- BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình Tập nghiệm
Bài 2. Giải phương trình Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình Đáp số:
Bài 5. Giải phương trình Đáp số:
Bài 6. Giải phương trình Đáp số:
- Kiểu 2. Đưa phương trình vô tỷ về hệ đối xứng kiểu II.
Ví dụ 4. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với:
Đặt ta có hệ:

+ Với , ta có:
+ Với , ta có:
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là:
- Bình luận.
- Vấn đề đưa phương trình dạng: về hệ phương trình đối xứng kiểu II nhờ phép đặt ẩn phụ với mục đích giải quyết vấn đề phương trình không có nghiệm hữu tỷ, những năm trước khi có sự ra đời của các máy tính CaSiO thế hệ cao việc xử lý phương trình trên là không đơn giản với nhiều đối tượng học sinh. Bây giờ việc giải quyết vấn đề phương trình có nghiệm vô tỷ không còn khó khăn nữa (Xem bài Sự hỗ trợ của máy tính CaSiO), nó giúp người giải toán xử lý dạng phương trình này một cách đơn giản và bên cạnh đó ít nhiều nó cũng làm phương pháp giải toán này mất đi vẻ đẹp riêng vốn có.
- Vì dạng phương trình: chứa 2 phép toán ngược nhau, nên khi muốn đưa phương trình này về hệ đối xứng kiểu II, ta thường sử dụng quy trình giải toán như sau:
- Tính đạo hàm của hàm số:
- Giải phương trình: (đưa nghiệm về tối giản)
- Sử dụng phép đặt: và đưa hệ phương trình về đối xứng kiểu II.
Ví dụ 5. Giải phương trình
Lời giải
Đặt ta có hệ phương trình:

Với ta có:
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là:
Tổng quát. Chúng ta có thể đưa về hệ đối xứng kiểu II với những phương trình có dạng:
Ví dụ 6. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với:

Đặt , ta có hệ:


Thay trở lại ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình Đáp số:
Bài 2. Giải phương trình Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình Đáp số:
Bài 5. Giải phương trình Đáp số: Vô nghiệm.
Bài 6. Giải phương trình (boxmath.vn)
Hướng dẫn: Đặt Đáp số:
c) Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình không mẫu mực.
Ví dụ 1. Giải phương trình
- Phân tích. Nhận thấy phương trình trên được liên kết giữa và x, đồng thời nếu đặt: , ta sẽ có ngay biểu thức liên hệ: do vậy ta có thể chuyển bài toán giải phương trình vô tỷ bằng công việc giải hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện Đặt , ta có hệ:

Lại có:
+ Với: , thay vào (1) ta có: hay
+ Với: , thay vào (1) ta có: , hay
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm ; .
Ví dụ 2. Giải phương trình
- Phân tích. Bài toán có chứa 3 căn thức , nhưng ta có mối quan hệ: đồng thời: do đó ta sẽ sử dụng cách đặt để đưa bài toán phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện Đặt
Ta có hệ:

(do )
+ Với
+ Với
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 3. Giải phương trình
- Phân tích. Bài toán có chứa 2 căn thức đồng thời: do đó ta sử dụng cách đặt để đưa bài toán phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện đặt . Từ đó ta có hệ phương trình:
Đặt: , thay vào (1) ta có:

Thay trở lại cho ta:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 4. Giải phương trình
- Phân tích. Bài toán có chứa 3 căn thức ta sẽ tìm cách đưa bài toán về 2 căn thức bằng cách biến đổi thành lúc này: do đó ra sẽ sử dụng cách đặt để đưa bài toán phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện
+ Nhận thấy là nghiệm của phương trình đã cho.
+ Xét: Phương trình đã cho tương đương với:
Đặt:
Ta có hệ:

(vô nghiệm, do )
Hay phương trình đã cho không có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 5. Giải phương trình
- Phân tích. Bài toán chỉ chứa 2 căn thức đồng thời: , nên ta sẽ sử dụng cách đặt để chuyển bài toán về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện Đặt . Phương trình đã cho trở thành:

Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta có:

Xem hàm số: ta có:
Hay hàm số đồng biến trên , do đó:
Thay vào (1) ta có: (do )
+ Với Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 6. Giải phương trình
- Phân tích. Phương trình trên có 2 căn thức đồng thời ta lại có: , do đó ta nghĩ đến phương án dung ẩn phụ để đưa phương trình vô tỷ trên về hệ phương trình hữu tỷ bằng cách đặt
Lời giải
Điều kiện Đặt
Từ đó ta có hệ:
Thay (2) vào (1) ta có:



+ Với thay vào (2) ta có:
(do )
Thay trở lại ta có:
+ Với kết hợp với (2) ta có:
(vn) do
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 7. Giải phương trình
- Phân tích. Nhận thấy phương trình là mối liên hệ giữa và x, đồng thời vì vậy ta sử dụng phép đặt, để phương trình đã cho về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện Đặt
Từ đó ta có hệ phương trình:

Thay (1) vào (2) ta có:
+ Với thay trở lại cho ta:
Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 8. Giải phương trình
- Phân tích. Nhận thấy phương trình là mối liên hệ giữa và x, đồng thời nếu đặt do vậy ta có thể đưa phương trình đã cho về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải
Điều kiện Đặt Lúc đó ta có hệ:
Lấy phương trình (1) nhân với rồi cộng với phương trình (2), ta có:

+ Với , ta có: , hay trường hợp này không xảy ra.
+ Với thay vào (2) ta có:
hay
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
- Bình luận.
- Ở trong phần này ta có thể thấy rằng, vấn đề làm sao lại nghĩ đến phương án dùng 2 ẩn phụ để chuyển về hệ phương trình. Chúng ta đã tìm thấy câu trả lời.
- Tuy nhiên điều quan trọng hơn là vì sao lại nghĩ đến việc xử lý hệ phương trình như trên, mời các bạn đón đọc cuốn sách viết về Hệ phương trình của chúng tôi, các bạn sẽ nhận được câu trả lời bạn mong muốn.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình Đáp số:
Bài 2. Giải phương trình Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình Đáp số:
Bài 5. Giải phương trình Đáp số:
Bài 6. Giải phương trình Đáp số:
Bài 7. Giải phương trình Đáp số:
Bài 8. Giải phương trình Đáp số:
Bài 9. Giải phương trình Đáp số:
Bài 10. Giải phương trình Đáp số:
Bài 11. Giải phương trình Đáp số:
Bài 12. Giải phương trình Đáp số:
d) Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình có nhiều ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình
- Phân tích. Đặt
- Ta tìm mối liên hệ giữa các ẩn số:
Suy ra:
- Từ đó ta có hệ:

Lời giải
Đặt từ đó ta có hệ phương trình:
Với thay trở lại ta có:
Thử lại cho ta nghiệm của phương trình là:
Tổng quát: Để giải hệ , ta đặt
Sau đó tìm các số thỏa mãn (tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ)

Việc còn lại là giải quyết hệ phương trình: bằng phương pháp thế.

onthicaptoc.com Bài 6. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung