BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I – LÝ THUYẾT
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a)Định nghĩa
* Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị
* Điểm gọi là gốc tọa độ.
* Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
* Ta kí hiệu trục đó là
M
O
b) Cho là một điểm tùy ý trên trục Khi đó có duy nhất một số sao cho Ta gọi số đó là tọa độ của điểm đối với trục đã cho.
c) Cho hai điểm và trên trục Khi đó có duy nhất số sao cho Ta gọi số là độ dài đại số của vectơ đối với trục đã cho và kí hiệu
Nhận xét.
Nếu cùng hướng với thì còn nếu ngược hướng với thì
Nếu hai điểm và trên trục có tọa độ lần lượt là và thì
2. Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ gồm hai trục và vuông góc với nhau. Điểm gốc chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục được gọi là trục hoành và kí hiệu là trục được gọi là trục tung và kí hiệu là Các vectơ và là các vectơ đơn vị trên và và Hệ trục tọa độ cò
1
1
y
x
O
O
n được kí hiệu là
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ còn được gọi là mặt phẳng tọa độ hay gọi tắt là mặt phẳng
b) Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng cho một vectơ tùy ý. Vẽ và gọi lần lượt là hình chiếu của vuông góc của lên và Ta có và cặp số duy nhất để Như vậy
Cặp số duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ và viết hoặc Số thứ nhất gọi là hoành độ, số thứ hai gọi là tung độ của ve
A
O
ctơ
Như vậy

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu và thì
Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c) Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ cho một điểm tùy ý. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục được gọi là tọa độ của điểm đối với hệ trục đó.
Như vậy, cặp số là tọa độ của điểm khi và chỉ khi Khi đó ta viết hoặc Số được gọi là hoành độ, còn số được gọi là tung độ của điểm Hoành độ của điểm còn được kí hiệu là tung độ của điểm còn được kí hiệu là

O
Chú ý rằng, nếu thì
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm và Ta có
3. Tọa độ của các vectơ
Ta có các công thức sau:
Cho
Khi đó:
* ;
* ;
*
Nhận xét. Hai vectơ với cùng phương khi và chỉ khi có một số sao cho và
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng có Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
b) Cho tam giác có Khi đó tọa độ của trọng tâm của tam giác được tính theo công thức
II – DẠNG TOÁN
* 1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục
* Phương pháp giải.
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
* Trên trục , điểm có tọa độ
* Trên trục , vecto có tọa độ
* Vectơ có độ dài đại số là
* Nếu lần lượt là tọa độ của thì
* Tọa độ trung điểm của đoạn là:
* Các tính chất:
+
+
+
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ cho 2 điểm có tọa độ lần lượt là Tọa độ của vecto là:
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ cho 2 điểm có tọa độ lần lượt và . Tọa độ trung điểm của là :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Tọa độ điểm là:
Ví dụ 3: Trên trục cho 3 điểm có tọa độ lần lượt là . Tìm điểm sao cho
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi điểm có tọa độ là .
Ví dụ 4: Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn .
A.. B.. C. D..
Lời giải
Chọn C.
Gọi điểm có tọa độ là .



B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ điểm sao cho .
A.. B. C. D.
Câu 2: Trên trục , cho ba điểm lần lượt có tọa độ là . Độ dài đại số của là:
A. . B. C. D.
* 2. DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng .
* Phương pháp giải.
* Để tìm tọa độ của vectơ ta làm như sau
Dựng vectơ . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên . Khi đó với
* Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ
* Nếu biết tọa độ hai điểm suy ra tọa độ được xác định theo công
thức
Chú ý: nếu nằm trên tia (hoặc ) và nếu H nằm trên tia đối tia (hoặc ).
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm . Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với qua trục hoành?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
đối xứng với qua trục hoành suy ra .
Ví dụ 2:Vectơ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Ví dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ đối nhau.
B. Hai vectơ đối nhau.
C. Hai vectơ đối nhau.
D. Hai vectơ đối nhau.
Lời giải
Chọn C
Ta có: và đối nhau.
Ví dụ 4:Trong hệ trục tọa độ , cho hình vuông tâm I và có . Biết điểm thuộc trục và cùng hướng với . Tìm tọa độ các vectơ ?
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt
phẳng tọa độ như hình vẽ bên.
Vì điểm suy ra
Do đó
Vậy
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho hình thoi cạnh a và . Biết trùng với gốc tọa độ ; thuộc trục và . Tìm tọa độ các đỉnh và của hình thoi .
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ
Gọi I là tâm hình thoi ta có
Suy ra .
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm . Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với qua trục tung?
A.. B.. C.. D..
Câu 4: Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác đều cạnh , biết là trung điểm , cùng hướng với , cùng hướng . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác .
Câu 5: Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác đều cạnh , biết là trung điểm , cùng hướng với , cùng hướng . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Lời giải
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm
Câu 6: Trong hệ trục tọa độ , cho hình thoi tâm O có . Biết và cùng hướng, và cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác
Lời giải
.
Câu 7: Cho hình bình hành có và chiều cao ứng với cạnh , . Chọn hệ trục tọa độ sao cho và cùng hướng, . Tìm tọa độ các vecto và
Câu 8: Cho lục giác đều . Chọn hệ trục tọa độ , trong đó là tâm lục giác đều , cùng hướng với , cùng hướng . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là .
Lời giải
ĐS:
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
* DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng
* Phương pháp.
* Dùng công thức tính tọa độ của vectơ
* Với ; và số thực , khi đó và
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1:Trong hệ trục , tọa độ của vec tơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Ví dụ 2: Cho Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. và ngược hướng. B. cùng phương.
C. và cùng hướng. D. cùng phương.
Lời giải
Chọn C.
Ta có và
Xét tỉ số và không cùng phương. Loại A
Xét tỉ số không cùng phương. Loại B
Xét tỉ số và cùng hướng.
Ví dụ 3:Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 9: Cho . Vec tơ nếu:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Cho,,.Tọa độ của:
A. . B. . C. . D. .
Câu 11: Cho và . Tìm phát biểu sai:
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa là
A. . B. . C. . D. .
Câu 13: Trong hệ tọa độ cho hai điểm . Tìm tọa độ đỉểm sao cho
A. B. C. D.
Câu 14: Cho hai điểm và .Tọa độ điểm sao cho là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 15: Cho . Haivec tơ và cùng phương nếu số là:
A. . B. . C. . D. .
* DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình.
* Phương pháp.
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức
+ M là trung điểm đoạn thẳng suy ra
+ G trọng tâm tam giác suy ra
+
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 :Trong hệ tọa độ cho tam giác có Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm là gốc tọa độ Tìm tọa độ đỉnh ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Gọi .
Vì là trọng tâm tam giác nên
Ví dụ 3: Cho lần lượt là trung điểm các cạnh của . Tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: BPNM là hình bình hành nên .
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có và thuộc trục , trọng tâm của tam giác nằm trên trục .Toạ độ của điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: thuộc trục , nằm trên trục
là trọng tâm tam giác nên ta có:
Vậy .
Ví dụ 5:Cho tam giác với và. Tính toạ độ điểm là của chân đường phân giác
trong góc , biết .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Theo tính chất đường phân giác:
Gọi .
Suy ra: .
Vậy
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ cho và . Xác định tọa độ các điểm , sao cho tứ giác là hình bình hành biết là trọng tâm tam giác . Tìm tọa tâm của hình bình hành .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Vì I là trọng tâm tam giác nên


Suy ra
Tứ giác là hình bình hành suy ra

Điểm O của hình bình hành suy ra O là trung điểm AC do đó
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 16: Cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 17: Cho tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ , hai đỉnh và có tọa độ là ;. Tọa độ của đỉnh là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 18: Tam giác có , trọng tâm , trung điểm cạnh là . Tọa độ và là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 19: Trong hệ tọa độ cho tam giác có , trọng tâm và trung điểm cạnh là Tổng hoành độ của điểm và là
A. B. C. D.
Câu 20: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ của điểm đối xứng với qua là
A. . B. . C. . D. .
Câu 21: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 22: Trong mặt phẳng , gọi và lần lượt là điểm đối xứng của qua trục ,và qua gốc tọa độ . Tọa độ của các điểm và là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 23: Trong hệ tọa độ cho hình chữ nhật có , và là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh
A. B. C. D.
* DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
* Phương pháp.
* Cho ; . Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi có số sao cho
Chú ý: Nếu ta có cùng phương
* Để phân tích qua hai vectơ không cùng phương, ta giả sử . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho . Điểm trên trục sao cho ba điểm thẳng hàng thì tọa độ điểm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: trên trục
Ba điểm thẳng hàng khi cùng phương với
Ta có . Do đó, cùng phương với . Vậy .
Ví dụ 2: Cho các vectơ . Phân tích vectơ theo hai vectơ , ta được:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Giả sử . Vậy .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng , cho . Tìm giá trị để là ba điểm thẳng hàng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ,
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương với
.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm . Xác định điểm trên trục hoành sao cho ba điểm thẳng hàng.
A.. B. C. . D..
Lời giải
Chọn B.
Vì thuộc đoạn và suy ra
Gọi khi đó
Do đó
Vậy .
Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ cho 4 điểm và . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng và .
A.. B.. C. . D..
Lời giải
Chọn A.
Gọi là giao điểm và suy ra cùng phương và cùng phương
Mặt khác
suy ra (1)
suy ra thế vào (1) ta có
Vậy là điểm cần tìm.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 24: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
A. Hai vec tơ và cùng phương.
B. Hai vec tơ và cùng hướng.
C. Hai vec tơ và ngượchướng.
D. Vec tơ là vec tơ đối của .
Câu 25: Cho 4 điểm . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: 3 điểm thẳng hàng.
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm . Xác định điểm trên cạnh sao cho .
A.B.C. D.
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm . Xác định giao điểm hai đường thẳng và .
A. B. C. D.
Câu 28: Cho ba điểm . Xác định tọa độ điểm biết thuộc đoạn thẳng và .
A. .B.C. D.
Câu 29: Cho tam giác có . Tìm điểm trên đường thẳng sao cho .
A. .B..
C. . D. .
Câu 30: Cho hình bình hành có và tâm . Biết điểm nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh của hình bình hành.
A. .B.
C. . D..
C. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC và suy ra
Gọi khi đó
Do đó
Vậy
Câu 27: Gọi là giao điểm của và .
Do đó cùng phương suy ra (1)
cùng phương suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra và
Vậy giao điểm hai đường thẳng và là .
Câu 28: Ta có
Do đó .
Câu 29: Ta có
Gọi
Suy ra hoặc
Vậy có hai điểm thỏa mãn .
Câu 30: I là trung điểm AC nên
Gọi
Vì cùng phương nên
III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI
Câu 1: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: là trung điểm của đoạn thẳng
Vậy .
Câu 2: Cho các vectơ . Điều kiện để vectơ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Câu 3: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ của vectơ là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Theo công thức tọa độ vectơ .
Câu 4: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trọng tâm của tam giác là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: là trọng tâm của tam giác với là điểm bất kì.
Chọn chính là gốc tọa độ . Khi đó, ta có:
.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 6: Cho hai điểm và .Tọa độ điểm sao cho là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Câu 7: Cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Câu 8: Cho hình chữ nhật có . Độ dài của vec tơ là:
A. 9. B. 5. C. 6. D. 7.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 9: Cho hai điểm và . Vec tơ đối của vectơ có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có vectơ đối của là .
Câu 10: Cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 11: Cho. Điểm thỏa , tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. đối nhau. B. cùng phương nhưng ngược hướng.
C. cùng phương cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 13: Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Câu 14: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: tứ giác là hình bình hành khi .
Câu 15: Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: tứ giác là hình bình hành khi .
Câu 16: Trong mặt phẳng , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 17: Cho và. Tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 18: Cho . Hai vectơ cùng phương nếu
A. . B. . C. . D. .
Lời giải

onthicaptoc.com Bài 4 hệ trục tọa độ