Bài 9. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Xét hàm số: với
Ta có
Lập bảng biến thiên cho ta . Từ đó suy ra
Bây giờ ta sẽ chứng minh
Thật vậy
Ta đặt Khi đó ta có được (luôn đúng). Từ đó suy ra là nghiệm duy nhất của phương trình.
- Nhận xét. Có thể nói, đây là một làn gió mới trong tư duy khi giải phương trình kết hợp hàm số, ý tưởng đầu là đánh giá sao cho càng chặt càng tốt biểu thức vế phải, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức BCS thì sẽ lệch dấu bằng, nhưng nhận thấy nên việc khảo sát hàm số ở mẫu thức là điều ta có thể làm. Chính vì thế, nhiều lúc đánh giá càng chặt lại làm bài toán càng khó!
Bài tập tương tự.
1) Giải phương trình
2) Giải phương trình
3) Giải phương trình
Bài 10. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện Ta xét hai trường hợp
Trường hợp
Do nên ta có
Từ đây suy ra
Tuy nhiên, ta lại có
Do đó
Như vậy, để phương trình đã cho thỏa mãn thì trước tiên ta phải có , tức
Thử lại, ta nhận thấy là một nghiệm của phương trình.
Trường hợp Do nên ta có Tuy nhiên ta lại thấy rằng nên từ đây ta cũng suy ra

Như vậy, để phương trình đã cho thỏa mãn thì trước tiên ta phải có tức
Thử lại, ta nhận thấy một nghiệm của phương trình.
Vậy là hai nghiệm của phương trình đã cho.
- Bình luận. Khi đọc và suy ngẫm lời giải của bài toán trên, các ban chắc hẳn nhận ra nét tinh ý rất hay của người giải. Với những đánh giá tưởng chừng nhỏ nhưng hiệu quả của nó lại giúp ta
Có những ý tưởng sáng trong. Nét then chốt của bài toán đó là hai đánh giá
Để có hai bất đẳng thức trên, chúng ta nên có những nhận xét nhỏ ban đầu rằng:
- Phương trình có hai nghiệm nên
- Nếu thì phương trình có nghiệm
Ta cần chọn sao cho
- Nếu thì phương trình có nghiệm , đến đây ta dễ đánh giá hơn vì
Bài 11. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Thật ra, nét tinh ý của bài toán chính là hai nhận xét:
với mọi
với mọi
Ta chứng minh nhận xét thứ nhất với mọi
Thật vậy, bình phương hai vế của ta được

Mặt khác, dễ thấy rằng cho nên ta cần chứng minh
Điều này luôn đúng, suy ra ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét thứ ta chứng minh hoàn toàn tương tự. Từ đó suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
- Nhận xét. Có thể thấy bài toán xuất phát từ ý tưởng của những đánh giá dạng . Những lớp bài như thế không nhiều nhưng lời giải đẹp và tự nhiên. Từ lời giải trên, ta rút ra được bất đẳng thức khá thú vị:
Ngoài ra, lớp căn thức của đề bài cho ta nhớ đến một bổ đề bất đẳng thức nhỏ, có nhiều ứng dụng “Cho ta có ” từ đây, ta liên hệ đến sự thay đổi căn thức, có thể cho rnhững bài toán khá đẹp.
Bài 12. Giải phương trình Nguyễn Duy Hồng
Lời giải
Điều kiện
Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz ta có:

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz và kết hợp ta có:

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz và kết hợp ta có:


Vậy phương trình tương đương với:

Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất
- Nhận xét. Với cách chứng minh trên ta có thể tổng quát bài toán trên thành
k chẵn.
Bài tập tương tự.
Giải phương trình
Bài 13. Giải phương trình Nguyễ Duy Hồng
Lời giải
Điều kiện
Xét hàm số:

Áp dụng bất đẳng thức trung bình lũy thừa ta có:


Mặt khác ta có:

Mặt khác ta có:




Từ và ta có:


Vậy hàm số liên tục và đơn điệu tằng trên tập số thực
Mặt khác ta có , vậy phương trình có nghiệm duy nhất
- Nhận xét. Lời giải trên nhắc đến bất đẳng thức trung bình lũy thừa, ta có thể hiểu ở đây là chứng minh luôn đúng theo BCS.
Bài 14. Giải phương trình Nguyễn Duy Hồng
Lời giải
Điều kiện
Xét hàm số

Mặt khác theo AM – GM ta có:


Mặt khác ta lại có:
Từ , và ta có:


Vậy hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên tập số thực .
- Khi thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn, vậy không phải là nghiệm của phương trình.
- Khi ta có , vậy phương trình vô nghiệm.
- Khi thay vào phương trình thấy đúng nghiệm, vậy là một nghiệm của phương trình.
- Khi thì ta có vậy phương trình vô nghiệm.
- Khi thay vào phương trình thấy không thỏa mãn, vậy không là nghiệm của phương trình.
Kết hợp với điều kiện ta có là nghiệm duy nhất của phương trình.
- Nhận xét. Lời giải trên dựa vào các đánh giá AM – GM và BCS rất đẹp, tuy nhiên cách nghĩ ra những đánh giá như thế không phải dễ. Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, ta có thể dùng phương pháp liên hợp và kết hợp bất đẳng thức để giải. Tuy nhiên, cách giải trên dài và gặp nhiều tính toán, nên chúng tôi không trình bày tại đây. Bạn đọc có thể thử sức với ý tưởng trên.
Bài 15. Giải phương trình
Lời giải 1
Điều kiện . Phương trình đã cho tương đương với:
Xét
Suy ra
Ta sẽ chứng minh với Thật vậy
Vì nên theo bất đẳng thức AM – GM và so sánh lũy thừa ta có

Như vậy ta chỉ cần chứng minh
Bất đẳng thức luôn đúng với Do đó nghịch biến trên
Mặt khác nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Lời giải 2
Điều kiện Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng:

Trường hợp 1:
Ta có nên và
Nên
Ta chứng minh
Bất đẳng thức này tương đương với (đúng, do ).
Cộng theo vế các bất đẳng thức và ta được đẳng thức xảy ra
Trường hợp 2:
Ta có nên và nên
Ta tiếp tục chứng minh
Bất đẳng thức này tương đương với (đúng, do ).
Cộng theo vế các bất đẳng thức và ta được đẳng thức xảy ra Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Lời giải 3
Tập xác định:
Khi , thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn, vậy không là nghiệm của phương trình.
Kh , thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn, vậy không là nghiệm của phương trình. Khi
Xét hàm số
Ta có:


Mặt khác theo AM – GM ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức và lại ta được:

Mặt khác ta lại có:
Vậy ta có:


Vậy hàm số nghịch biến trên tập , mặt khác ta thấy , vậy phương trình có nghiệm duy nhất
- Bình luận. Loạt các bài toán trên cho chúng ta thấy sựu táo bạo và tinh tế trong việc sử dụng các bất đẳng thức kinh điển trong việc chứng minh đạo hàm không đổi dấu.
Bài 16. Giải phương trình
Lời giải
- Nhận xét. Ta nhận thấy nếu thay x bởi thì phương trình không thay đổi. Suy ra ta chỉ cần xét
Ta lại chú ý đến hằng đẳng thức đã nhắc đến ở các ví dụ trước là
đẳng thức xảy ra kh
Đến đây ta chỉ cần chứng minh với
Thật vậy, bình phương hai vế lên ta được

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 17. Giải phương trình Nguyễn Duy Hồng
Lời giải
Nhận thấy nếu là nghiệm thì cũng là nghiệm, vậy ta chỉ cần xét phương trình trên tập số thực
Xét hàm số: trên tập số thực


Ta đi chứng minh:
Thật vậy khi ta có:





với
Vậy hàm số: nghịch biến với mọi
Phương trình tương đương với:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

onthicaptoc.com Bài 30. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung