- BÀI TẠP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình
Bài 2. Giải phương trình Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình
Bài 5. Giải phương trình
Đáp số: Vô nghiệm.
Bài 6. Giải phương trình
Bài 7. Giải phương trình Đáp số:
Bài 8. Giải phương trình Đáp số:
Bài 9. Giải phương trình Đáp số:
c) Đánh giá trên tổng cực trị của hàm số.
Tính chất. Cho các hàm số xác định trên D. Nếu:
-
-
-
Ví dụ 1. Giải phương trình
Lời giải
Đặt:
Ta có:

- Bình luận. Ở ví dụ này ta thấy rằng với các hàm số:
thì
Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện
Phương trình đã cho tương đương với:


- Bình luận. Khi giải toán ta dựa trên bản chất tổng cực trị của hàm số nhưng không phải lúc nào cũng nên dùng hàm số, một phép biến đổi bình phương hoặc một phép tách hạng tử có thể đưa chúng ta đạt được mục đích của mình.
Ví dụ 3. Giải phương trình (Phạm Kim Chung)
Lời giải
Điều kiện
PT tương đương với:
Đặt xét hàm số
Ta có (do )
Lập bảng biến thiên cho ta hay:

Từ đó ta có:
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
- Bình luận.
+ Ta có thể giải bằng cách phân tích: PT
+ Tuy nhiên nếu hàm số được cho phức tạp hơn, vấn đề phân tích để đánh giá sẽ có nhiều rắc rối.
Ví dụ 4. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện . Đặt Phương tình đã cho trở thành Ta có


Do đó Hay phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình (Phạm Kim Chung)
Lời giải
Điều kiện Ta có:
-
Hay . Đặt , ta có:

Xét hàm số: .
Ta có: , hay hàm số nghịch biến trên . Do đó: tức là:
Dấu ‘=’ xảy ra Kết hợp (1) và (2) cho ta nghiệm của phương trình là .
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình Đáp số:
Bài 2. Giải phương trình Đáp số:
Bài 3. Giải phương trình Đáp số:
Bài 4. Giải phương trình Đáp số:
Bài 5. Giải phương trình Đáp số:
Bài 6. Giải phương trình Đáp số:
Bài 7. Giải phương trình Đáp số:
Bài 8. Giải phương trình Đáp số:
Bài 9. Giải phương trình Đáp số:
E. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA.
Thông thường khi ta sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm của phương trình vô tỷ, ta nhận được kết quả bài toán không có nghiệm hữu tỷ và không đưa nghiệm của phương trình về dạng nhân tử nguyên nhân rất có thể nghiệm của bài toán được cho dưới dạng lượng giác.
Tuy nhiên do tính phổ biến của loại phương trình này trong các đề thi hiện nay, nên chúng tôi không đi sâu vào loại phương trình này. Sau đây xin được gới thiệu với các bạn một số kỹ thuật lượng giác hóa thông thường.
1. Một số dạng biến đổi lượng giác.
- Nếu , thì có một số sao cho:

+ Đặc biệt thì ta có thể đặt với .
- Nếu ,thì có một số sao cho: và một số sao cho .
+ Đặc biệt: thì ta có thể đặt hoặc .
- Nếu thì có một số sao cho: và một số sao cho: .
- Nếu hoặc các bài toán có chứa biểu thức thì đặt
+ Đặc biệt: thì ta có thể đặt .
- Nếu không ràng buộc điều kiện cho biến số và bài toán có chứa biểu thức thì đặt
+ Đặc biệt: thì ta có thể đặt , .
2. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải phương trình
- Phân tích. Phương trình trên thuộc dạng cơ bản, nhưng nếu sử dụng phương pháp nâng lũy thừa sẽ cho ta một phương trình bậc cao. Tuy nhiên, ta để ý rằng trong phương trình có chứa biểu thức nên điều kiện ban đầu của phương trình là Do đó, ta sử dụng một trong hai phép đặt ẩn hoặc . Tiếp tục quan sát phương trình, ta có thể thấy ngay biểu thức làm ta liên tưởng đến một công thức trong lượng giác đó: Ta có lời giải như sau:
Lời giải
Điều kiện
Đặt , , khi đó phương trình đã cho trở thành:


Do nên
Vậy tập nghiệm của phương trình:

- Bình luận. Để có thể sử dụng được phương pháp lượng giác hóa khi giải phương trình vô tỷ thì trước hết ta cần nắm vững các công thức lượng giác và những dạng biến đổi của nó. Như vậy, vệc quy về giải một phương trình lượng giác đã giúp ta giải quyết phương trình vô tỷ một cách nhẹ nhàng hơn.
Ví dụ 2. Giải phương trình
- Phân tích. Để ý rằng trong phương trình có chứa biểu thức và nên điều kiện ban đầu của phương trình là Sử dụng phép đặt ẩn ta có lời giải:
Lời giải
Điều kiện
Đặt , , khi đó phương trình đã cho trở thành:



Do , nên .
Vậy nghiệm của phương trình là:
- Bình luận. Trong lời giải trên giáo viên cần lưu ý cho học sinh ở phép biến đổi: Nếu trong lời giải trên ta sử dụng phép đặt thì ta có
Ví dụ 3. Giải phương trình
- Phân tích. Với điều kiện ban đầu của bài toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi đó, ta có . Tuy nhiên, để giải quyết vấn đề tạo ra một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta chú ý rằng nếu thì phương trình trên sẽ không có nghiệm thực. Từ đó ta có lời giải cho bài toán như sau:
Lời giải
Đều kiện ban đầu: .
Để ý rằng nếu thì phương trình đã cho vô nghiệm. Cho nên ta chỉ cần xét . Khi đó, ta đặt và phương trình đã cho trở thành:

Đặt Khi đó


Suy ra là 2 nghiệm của phương trình:
Do đó, (thỏa mãn phương trình ban đầu).
Vậy là 2 nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình
- Phân tích. Sử dụng công thức .
Suy ra:



Từ đó ta có lời giải như sau:
Lời giải
Đặt , phương trình đã cho trở thành:

Nhận thấy không thỏa phương trình (1), nên nhân hai vế phương trình (1) với ta có


Do nên .
Vì nên Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: .
- Bình luận. Phương trình trên thực sự rất khó. Khó bởi các biểu thức trong phương trình có bậc cao. Vì thế để sử dụng được phương pháp lượng giác hóa không phải đơn giản, ta cần có một cách nhìn tổng quát phương trình.
Ví dụ 5. Giải phương trình
- Phân tích. Phương trình trên không có điều kiện ràng buộc của ẩn x. Sự xuất hiện của biểu thức trong phương trình định hướng cho ta phép đặt
Lời giải
Đặt , phương trình đã cho trở thành:


Do . Cho nên .
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Giải phương trình .
Hướng dẫn: Đặt
Bài 2. Giải phương trình
Hướng dẫn: Đặt
Bài 3. Giải phương trình
Hướng dẫn: Đặt
Bài 4. Giải phương trình
Hướng dẫn: Đặt
Bài 5. Giải phương trình Hướng dẫn: Đặt
Bài 6. Giải phương trình .
Hướng dẫn: Đặt
Bài 7. Giải phương trình
Hướng dẫn: Đặt Đáp số:
Bài 8. Giải phương trình
Hướng dẫn: Đặt . Đáp số:
Bài 9. Giải phương trình Hướng dẫn: Đặt .
Bài 10. Giải phương trình
Hướng dẫn: Đặt .

onthicaptoc.com Bài 3. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung