Câu 50: [HH11.C3.3.D03.d] Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác , gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , tính biết rằng .
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
● Gọi là trọng tâm của tam giác . Dựng đường thẳng qua và , cắt tại . Khi đó góc giữa và chính là góc giữa và .
● Vì .
Ta lại có: đều ( cân tại và ).
.
Gọi là hình chiếu của trên , khi đó ta có:
. Do đó góc giữa và mặt phẳng là: .
Ta có: .
● Tứ diện là tứ diện đều cạnh nên ta tính được:
, .
Vì .
Vậy: .
Cách 2:
Trước hết ta chứng minh được (như hình trên).
Gọi là trọng tâm tam giác . Khi đó ta có .
Dựng suy ra . Ta tính được .
Khi đó .
Vậy .Câu 40: [HH11.C3.3.D03.d] Cho hình chóp có đáy là hình thoi, , , là trung điểm của cạnh ; điểm thay đổi sao cho tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc lớn nhất tạo bởi đường và mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm của . Khi đó .
Kẻ , . Khi đó .
Gọi . Kẻ . Khi đó suy ra là hình chiếu
của trên . Do đó và ta có .
Xét tam giác ta có .
Đặt . Xét tam giác ta có .
Ta có .
Xét tam giác ta có .
Ta có suy ra . Do đó
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
suy ra
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
Câu 38. [HH11.C3.3.D03.d] Cho hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng Điểm và tương ứng là trung điểm các đoạn (tham khảo hình vẽ). Côsin góc giữa đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn , ta có
, , , , , .
; ; Đặt . Khi đó
.

onthicaptoc.com Bài 4. Bài tập có đáp án chi tiết về xác định góc giữa mặt phẳng và đường thẳng