ch­¬ng 2 − hµm sè luü thõa,
hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
A. KiÕn thøc cÇn nhí
I. luü thõa
§Þnh nghÜa 1: (Luü thõa víi sè mò nguyªn): Víi a ≠ 0, n = 0 hoÆc n lµ mét sè nguyªn
n
©m, luü thõa bËc n cña a lµ sè a x¸c ®Þnh bëi:
0
a = 1,
1
n
a = víi n nghuyªn ©m.
−n
a
§Þnh nghÜa 2: (C¨n bËc n): Víi n nguyªn d­¬ng c¨n bËc n cña sè thùc a lµ sè thùc b
n
(nÕu cã) sao cho b = a.
Ta thõa nhËn hai kh¼ng ®Þnh sau ®©y:
n
 Khi n lµ sè lÎ, mçi sè thùc a chØ cã mét c¨n bËc n, kÝ hiÖu a .
 Khi n lµ sè ch½n, mçi sè thùc d­¬ng a cã ®óng hai c¨n bËc n lµ hai sè ®èi
n
nhau. C¨n cã gi¸ trÞ d­¬ng kÝ hiÖu lµ a (cßn gäi lµ c¨n sè häc bËc n cña a),
n
c¨n cã gi¸ trÞ ©m kÝ hiÖu lµ vµ − a .
§Þnh nghÜa 3: (Luü thõa víi sè mò h÷u tØ): Cho a lµ sè thùc d­¬ng vµ r lµ mét sè h÷u
m
tØ. Gi¶ sö r = , trong ®ã m lµ mét sè nguyªn cßn n lµ mét sè
n
r
nguyªn d­¬ng. Khi ®ã, luü thõa cña a víi víi s« mò r lµ sè a x¸c ®Þnh
bëi:
m
n m
r n
a = a = a .
1
n
n
Tõ ®ã a = a .
TÝnh chÊt cña luü thõa: Víi a > 0, b > 0, ta cã:
n m n + m n n n
1. a .a = a . 4. (ab) = a .b .
m n
n
a
a a
n − m  
2. = a .
5. = .
n
  n
a
b b
 
m n m.n
3. (a ) = a .
§Þnh lÝ 1: Cho m, n lµ nh÷ng sè nguyªn. Khi ®ã:
m n
1. Víi a > 1 th× a > a khi vµ chØ khi m > n.
m n
2. Víi 0 < a < 1 th× a > a khi vµ chØ khi m < n.
II. l«garit
§Þnh nghÜa1: Cho 0 < a ≠ 1, b > 0, ta ®Þnh nghÜa
α α α
α = log b ⇔ b = a , α = lgb ⇔ b = 10 , α = lnb ⇔ b = e ,
a
tõ ®Þnh nghÜa ta ®­îc:
log b
α b
a
log 1 = 0, log a = α; log a = b, víi mäi b; a = b víi b > 0.
a a a
139
So s¸nh hai l«garit cïng c¬ sè
§Þnh lÝ 1: Cho c¸c sè d­¬ng b vµ c.
(1). Khi a > 1 th× logab > logac ⇔ b > c.
HÖ qu¶: Khi a > 1 th× logab > 0 ⇔ b > 1.
(2). Khi 0 < a < 1 th× log b > log c ⇔ b < c.
a a
HÖ qu¶: Khi 0 < a < 1 th× log b > 0 ⇔ b < 1.
a
(3). log b = log c ⇔ b = c.
a a
C¸c quy t¾c tÝnh l«garit
§Þnh lÝ 2: Víi a d­¬ng kh¸c 1 vµ c¸c sè d­¬ng b, c, ta cã:
(1). log b + log c = log (bc),
a a a
Tr­êng hîp chØ cã bc > 0 th× log (xy) = log b + log c.
a a a
b
(2). log b − log c = log ,
a a a
c
b
tr­êng hîp chØ cã bc > 0 th× log = log b − log c.
a a a
c
α
(3). log b = αlog b,
a a
α
Tr­êng hîp b ∈  vµ α = 2k, k ∈ Z th× log b = αlog b.
a a
HÖ qu¶: Víi n nguyªn d­¬ng th×
1 1
n
log = −log b; log b = log b.
a a a a
b n
§æi c¬ sè cña l«garit
§Þnh lÝ 3: Víi a, b d­¬ng kh¸c 1 vµ sè d­¬ng c, ta cã:
log c
a
log c = hay log b.log c = log c.
b a b a
log b
a
HÖ qu¶: Ta cã:
1
 Víi a, b d­¬ng kh¸c 1 th× log b = .
a
log a
b
1
 Víi a d­¬ng kh¸c 1, c lµ sè d­¬ng vµ α ≠ 0, ta cã log c = log c.
a
α
a
α
1
Tr­êng hîp a ∈ , a ≠ 1 vµ α = 2k, k ∈ th× log c = log c.
  |a|
α
a
α
III. Hµm sè mò
x
§Þnh nghÜa: Hµm sè mò c¬ sè a (0 < a ≠ 1) cã d¹ng y = a .
§¹o hµm cña hµm sè mò: Ta ghi nhËn c¸c kÕt qu¶ sau:
x
e −1
a. lim = 1.
x0→
x
x x x x
b. Víi mäi x ∈  , ta cã (e ) = e vµ (a ) = a .lna.
140
c. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm trªn J th× víi mäi x ∈ J, ta cã
u u u u
(e ) = u.e vµ (a ) = u.a .lna.
x
XÐt hµm sè y = a , 0 < a ≠ 1, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau:
1. Liªn tôc trªn  .
2. Sù biÕn thiªn: Hµm sè ®¬n ®iÖu víi mäi x.
x x
1 2
 Víi a > 1 th× a > a ⇔ x > x , tøc lµ hµm sè ®ång biÕn.
1 2
x x
1 2
 Víi 0 < a < 1 th× a > a ⇔ x1 < x2, tøc lµ hµm sè nghÞch biÕn.
3. §å thÞ cña hµm sè cã 2 d¹ng vµ:
 Lu«n c¾t trôc Oy t¹i A(0; 1).
 N»m ë phÝa trªn trôc hoµnh.
 NhËn trôc hoµnh lµm tiÖm c©n ngang.
IV. Hµm sè l«garit
§Þnh nghÜa: Hµm sè logarit c¬ sè a (0 < a ≠ 1) cã d¹ng y = log x.
a
§¹o hµm cña hµm sè mò: Ta ghi nhËn c¸c kÕt qu¶ sau:
ln(x + 1)
a. lim = 1.
x0→
x
1 1
b. Víi mäi x ∈ (0; +∞), ta cã (lnx) = vµ (log x) = .
a
x x.lna
c. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm trªn J th× víi mäi x ∈ J, ta cã
u u
(lnu) = vµ (log u) = .
a
u u.lna
XÐt hµm sè y = log x, víi 0 < a ≠ 1, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau:
a
1. Hµm sè liªn tôc trªn D = (0, + ∞) vµ tËp gi¸ trÞ I =  .
2. Sù biÕn thiªn: Hµm sè ®¬n ®iÖu víi mäi x.
 Víi a > 1 th× log x > log x ⇔ x > x , tøc lµ hµm sè ®ång biÕn.
a 1 a 2 1 2
 Víi 0 < a < 1 th× log x > log x ⇔ x < x , tøc lµ hµm sè nghÞch biÕn.
a 1 a 2 1 2
3. §å thÞ cña hµm sè cã 2 d¹ng vµ:
 Lu«n c¾t trôc Oy t¹i A(1; 0).
 N»m ë bªn ph¶i trôc tung.
 NhËn trôc tung lµm tiÖm c©n ®øng.
V. Hµm sè luü thõa
α
§Þnh nghÜa: Hµm sè lòy thõa lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc y = x , víi α lµ h»ng
sè tïy ý.
TËp x¸c ®Þnh lµ (0; +∞), trõ c¸c tr­êng hîp sau:
 NÕu α nguyªn d­¬ng th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ  .
*
 NÕu α nguyªn ©m hoÆc α = 0 th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh lµ  .
§¹o hµm cña hµm sè lòy thõa: Ta ghi nhËn c¸c kÕt qu¶ sau:
α
a. Hµm sè y = x cã cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x > 0 vµ:
141
α α − 1
(x ) = α.x .
b. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm vµ u(x) > 0 trªn J th×:
α α − 1
(u ) = α.u.u , víi mäi x ∈ J.
n n 1
−
 Chó ý: 1. Víi n lµ sè nguyªn tïy ý, ta cã (x ) = n.x víi mäi x ≠ 0; vµ nÕu
n n
u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm vµ u(x) ≠ 0 trªn J th× (u ) = n.u.u
− 1
, víi mäi x ∈ J.
2. Ta cã:
1
n
( x ) = ,
n n−1
nx
víi mäi x > 0 nÕu n ch½n, víi mäi x ≠ 0 nÕu n lÎ.
3. NÕu u = u(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm trªn J vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn u(x)
> 0 víi mäi x thuéc J khi n ch½n, u(x) ≠ 0 víi mäi x thuéc J khi n
lÎ th×:
u
n
( u ) = .
n n−1
nu
VI. C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng
tr×nh mò vµ l«garit
x
1. Ph­¬ng tr×nh mò c¬ b¶n cã d¹ng a = m, trong ®ã a > 0 vµ m lµ sè ®· cho.
Khi ®ã:
 NÕu m ≤ 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
 NÕu m > 0 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = log m.
a
Ta cã c¸c kÕt qu¶:
f(x) g(x)
a = a ⇔ f(x) = g(x).
f(x) g(x)
Víi a > 1 th× a > a ⇔ f(x) > g(x).
f(x) g(x)
Víi 0 < a < 1 th× a > a ⇔ f(x) < g(x).
2. Ph­¬ng tr×nh l«garit c¬ b¶n cã d¹ng log x = m, trong ®ã m lµ sè ®· cho.
a
Ta ph¶i cã ®iÒu kiÖn x > 0 vµ 0 < a ≠ 1.
m
Víi mäi m ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm duy nhÊt x = a .
Ta cã c¸c kÕt qu¶:
log f(x) = log g(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0.
a a
Víi a > 1 th× log f(x) > log g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0.
a a
Víi 0 < a < 1 th× log f(x) > log g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x).
a a
mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh mò vµ l«garit
a. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ cïng c¬ sè
b. Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
142
c. Ph­¬ng ph¸p l«garit hãa: Ta cã thÓ gi¶i mét ph­¬ng tr×nh cã hai vÕ lu«n
d­¬ng b»ng c¸ch lÊy l«garit hai vÕ theo cïng mét c¬ sè thÝch hîp.
d. Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt ®ång biÕn hay nghÞch biÕn cña hµm sè
B Ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n liªn quan
§1. hµm sè mò vµ hµm sè l«garit
D¹ng to¸n 1: Giíi h¹n cña hµm sè mò vµ l«garit
Ph­¬ng ph¸p
Chóng ta cã c¸c d¹ng giíi h¹n ®Æc biÖt sau:
x
e −1
1
x
a. lim = 1.
c. lim (1 + ) = e.
x0→
x
x→∞
x
ln(x + 1) 1/ x
d. lim (1 + x) = e.
b. lim = 1.
x0→
x0→
x
 Më réng:: Ta cã:
f (x)
ln f(x) + 1
e1− [ ]
lim = 1 , lim = 1.
xx→ xx→
0 0
f(x) f(x)
f (x)→0 f (x)→0
 Quy t¾c L«pitan: NÕu f(x), g(x) kh¶ vi ë l©n cËn x trõ t¹i ®iÓm x , th×:
0 0
lim f(x) = lim g(x) = ∞ vµ g(x) ≠ 0 ë l©n cËn x ,
0
xx→ xx→
0 0
®ång thêi:
f (x) f(x)
lim = A th× lim = A.
xx→ xx→
0 0
g(x) g(x)
Quy t¾c vÉn ®óng víi x→ ∞.
ThÝ dô 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:
2 3x+2 2x 3x
ee− e − e
a. lim . b. lim .
x0→ x0→
x x
 Gi¶i
a. Ta biÕn ®æi:
2 3x+2 2 3x
ee− −3e (e −1)
2
lim = lim = −3e .
x0→ x0→
x 3x
b. Ta biÕn ®æi:
2x 3x 2x 3x 2x 5x
e − e e −+11 − e 2(e −1) 3(e −1)
lim = lim = lim − lim
x0→ x0→ x0→ x0→
x x 2x 3x
= 2 − 3 = −1.
143
 NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn:
f (x)
e1−
 ë c©u a), ®Ó lµm xuÊt hiÖn d¹ng giíi h¹n lim chóng
xx→
0 f(x)
f (x)→0
2
ta thùc hiÖn nhãm nh©n tö chung e .
 ë c©u b), chóng ta t¸ch giíi h¹n ban ®Çu thµnh hai giíi h¹n c¬
b¶n b»ng viÖc thªm bít 1.
 Víi quy t¾c L«pitan, ta cã:
2 3x+2
2 3x+2
ee−
( )
ee−
3x+2
2
lim = lim lim−3e = −3e .
( )
x0→ x0→ x0→
x x
( )
2x 3x
2x 3x
e − e
( )
e − e
2x 3x
lim = lim lim 2e− 3e = 2 − 3 = −1.
( )
x0→ x0→ x0→
x x
( )
ThÝ dô 2. T×m c¸c giíi h¹n sau:
x x
e1− e1−
a. lim . b. lim .
x0→ x0→
sin2x
x +−11
 Gi¶i
a. Ta cã:
x x
e1− (e −1)( x ++1 1)
lim = lim = 2.
x0→ x0→
x +−11 x
b. Ta cã:
x
e1−
x x
e1− e1− 1
x
lim =lim = lim = .
x0→ x0→ x0→
x 2sin2x
sin2x 4
x
e +1 sin2x
( ) e +1.
( )
2x
xx
52−
ThÝ dô 3. T×m giíi h¹n lim .
2
x0→
x −3x
 Gi¶i
Ta biÕn ®æi:
xln5 xln2
e −−1 e 1
xx
ln5. −ln2.
xx ln5 ln2
52− e −e
xln5 x
lim = lim = lim
2
x0→ x0→ x0→
x −3x x(x −3) x3−
ln5 −ln2 1 5
= = − ln .
−3 3 2
ThÝ dô 4. T×m c¸c giíi h¹n sau:
144
=
=
2
ln(2x + 1) ln(1 + 2x )
a. lim . b. lim
x0→ x0→
x x
 Gi¶i
a. Ta biÕn ®æi:
ln(2x + 1) 2ln(2x + 1)
lim = lim = 2.1 = 2.
x0→ x0→
x 2x
b. Ta biÕn ®æi:
2 2
ln(1 + 2x ) 2x ln(1 + 2x )
lim = lim = 0.1 = 0.
2
x0→ x0→
x 2x
ThÝ dô 5. T×m c¸c giíi h¹n sau:
2
ln(4x +−1) ln(2x +1) 1 x1+
a. lim . b. lim .ln , víi x > −1.
x
x0→ x0→
x e + 1 x1+
 Gi¶i
a. Ta biÕn ®æi:
ln(4x +−1) ln(2x +1) ln(4x +1) ln(2x +1)
 
lim = lim −
 
x0→ x0→
x x x
 
4ln(4x +1) 2ln(2x +1)
 
= lim − = 2.
 
x0→
4x 2x
 
b. Ta biÕn ®æi:
2 2
x1+ ln(x ++1) ln(x 1)
ln −
2
ln(x + 1) − ln(x + 1)
x1+ xx
lim = lim = lim
x x x
x0→ x0→ x0→
e + 1 e + 1 e + 1
x
2
x.ln(x ++1) ln(x 1)
lim −lim
2
0.1−1
x0→→x0
x
x
= = = −1.
x
1
e1+
lim
x0→
x
D¹ng to¸n 2: TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè mò vµ l«garit
ThÝ dô 1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè:
ln(x +1) 1
a. y = . b. y =log .
x
x x1−
 Gi¶i
a. §iÒu kiÖn:
x1+ >0 x1>−
⇔ −1 < x ≠ 0.
⇔
 
x0≠ x0≠
 
145
VËy, ta ®­îc tËp x¸c ®Þnh D = (−1; +∞){0}.
b. §iÒu kiÖn:
0 < x ≠1

0 < x ≠1 0 < x ≠1

⇔ x > 1.
⇔ ⇔
 1
 
>0 x1− >0 x >1
 

x1−
VËy, ta ®­îc tËp x¸c ®Þnh D = (1; +∞).
1x−
2 −+2x 1
ThÝ dô 2. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = lg .
x
21−
 Gi¶i
1 − x
Hµm sè g(x) = 2 − 2x + 1 nghÞch biÕn, cã g(1) = 0, nªn:
 g(x) > 0 ⇔ g(x) > g(1) ⇔ x < 1.
 g(x) < 0 ⇔ g(x) < g(1) ⇔ x > 1.
Hµm sè cã nghÜa khi:
x


2 −>10
  x0>




1x−
1x−
2 − 2x +>1 0 x < 1

2 −+2x 1  

> 0 ⇔ ⇔ ⇔ 0 < x < 1.

x
x 
21−
 x0<
2 −<10





1x−

x1>

2 − 2x +1 < 0 
 

VËy, ta ®­îc tËp x¸c ®Þnh D = (0; 1).
D¹ng to¸n 3: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè mò vµ l«garit
Ph­¬ng ph¸p
Ta thùc hiÖn theo c¸c b­íc sau:
B­íc 1: Kh¼ng ®Þnh r»ng hµm sè x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm x , tÝnh f(x ).
0 0
B­íc 2: X¸c ®Þnh lim f(x) .
xx→
0
B­íc 3: KiÓm nghiÖm f(x ) = lim f(x) .
0
xx→
0
B­íc 4: KÕt luËn.
ThÝ dô 1. X¸c ®Þnh a ®Ó hµm sè sau liªn tôc trªn  :
2
ln(x + 1)
khi x ≠ 0

2x
f(x) = .
 e1−

a −1 khi x =0

 Gi¶i
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ nã liªn tôc trªn  lµ nã liªn tôc t¹i ®iÓm x = 0, tøc:
0
f(0) = lim f(x) . (*)
x0→
Ta cã:
f(0) = a − 1.
146
2 2
ln(x +1) x.ln(x +1)
2
2
ln(x +1)
x x
limf(x) = lim = lim = lim = 0.
2x 2x
2x
x0→ x0→ x0→ x0→
e1− e1− 2(e −1)
x 2x
Khi ®ã, ®iÒu kiÖn (*) trë thµnh:
a = 1 = 0 ⇔ a = 1.
VËy, víi a = 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.
D¹ng to¸n 4: TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè luü thõa, mò, l«garit vµ
hµm sè hîp cña chóng
Ph­¬ng ph¸p
Sö dông c¸c kÕt qu¶ trong phÇn kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn nhí.
1
y
ThÝ dô 1. Chøng minh r»ng hµm sè y = ln tho¶ m·n hÖ thøc xy + 1 = e .
1x+
 Gi¶i
Tr­íc tiªn, ta cã:
1 1
y = ln = − ln(1 + x) ⇒ y = − .
1x+ 1x+
Khi ®ã:
1
ln
x 1
1x+ y
xy + 1 = − + 1 = = e = e , ®pcm.
1x+ 1x+
ThÝ dô 2. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
2 2x 22
a. yx e+ 1 . b. y x ln x+1
 Gi¶i
a. Ta cã:
2 2x 2 2x
4x .e 2x .e
2 2x 2x 2x
y x e+ 1 2x e++1 2x e++1
( )
2x 2x
2e + 1 e1+
2x 2 2x 2x 2x
2x e + 1 + 2x .e 2x e ++1 xe
( ) ( )
= = .
2x 2x
e1+ e1+
b. Ta cã:
2
x +1 2
( )
x
22 2
y 2x.ln x++1 x . = 2x.ln x++1 .
2
2
x +1
x +1
D¹ng to¸n 5: øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè mò
vµ l«garit. C¸c bµi to¸n liªn quan
147
= =
= = =
= =

onthicaptoc.com Bài giảng trong tâm toán 12 hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit