là phân số tối giản, với mọi m N
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên
A= ; B=; C=; D= ; E=
Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn:
a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9
Dạng 7: Các bài toán tìm x.
PP
- Quy đồng khử mẫu số
- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không.
- Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các bài toán tìm x có quy luật.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm x, biết:
a) x. ; b) ; c) ; d)
Bài 2. Tìm x, biết:
a) ; b)
Bài 3. Tìm x, biết:
a) ; b) ; c)
Bài 4: a) b)
c) d)
e)

HD:
=> => x= -2010
Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a) (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử)
b) (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)

c)
(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
d) (Chú ý: )
e) (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)
Dạng 8: Các bài toán tìm x trong bất phương trình:
PP:
- Nếu a.b>0 thì hoặc ; - Nếu a.b≥0 thì hoặc ;
- Nếu a.b<0 thì hoặc ; - Nếu a.b≤0 thì hoặc
- Nếu thì hoặc ;- Nếu hoặc ;
- Nếu hoặc ; - Nếu hoặc
Chú ý: Dạng toán a.b<0 có cách giải nhanh bằng việc đánh giá. Hãy xem Ví dụ c.
Ví dụ:
a. (2x+4)(x-3)>0 b. c. (x-2)(x+5)<0
HD:
a. (2x+4)(x-3)>0 suy ra hoặc
=> hoặc => hoặc =>x>3 hoặc x<-2
b. suy ra hoặc => hoặc (không tồn tại x)
=> -5c. (x-2)(x+5)<0. Vì x+5>x-2 nên (x-2)(x+5)<0 khi => => -5BÀI TẬP:
Tìm x biết:
a. (x-1)(x+4)>0 b. (3x-1)(2x+4)≥0 c. (3-x)(x+1)<0
d. (x-7)(3x+4)≤0 e.
Dạng 9: các bài toán tính tổng theo quy luật:
Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau một số không đổi:
PP:
- Tính số các số hạng:
- Tổng =
Ví dụ: 1+2+3+……..+99 (khoảng cách bằng 2)
số các số hạng: số hạng
Tổng =
Chú ý:
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ]
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ (n – 1) n = n. (n – 1 ).(n + 1)
A = 1+2+3+…+(n-1)+n = n (n+1):2
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1)
A = 12 +22 +32+...+992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6
Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n:
PP:
- Tính A.n
- Tính A.n-A rồi suy ra tổng A
Ví dụ: A= 2+22+23….+2100 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị)
Ta có : 2.A=22+23 +24….+2101 (nhân 2 vế với n=2)
2A-A=22+23 +24….+2101 -(2+22+23….+2100) (chú ý: 2A-A=A)
A=2101-2
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi.
PP: Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu
Ví dụ: A=
=
BÀI TẬP:
A = .
B = .
Tìm x, biết:
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không đôi:
PP: Phân tích tử số thành hiệu của hai số ( số cuối – số đầu ) ở dưới mẫu
Sn =

BÀI TẬP
Bài 1:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 (Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng (2+2), (3+2), (4+2)....(100 +2)
A = 4+12+24+40+...+19404+19800 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)
A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 (Nhân 2 vế với 2)
A = 6+16+30+48+...+19600+19998 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)
Bài 2:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
Bài 3:
a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + …+ (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ …+ 2009. 2010
Bài 4: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Bài 5: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
Bài 6: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+…+ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 7:
S = S = 1+2+22 +....... + 2100
S = S =
A = M =
Sn = Sn =
Sn =
Bài 8:
a) b)
c) d)
Bài 9:
a) b)
c)
d)
Bài 10: Tìm x
a) b)
c)
Bài 11: Chứng minh
a)
b)
c)
Bài 12:Cho Chứng minh:
Bài 13: Cho S= Chứng minh S<4
HD: 2S= Suy ra 2S-S=
Bài 14: Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .
HD: (vì =111.a) nên n=37 hoặc n+1=37 ta tìm được n=36.
CHUYÊN ĐỀ II: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Kiến thức cần nhớ
Nếu
Nếu
Nếu x-a ³ 0=> = x-a
Nếu x-a £ 0=> = a-x
Chú ý: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm với mọi a Î R
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
và
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
và
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức
Bài 1: Tính çx ç, biết:
a) x = . b) x = . c) x = - 15,08
Bài 2. Tính: a) . b)
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với b) N = với
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
a) với b) với
c) với d) với
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:
a) với b) với
c) với x = 4 d) với
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau với
a) b)
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) b)
Bài 8: Rút gọn biểu thức:
a) b) c)
Bài 9: Rút gọn biểu thức khi
a) b)
Bài 10: Rút gọn biểu thức:
a) với x < - 0,8 b) với
c) với d) với x > 0
Dạng 2:( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
PP:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có
- Nếu k > 0 thì ta có:
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
a) b) c) d)
Bài 2: Tìm x, biết:
a) b) c)
Bài 3: Tìm x, biết:
a) b) c) d)
Bài 4: Tìm x, biết:
a) b) c) d)
Bài 5: Tìm x, biết:
a) b) c) d)
Dạng 3: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
PP:
Vận dụng tính chất: ta có:
BÀI TẬP

onthicaptoc.com Bài tập chuyên đề toán 7