Ví dụ 4: Giải phương trình
Phần nháp:
Phương pháp đặt ẩn: ta được:



Phương pháp biết trước nghiệm: Ta tìm được 1 nghiệm Giống ví dụ 1, ta thấy sẽ thỏa mãn
Vậy PTVT có nhân tử





Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
2. Mở rộng phương pháp:
Chúng ta sẽ xét phương trình vô tỷ dạng:
Nhận xét: PTVT sẽ tồn tại một nhân tử là với Chúng ta sẽ tìm được u và v bằng những cách sau:
Cách 1: và
Cách 2: Giả sử ta tìm được một nghiệm của PTVT thì ta có hệ phương trình sau:
Từ đó ta có thể tìm được nhân tử của PTVT
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Trước tiên ta tìm nhân tử
Cách 1: Theo công thức, thế ta được và
Cách 2: Ta thấy rằng PTVT tồn tại nghiệm
Ta có hệ phương trình:
Vậy là chúng ta đã biết có nhân tử
Lời giải
Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử



Cách 2: Nhờ nhân tử ta được
Vậy biến đổi PTVT thành
Xét hàm số
Ta có nên luôn đồng biến, mà theo giả thiết thì
Suy ra
Cách 3: Sử dụng nhân liên hợp nhờ nhân tử



Ví dụ 2: Giải phương trình
Phần nháp: Đầu tiên, vẫn là tìm nhân tử của PTVT
Cách 1: Với ta được:
và
Cách 2: Dễ thấy PTVT có 1 nghiệm là do đó ta có hệ phương trình sau: Tóm lại, PTVT có nhân tử là
Lời giải



Xét hàm số Ta có nên luông đồng biến.
Từ suy ra hay
- Nhận xét: Phương pháp này sẽ giúp bạn đọc tìm ra những đẳng thức đẹp như ở PT
II. Phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức dạng với có bậc lớn hơn 1.
So sánh với PTVT chỉ có một căn thức dạng , chúng ta có thể nhận thấy phương pháp tìm nhân tử bằng cách đặt ẩn khá khó để thực hiện được. Do đó, với PTVT dạng này, phương pháp biết trước nghiệm sẽ được phổ biến hơn…
- Ý tưởng tìm lời giải:
Phương pháp biết trước nghiệm sẽ giúp chúng ta tìm được nhân tử của PTVT qua các nghiệm chúng ta tìm được.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Ta có thể tìm ra nghiệm bằng CASIO.
Khi đó
Vật PTVT có nhân tử là
Bước tiếp theo là biến đổi PTVT:



Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
- Nhận xét: Chắc bạn đọc có thể nhận ra rằng: CASIO là mộ trợ thủ đắc lực trong việc giải toán.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO để tìm nghiệm của PTVT, nhưng PTVT lại có 2 nghiệm hữu tỷ: và .
Nếu như là nghiệm vô tỷ như ở ví dụ 1 thì ta có thể tìm ra được luôn nhân tử mà không cần nghiệm khác, còn 2 nghiệm hữu tỷ thì sẽ phải làm như sau:
Giả sử PTVT có nhân tử Khi ấy, nhân tử này sẽ chứa cả 2 nghiệm và Khi thì Khi thì
Từ đó ta thấy a,b là nghiệm của hệ phương trình sau:
Vậy nhân tử sẽ là
Bước tiếp theo là biến đổi PTVT theo nhân tử ta tìm được:



Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm
- Nhận xét: Những ví dụ trên đều là cho PTVT có không quá hai nghiệm để bạn dọc dễ tiếp cận với ý tưởng giải PTVT bằng phương pháp này. Vậy nếu PTVT cho nhiều hơn 2 nghiệm thì sao?
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta có thể tìm được 2 nghiệm của PTVT. Nhưng nếu bạn sử dụng CASIO để tìm kiếm thêm nghiệm nữa, bạn sẽ tìm được cả 4 nghiệm của PTVT: Thực ra thì, bạn đọc chỉ cần 2 nghiệm trong số 4 nghiệm đó, rồi làm tương tự như ví dụ 2, ta cũng có thể đưa được ra kết quả…Thật vậy, ta có các cặp và nhân tử tương ứng như sau:

Điều này khiến PTVT có 3 cách nhóm nhân tử với 2 nhóm cặp nghiệm khác nhau:



Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm…
- Nhận xét: Nếu PTVT có nhiều cặp nghiệm hữu tỷ thì có nhiều cách phân tích thành nhân tử, hãy chọn lấy một cách và biến đổi nó…
Giờ bạn nhìn các ví dụ sau, sẽ thấy cách giải của nó khá đơn giản:
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Ta tìm được 1 nghiệm
Từ đó ta được
Vậy nhân tử có từ đó ta được:



Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
Ví dụ 5: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Dễ thấy phương trình có nghiệm là và
Tương tự ví dụ 2, ta có hệ
Từ đó ta được nhân tử
Với chú ý: từ đó ta được:



Lời giải: Dành cho bạn đọc tự giải…
- Nhận xét: Đôi khi chúng ta phải biến đổi nhân tử ở dạng phân số.
Ví dụ 6: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Ta thấy PTVT có nghiệm là
Suy ra
Suy ra nhân tử là
Chú ý
Do đó ta có:







Đến đây, bạn đọc có thể nhận ra từng nhân tử có chung
Điều này chưa chính xác, bởi đkxđ: hoặc Vì vậy chúng ta phải xét 2 trường hợp:
TH1: Từ ta có:

TH2: . Từ ta có:
Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
- Nhận xét: Có lẽ bạn đọc sẽ thấy một điều: ở TH2, nhân tử
vẫn còn phân tích được tiếp bởi nó còn nghiệm Thực ra thì
Sau đó, cũng có 2 TH như trên…Nhưng tại sao lại có thể phân tích được A thành như vậy?
Các trường hợp trên đều là cách làm của một căn thức, còn ở đây là nhiều căn thức. Vì vậy, hãy đọc tiếp phần III để hiểu được phương pháp làm dạng này. Phần III là phần khó và thường gặp nhất trong các đề thi đại học, cao đẳng…
III. Phương trình vô tỷ có nhiều căn thức
- Ý tưởng tìm lời giải:
Phương pháp biết trước nghiệm sẽ giúp ích rất nhiều trong việc tìm nhân tử…
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Bước đầu tiên vẫn là tìm nghiệm của PTVT. Sử dụng CASIO ta được nghiệm
Để ý rằng: Vì vậy, có thể coi PTVT chỉ chứa 2 căn thức, đó là và
Với thì
Tuy nhiên, PTVT dạng này thường khồn có nhân tử dạng và mà sẽ có dạng tức à bao gồm luôn cả 2 dạng kia.
Để ý từ , ta thấy để có nhân tử dạng thì ta lấy:
để m, n là các số hữu tỷ
Vậy nhân tử của PTVT là Bước tiếp theo là biến đổi PTVT để có nhân tử đó:


Để có nhân tử là ta chỉ cần nhân liên hợp:
Do đó:


Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
- Nhận xét: Chắc nhiều bạn thắc mắc:
Tại sao lại nhân liên hợp giữa với mà lại không phải là hoặc
Thực ra thì:

Chúng không có căn thức dạng như mình đang cần.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
(Đề thi thử ĐH lần 1 chuyên Lam Sơn 2013)
Phần nháp: Bước đầu tiên vẫn là tìm nghiệm bằng CASIO
Khi đó và Suy ra thỏa mãn
Suy ra PTVT có nhân tử là
Do đó:

Để nhân liên hợp với một biểu thức để thu được thì ta phải chọn:
Từ đó ta được:


Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Viết lại PTVT dưới dạng sau:

Sử dụng CASIO, ta tìm được 2 nghiệm và
Giả sử nhân tử có dạng
Khi đó ta được hệ phương trình:
Từ đó ta nhận được nhân tử
Từ đó ta được:


Cần nhân liên hợp với một biểu thức để thu được biểu thức chỉ chứa căn thức .
Ta lấy
Từ đó ta được:


Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm…
- Nhận xét: Bài toán trên có 2 nghiệm hữu tỷ. Chúng cùng thuộc nhân tử nhân tử còn lại không có nghiệm. Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho phươn pháp biết trước nghiệm. Tuy nhiên, nhiều PTVT cũng có 2 nghiệm hữu tỷ, nhưng mỗi nghiệm lại thuộc một nhân tử khác nhau. Để hiểu rõ hơn, bạn đọc cùng xem ví dụ 4:
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm là: và
Nếu vẫn theo phương pháp trên, giả sử PTVT có nhân tử
Thì ta có hệ phương trình:

Thật là lẻ! Trong khi đó PTVT có các hệ số đều nguyên, nên việc phân tích PTVT để có nhân tử là khó khăn, nhưng không phải là không thể! Thật vậy:



Vậy điều chúng ta cần là gì?
Chính là tìm nhân tử có dạng vừa thỏa mãn 1 trong 2 nghiệm của bài toán, vừa thỏa mãn
Để ý thì ta thấy: khi thỏa mãn nhân tử trên thì
Vậy, để thì và .Tóm lại, PTVT sẽ tồn tại nhân tử Từ đó ta được:





Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm…
- Nhận xét: PTVT này có nghiệm của nhân tử và nghiệm của nhân tử Vậy còn trường hợp PTVT chỉ có 1 nghiệm hữu tỷ thì sao…

onthicaptoc.com Bài 35. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung